Как найти координаты точки пересечения прямых: разбор

Дано: прямые $2x - y = 4$ и $x + 3y = 9$. Найти: координаты точки их пересечения.

Точка пересечения - это единственная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям сразу, поэтому геометрическая задача сводится к решению системы двух линейных уравнений. Здесь главный определитель системы равен $7$ и в ноль не обращается, значит решение единственное. Ответ: $M(3; 2)$. Калькулятор сверху строит обе прямые в осях и пересчитывает координаты под любые коэффициенты, а ниже то же решение расписано по шагам.

Решение по шагам

Дано. Две прямые общего вида $a x + b y = c$ с коэффициентами:

Найти: координаты общей точки $M(x; y)$.

Шаг 1. Записываем систему. Условие «точка лежит на обеих прямых» означает, что её координаты обращают в верное равенство каждое уравнение:

$$\begin{cases} 2x - y = 4, \\ x + 3y = 9. \end{cases}$$

Шаг 2. Выражаем одну переменную. Удобнее всего выразить $y$ из первого уравнения: коэффициент при нём равен $-1$, и дробей не появится. Переносим $2x$ вправо и меняем знак у обеих частей:

$$-y = 4 - 2x \quad \Longrightarrow \quad y = 2x - 4.$$

Шаг 3. Подставляем во второе уравнение. Вместо $y$ ставим полученное выражение и раскрываем скобки:

$$x + 3(2x - 4) = 9 \quad \Longrightarrow \quad x + 6x - 12 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 7x = 21.$$

Отсюда абсцисса точки пересечения: $x = 3$.

Шаг 4. Возвращаемся к выраженной переменной. Подставляем найденный $x$ в равенство из шага 2:

$$y = 2 \cdot 3 - 4 = 2.$$

Шаг 5. Проверяем подстановкой. Проверять нужно оба уравнения: ошибка в одном из них при подстановке только в другое не всплывёт.

$$\begin{aligned} 2 \cdot 3 - 2 &= 4 \quad \text{- верно}, \\ 3 + 3 \cdot 2 &= 9 \quad \text{- верно}. \end{aligned}$$

Ответ. Прямые пересекаются в точке $M(3; 2)$.

Метод Крамера: тот же ответ через определители

Метод подстановки хорош на «удобных» коэффициентах, но когда все четыре числа дробные, он быстро превращается в возню со знаками. Формулы Крамера дают ответ по единому шаблону и заодно сразу показывают, существует ли он вообще. Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных:

$$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = 7.$$

Вспомогательный определитель $D_x$ получается заменой столбца при $x$ на столбец свободных членов, а $D_y$ - заменой столбца при $y$:

$$D_x = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 9 & 3 \end{vmatrix} = 12 + 9 = 21, \qquad D_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} = 18 - 4 = 14.$$

Координаты точки пересечения - частные определителей:

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{21}{7} = 3, \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = 2.$$

Ответ тот же, $M(3; 2)$, и получен он в три строки без выражения переменных. Разбор самих определителей и случай системы третьего порядка - в статье про правило Крамера; для систем из трёх и более уравнений универсальнее оказывается метод Гаусса, но для двух прямых он избыточен.

Формула и откуда она берётся

Пусть прямые заданы общими уравнениями $a_1 x + b_1 y = c_1$ и $a_2 x + b_2 y = c_2$. Решая систему в буквах тем же методом подстановки, получаем готовые формулы координат:

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}.$$

В знаменателе обеих дробей стоит одно и то же число $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$, и именно оно решает судьбу задачи. Геометрический смысл у него простой: вектор $\vec{n}_1 = (a_1; b_1)$ перпендикулярен первой прямой, вектор $\vec{n}_2 = (a_2; b_2)$ - второй, а определитель $D$ обращается в ноль ровно тогда, когда эти два вектора коллинеарны. Коллинеарны нормали - значит и сами прямые смотрят в одну сторону, то есть параллельны или совпадают.

Отсюда правило, которое стоит проверять до всяких вычислений. Если $D \ne 0$, прямые пересекаются, и точка ровно одна. Если $D = 0$, единственной точки нет, и надо разбираться, какой именно из двух вырожденных случаев перед вами. Подстановка наших чисел даёт $x = (4 \cdot 3 - 9 \cdot (-1))/7 = 3$ и $y = (2 \cdot 9 - 1 \cdot 4)/7 = 2$ - формула воспроизводит уже найденный ответ.

Параллельные и совпадающие прямые: когда координат нет

Когда главный определитель обнулился, работает признак через отношения коэффициентов. Прямые параллельны, если пропорциональны только коэффициенты при переменных, и совпадают, если пропорционален ещё и свободный член:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \;\Rightarrow\; \text{параллельны}, \qquad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \;\Rightarrow\; \text{совпадают}.$$

Возьмём пару $4x - 2y = 5$ и $6x - 3y = 11$. Здесь $D = 4 \cdot (-3) - 6 \cdot (-2) = 0$, отношения коэффициентов равны $4/6 = -2/(-3) = 2/3$, а свободные члены дают $5/11 \ne 2/3$. Система несовместна, общей точки нет: прямые параллельны. А пара $4x - 2y = 6$ и $6x - 3y = 9$ отличается только множителем $1{,}5$ во всех трёх числах - это одна и та же прямая, у неё общих точек бесконечно много, и вопрос о координатах теряет смысл. Оба случая заложены в калькулятор отдельными кнопками, а условия параллельности и перпендикулярности через угловые коэффициенты подробно разобраны в отдельной статье.

Если прямые заданы не общим уравнением

Вид $y = kx + b$. Приравниваем правые части: $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$, откуда $x = (b_2 - b_1)/(k_1 - k_2)$, а $y$ считается подстановкой в любое из уравнений. Наши прямые в этом виде записываются как $y = 2x - 4$ и $y = -x/3 + 3$, поэтому $x = (3 + 4)/(2 + 1/3) = 7 : \tfrac{7}{3} = 3$ и $y = 2$ - ответ не изменился. Знаменатель $k_1 - k_2$ здесь играет роль определителя: он равен нулю у параллельных прямых.

Прямая по двум точкам. Сначала составляем уравнение по формуле $\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, а дальше решаем обычную систему. Например, прямая через $A(1; -2)$ и $B(4; 4)$ - это $2x - y = 4$, а прямая через $C(0; 3)$ и $D(3; 2)$ - это $x + 3y = 9$: те же две прямые из условия, и точка пересечения у них та же самая.

Канонический или параметрический вид. Запись $\dfrac{x - x_0}{m} = \dfrac{y - y_0}{n}$ переводится в общий вид перекрёстным умножением, а из параметрических уравнений $x = x_0 + mt$, $y = y_0 + nt$ достаточно исключить параметр $t$. Дальше алгоритм не меняется.

Отдельно стоит держать в голове, что всё сказанное относится к плоскости. В пространстве две прямые могут не пересекаться, даже не будучи параллельными: они скрещиваются, и там нужен другой признак - проверка на эпюре и через смешанное произведение. Родственная пространственная задача - составить уравнение плоскости по точкам или по нормали.

Частые ошибки

• Ответ обрывают на первой координате. Найденный $x = 3$ - это ещё не точка. В ответе должна стоять пара чисел $M(3; 2)$, а не одно значение.
• Теряют знак при выражении переменной. Из $-y = 4 - 2x$ получается $y = 2x - 4$, а не $y = 4 - 2x$: знак меняется у каждого слагаемого.
• Проверяют подстановкой только одно уравнение. Координаты обязаны удовлетворять обоим: подстановка в одно уравнение ловит лишь половину арифметических ошибок.
• В формулах Крамера заменяют строку вместо столбца. $D_x$ получается заменой на свободные члены столбца коэффициентов при $x$; замена строки даёт другое число и неверный ответ.
• Нулевой определитель считают признаком «решений нет». При $D = 0$ надо проверить $D_x$ и $D_y$: если они тоже нули, прямые совпадают и решений бесконечно много.
• Сравнивают угловые коэффициенты на глаз, не приведя уравнения к одному виду. Прямые $4x - 2y = 5$ и $6x - 3y = 11$ выглядят разными, но обе имеют $k = 2$ и потому параллельны.
• Округляют слишком рано. Если координаты дробные, до конца решения их лучше держать обыкновенными дробями, иначе проверка подстановкой перестанет сходиться.

FAQ

Может ли у двух прямых быть две точки пересечения? Нет. Через две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому две различные прямые имеют либо одну общую точку, либо ни одной. Бесконечное множество общих точек означает, что прямая на самом деле одна, просто уравнения записаны с разными множителями.

Что делать, если координаты получились дробными? Ничего страшного, это норма: точка пересечения редко попадает в узлы сетки. Оставляйте ответ обыкновенной дробью, например $M(15/7; 16/7)$, и проверяйте подстановкой именно дробь, а не округлённое десятичное значение.

Как проверить, что три прямые пересекаются в одной точке? Найдите точку пересечения любых двух из них и подставьте её координаты в третье уравнение. Если равенство выполняется, все три прямые проходят через одну точку; такой пучок прямых часто встречается в задачах про медианы и высоты треугольника.

Как найти угол между прямыми после того, как точка найдена? Через угловые коэффициенты: $\tan \varphi = \left| \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. Для нашей пары $k_1 = 2$ и $k_2 = -1/3$, поэтому $\tan \varphi = 7$ и $\varphi \approx 81{,}9^\circ$. Если $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны, и тогда пригодится формула расстояния от точки до прямой.

Коротко

1. Координаты точки пересечения - это решение системы из уравнений обеих прямых, других способов её найти не требуется.
2. Считаем главный определитель $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$. Для системы $2x - y = 4$, $x + 3y = 9$ получаем $D = 7 \ne 0$, значит точка единственная.
3. Находим координаты подстановкой или по Крамеру: $x = D_x / D = 21/7 = 3$, $y = D_y / D = 14/7 = 2$.
4. Проверяем ответ подстановкой в оба уравнения: $2 \cdot 3 - 2 = 4$ и $3 + 3 \cdot 2 = 9$. Ответ: $M(3; 2)$.
5. Если $D = 0$, единственной точки нет: при ненулевых $D_x$ или $D_y$ прямые параллельны, при нулевых - совпадают.