Как найти точку пересечения прямой и плоскости

Дано: прямая $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z+1}{3}$ и плоскость $x + 2y + z - 10 = 0$. Найти: их общую точку.

Метод один и работает всегда: прямую переписывают параметрически, координаты подставляют в уравнение плоскости и получают одно линейное уравнение относительно параметра $t$. Здесь оно сворачивается до $3t - 6 = 0$, откуда $t = 2$. Ответ: $K(5;\ 0;\ 5)$. Калькулятор сверху пересчитывает ту же цепочку для любых коэффициентов и сразу говорит, есть ли точка встречи вообще.

Решение по шагам

Шаг 1. Читаем данные прямой. Каноническая запись $\dfrac{x - x_0}{s_x} = \dfrac{y - y_0}{s_y} = \dfrac{z - z_0}{s_z}$ хранит две вещи: точку, через которую прямая проходит, и направляющий вектор. Числители дают точку $M_0(1;\ 2;\ -1)$ - знаки в них противоположны координатам, поэтому из $z + 1$ получается $z_0 = -1$. Знаменатели дают вектор $\vec{s} = (2;\ -1;\ 3)$. Из уравнения плоскости сразу видна нормаль $\vec{n} = (1;\ 2;\ 1)$: это коэффициенты при $x$, $y$ и $z$.

Шаг 2. Переходим к параметрическим уравнениям. Приравняем все три отношения к общему значению $t$ и выразим координаты:

$$\begin{aligned} x &= 1 + 2t, \\ y &= 2 - t, \\ z &= -1 + 3t. \end{aligned}$$

Теперь точка прямой описывается одним числом. Параметр $t$ - это не расстояние, а количество отложенных от $M_0$ векторов $\vec{s}$: при $t = 0$ мы в самой точке $M_0$, при $t = 1$ уйдём на один вектор вперёд, при отрицательных $t$ - назад.

Шаг 3. Подставляем в уравнение плоскости. Точка встречи обязана удовлетворять обоим условиям сразу, поэтому подставляем параметрические выражения в уравнение плоскости и раскрываем скобки:

$$(1 + 2t) + 2\,(2 - t) + (-1 + 3t) - 10 = 0.$$

Собираем отдельно свободные члены и отдельно слагаемые с параметром: $1 + 4 - 1 - 10 = -6$ и $2t - 2t + 3t = 3t$. Уравнение сворачивается до $3t - 6 = 0$.

Шаг 4. Находим параметр и возвращаемся к координатам. Из $3t - 6 = 0$ получаем $t = 2$. Это значение подставляем обратно в уравнения прямой, а не в уравнение плоскости - распространённая путаница, из-за которой ответом объявляют само число $2$:

$$x = 1 + 2 \cdot 2 = 5, \qquad y = 2 - 2 = 0, \qquad z = -1 + 3 \cdot 2 = 5.$$

Ответ: прямая пересекает плоскость в точке $K(5;\ 0;\ 5)$.

Шаг 5. Проверяем ответ. Точка должна лежать и в плоскости, и на прямой. Подстановка в плоскость: $5 + 2 \cdot 0 + 5 - 10 = 0$ - верно. Подстановка в канонические уравнения: $\dfrac{5-1}{2} = 2$, $\dfrac{0-2}{-1} = 2$, $\dfrac{5+1}{3} = 2$ - все три отношения равны между собой и равны найденному $t$. Это не совпадение: значение общего отношения и есть параметр точки.

Формула и откуда она берётся

Проделанное в шагах 2–4 сворачивается в одну формулу. Подставим общую параметрическую запись $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\,\vec{s}$ в уравнение плоскости $\vec{n} \cdot \vec{r} + D = 0$:

$$t = -\,\frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 + D}{A s_x + B s_y + C s_z} = -\,\frac{\vec{n} \cdot \vec{r_0} + D}{\vec{n} \cdot \vec{s}}.$$

В числителе стоит результат подстановки точки $M_0$ в уравнение плоскости, в знаменателе - скалярное произведение нормали и направляющего вектора. Для нашей задачи числитель равен $1 + 4 - 1 - 10 = -6$, знаменатель $1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 3$, и $t = 6/3 = 2$ - то же самое значение.

Почему уравнение всегда получается линейным? Координаты точки прямой линейны по $t$, а уравнение плоскости линейно по координатам; композиция двух линейных выражений снова линейна. Отсюда и вывод о числе решений: линейное уравнение $F_0 + (\vec{n} \cdot \vec{s})\,t = 0$ имеет ровно один корень, ни одного или бесконечно много. Именно это и рисует график в режиме «Функция $F(t)$»: наклон линии равен $\vec{n} \cdot \vec{s}$, отсечка при $t = 0$ равна $F_0$, а корень и есть искомый параметр.

Заодно у обеих величин есть геометрический смысл. Число $F_0 = -6$ после деления на длину нормали $|\vec{n}| = \sqrt{6}$ даёт расстояние от $M_0$ до плоскости, равное $\sqrt{6} \approx 2{,}45$; знак показывает, с какой стороны от плоскости лежит точка. Тем же выражением считается проекция точки на плоскость, только там перпендикуляр направлен по нормали, а не по $\vec{s}$.

Три случая: точка, параллельность и прямая в плоскости

Знаменатель формулы может обратиться в ноль, и делить тогда нельзя. Взаимное расположение полностью определяется двумя числами - скалярным произведением $\vec{n} \cdot \vec{s}$ и подстановкой точки $F_0$:

Условие $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ означает, что направляющий вектор перпендикулярен нормали, то есть прямая идёт вдоль плоскости. Проверить это удобнее всего до всяких подстановок: одно скалярное произведение экономит выкладки.

Пример параллельности: возьмём ту же плоскость и прямую $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = -1$ с вектором $\vec{s} = (2;\ -1;\ 0)$. Тогда $\vec{n} \cdot \vec{s} = 2 - 2 + 0 = 0$, а $F_0 = -6 \neq 0$: подстановка даёт $-6 = 0$, противоречие, общих точек нет. График в этом случае показывает горизонтальную линию, которая до нуля не доходит.

Пример принадлежности: сдвинем ту же прямую в точку $M_0(4;\ 2;\ 2)$. Теперь $F_0 = 4 + 4 + 2 - 10 = 0$, и уравнение превращается в тождество $0 = 0$: любое $t$ годится, прямая целиком лежит в плоскости. Если задача требует ответ в таком случае, пишут не координаты, а сам факт принадлежности.

Насколько круто прямая входит в плоскость, показывает угол между ними: $\sin \varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}|\,|\vec{s}|} = \dfrac{3}{\sqrt{6}\sqrt{14}} \approx 0{,}327$, то есть $\varphi \approx 19{,}1^\circ$. Подробный разбор этой величины - в задаче про угол между прямой и плоскостью; в калькуляторе он выведен отдельным показателем, а режим «Плоскость с ребра» показывает тот же наклон рисунком.

Если прямая задана иначе: две точки или две плоскости

Прямая через две точки. Пусть даны $A(1;\ 2;\ -1)$ и $B(7;\ -1;\ 8)$. Направляющий вектор получается вычитанием: $\vec{AB} = (6;\ -3;\ 9)$. Удобно брать параметризацию $\vec{r} = A + u\,\vec{AB}$, где $u$ меняется от нуля до единицы вдоль отрезка. Подстановка даёт $-6 + 9u = 0$ и $u = \dfrac{2}{3}$, точка та же: $K(5;\ 0;\ 5)$. Дробное $u$ между нулём и единицей означает, что точка встречи лежит внутри отрезка, а не на его продолжении - в задачах о пересечении отрезка с гранью это и есть ответ на вопрос «протыкает или проходит мимо».

Прямая как пересечение двух плоскостей. Запись $x + 2y - 5 = 0$, $3y + z - 5 = 0$ задаёт ту же прямую. Первый путь - свести всё к системе трёх линейных уравнений и решить её методом Гаусса или по формулам Крамера: из первого и третьего уравнений сразу выходит $z = 5$, затем $3y = 0$ и $x = 5$, то есть снова $K(5;\ 0;\ 5)$. Определитель системы равен $3$, он не нулевой, поэтому решение единственно. Второй путь - вернуться к привычному виду: направляющий вектор равен векторному произведению нормалей $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = (2;\ -1;\ 3)$, а точку на прямой находят, задав одной координате произвольное значение. На плоскости эта же задача вырождается в систему двух уравнений - там ищут просто координаты точки пересечения прямых.

Плоскость задана иначе. Если вместо уравнения даны три точки или точка и два вектора, сначала составьте общее уравнение - это отдельный разбор про то, как составить уравнение плоскости. Ту же задачу решают и на чертеже, без координатной алгебры: построение точки встречи на эпюре с плоскостью-посредником разобрано в задаче пересечение прямой и плоскости на эпюре, и ответы двух методов обязаны совпасть.

Частые ошибки

• Путают знаки в числителях канонической записи. В $\dfrac{z+1}{3}$ стоит плюс, значит $z_0 = -1$, а не $+1$. Ошибка сдвигает всю прямую и даёт неверную точку при формально правильных выкладках.
• Считают ответом сам параметр. $t = 2$ - это не точка, а метка на прямой. Ответ появляется только после подстановки $t$ в параметрические уравнения.
• Подставляют $t$ обратно в уравнение плоскости. Так получится тождество $0 = 0$, которое ничего не даёт: параметр возвращают в уравнения прямой.
• Делят на ноль при $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$. Формулу применяют только после проверки знаменателя, иначе вместо вывода о параллельности выходит бесконечность или случайное число.
• Берут нормаль плоскости вместо направляющего вектора прямой. Векторы $\vec{n}$ и $\vec{s}$ играют разные роли: первый перпендикулярен плоскости, второй направлен вдоль прямой, менять их местами нельзя.
• Не проверяют ответ. Одна подстановка в уравнение плоскости ловит почти любую арифметическую ошибку и стоит десяти секунд.

FAQ

Что делать, если в знаменателе канонического уравнения стоит ноль? Ноль в знаменателе не запрещён: запись условная и означает, что соответствующая координата постоянна. Например, $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z+1}{0}$ читается как $z = -1$. Переход к параметрическому виду снимает вопрос: $z = -1 + 0 \cdot t$, и подстановка идёт как обычно.

Может ли параметр получиться отрицательным или дробным? Да, и это нормально. Отрицательное $t$ означает, что точка встречи лежит по другую сторону от $M_0$, дробное - что она не попадает в узлы отложенных векторов. Ограничение $0 \leqslant t \leqslant 1$ появляется, только когда речь идёт об отрезке, а не о бесконечной прямой.

Как понять, с какой стороны от плоскости лежит исходная точка? По знаку подстановки $F_0$. Положительное значение означает, что точка находится в том полупространстве, куда смотрит нормаль $\vec{n}$, отрицательное - в противоположном. У нас $F_0 = -6$, поэтому $M_0$ лежит со стороны, обратной нормали.

Обязательно ли переходить к параметрическому виду? Не обязательно, но это самый короткий путь. Альтернатива - приравнять каноническую запись к плоскости как систему трёх уравнений и решить её методом Гаусса. Результат тот же, выкладок больше: система из трёх уравнений против одного линейного.

Коротко

1. Из канонической записи выпиши точку $M_0(1;\ 2;\ -1)$ и направляющий вектор $\vec{s} = (2;\ -1;\ 3)$, из уравнения плоскости - нормаль $\vec{n} = (1;\ 2;\ 1)$.
2. Проверь знаменатель будущей дроби: $\vec{n} \cdot \vec{s} = 3 \neq 0$, значит точка встречи существует и она одна.
3. Запиши прямую параметрически и подставь координаты в уравнение плоскости: $(1 + 2t) + 2(2 - t) + (-1 + 3t) - 10 = 0$, то есть $3t - 6 = 0$.
4. Реши линейное уравнение и верни параметр в уравнения прямой: $t = 2$, отсюда $K(5;\ 0;\ 5)$.
5. Проверь ответ подстановкой: $5 + 0 + 5 - 10 = 0$, а все три канонических отношения равны $2$.