Как найти направляющий вектор прямой: решение

Дано: прямая задана пересечением плоскостей $2x + y - z + 1 = 0$ и $x - y + 3z - 5 = 0$. Найти: направляющий вектор прямой и её канонические уравнения.

Прямая лежит сразу в обеих плоскостях, поэтому она перпендикулярна обеим нормалям, а вектор, перпендикулярный двум данным, даёт их векторное произведение. Ответ: $\vec{s} = (2;\ -7;\ -3)$, канонические уравнения $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{-7} = \dfrac{z - 2}{-3}$. Калькулятор сверху считает то же самое под любые коэффициенты плоскостей, ниже - решение по шагам и разбор остальных форм записи прямой.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем нормали плоскостей. У плоскости, записанной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, нормальный вектор собирается прямо из коэффициентов при переменных, свободный член в него не входит:

$$\vec{n_1} = (2;\ 1;\ -1), \qquad \vec{n_2} = (1;\ -1;\ 3).$$

Шаг 2. Считаем векторное произведение. Раскрываем определитель третьего порядка по первой строке. Знак минус перед второй компонентой - часть правила разложения, а не опечатка:

$$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\begin{aligned} s_x &= 1 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1) = 3 - 1 = 2, \\ s_y &= -\bigl(2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1\bigr) = -(6 + 1) = -7, \\ s_z &= 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2 - 1 = -3. \end{aligned}$$

Значит, $\vec{s} = (2;\ -7;\ -3)$. Вектор ненулевой, следовательно плоскости действительно пересекаются по прямой.

Шаг 3. Проверяем ортогональность. Направляющий вектор обязан быть перпендикулярен обеим нормалям, и это проверяется двумя скалярными произведениями за десять секунд:

$$\begin{aligned} \vec{n_1} \cdot \vec{s} &= 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-7) + (-1) \cdot (-3) = 4 - 7 + 3 = 0, \\ \vec{n_2} \cdot \vec{s} &= 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-7) + 3 \cdot (-3) = 2 + 7 - 9 = 0. \end{aligned}$$

Оба нуля на месте - вектор найден верно. Эту проверку стоит делать всегда: она ловит и потерянный знак второй компоненты, и перепутанные строки определителя.

Шаг 4. Ищем точку на прямой. Одного направления мало, для уравнений нужна точка. Приравниваем к нулю одну из координат и решаем систему из двух оставшихся уравнений. Полагаем $x = 0$:

$$\begin{cases} y - z + 1 = 0, \\ -y + 3z - 5 = 0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $y = z - 1$, подставляем во второе: $-(z - 1) + 3z - 5 = 0$, то есть $2z - 4 = 0$ и $z = 2$, откуда $y = 1$. Получили точку $M_0(0;\ 1;\ 2)$. Подставим её в исходные уравнения для контроля: $0 + 1 - 2 + 1 = 0$ и $0 - 1 + 6 - 5 = 0$ - точка лежит в обеих плоскостях, а значит на прямой.

Шаг 5. Записываем уравнения прямой. Точку ставим в числители, компоненты направляющего вектора - в знаменатели:

$$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{-7} = \frac{z - 2}{-3}.$$

Параметрический вид получается, если приравнять эти отношения к $t$:

$$x = 2t, \qquad y = 1 - 7t, \qquad z = 2 - 3t.$$

Ответ: $\vec{s} = (2;\ -7;\ -3)$, длина $|\vec{s}| = \sqrt{62} \approx 7{,}87$, канонические уравнения $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{-7} = \dfrac{z - 2}{-3}$.

Формула и откуда она берётся

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Слово «любой» здесь ключевое: у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны, то есть отличаются множителем. Поэтому $(2;\ -7;\ -3)$, $(-2;\ 7;\ 3)$ и $(4;\ -14;\ -6)$ - одинаково верные ответы на нашу задачу, и преподаватель примет каждый из них.

Почему работает векторное произведение. Прямая пересечения целиком лежит в первой плоскости, а нормаль $\vec{n_1}$ перпендикулярна всему, что в этой плоскости лежит, - значит, $\vec{n_1} \perp \vec{s}$. Ровно то же рассуждение для второй плоскости даёт $\vec{n_2} \perp \vec{s}$. Остаётся построить вектор, перпендикулярный сразу двум данным, а это и есть определение векторного произведения; подробный разбор самой операции и её геометрического смысла лежит в статье про векторное произведение и площадь параллелограмма.

Отсюда же видно, когда метод отказывает. Если нормали коллинеарны, их векторное произведение равно нулю: плоскости параллельны или совпадают, линии пересечения просто нет. Калькулятор в этом случае перестаёт рисовать схему и пишет предупреждение - попробуй задать вторую плоскость как $4x + 2y - 2z + 7 = 0$ и увидишь этот случай.

Направляющий вектор из других форм записи

В большинстве задач прямая приходит не пересечением плоскостей, а в готовом виде, и тогда вектор просто считывается. Сводка:

Плоский случай стоит пояснить отдельно, потому что именно на нём чаще всего путаются. В уравнении $Ax + By + C = 0$ пара $(A;\ B)$ задаёт нормаль, а направляющий вектор получается перестановкой координат со сменой одного знака: $(-B;\ A)$ или $(B;\ -A)$. Проверка простая - скалярное произведение с нормалью должно давать ноль: $3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 0$. Заодно отсюда видно, почему угловой коэффициент равен $A$ к $-B$ по модулю: направляющий вектор задаёт тот же наклон.

Случай с двумя точками симметричен: вектор $\vec{AB}$ и вектор $\vec{BA}$ отличаются знаком и оба годятся, но внутри одной задачи порядок точек лучше не менять, иначе параметр $t$ начнёт отсчитываться в противоположную сторону и промежуточные ответы перестанут сходиться.

Проверка ответа и нормировка

Первая проверка уже сделана в третьем шаге: скалярные произведения с обеими нормалями равны нулю. Вторая - подставить найденную точку в оба исходных уравнения. Третья, самая надёжная, - взять параметрические уравнения и подставить их прямо в уравнение плоскости. Для нашей прямой и первой плоскости получается $2 \cdot 2t + (1 - 7t) - (2 - 3t) + 1 = 4t + 1 - 7t - 2 + 3t + 1 = 0$: параметр сократился полностью, тождество выполняется при любом $t$, то есть вся прямая лежит в плоскости.

Нормировать вектор в ответе не нужно, но иногда удобно. Единичный вектор направления получается делением на длину: $\vec{e} = \bigl(2/\sqrt{62};\ -7/\sqrt{62};\ -3/\sqrt{62}\bigr) \approx (0{,}254;\ -0{,}889;\ -0{,}381)$. Эти три числа и есть направляющие косинусы вектора, сумма их квадратов равна единице. Единичный вектор нужен там, где направление подставляют в формулу с делением на длину: угол между прямой и плоскостью, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Обратное преобразование тоже полезно: если после деления получились дроби, вектор умножают на общий знаменатель. Ответ $(0{,}5;\ -1{,}75;\ -0{,}75)$ и ответ $(2;\ -7;\ -3)$ описывают одну прямую, но со вторым считать приятнее, поэтому в контрольных принято приводить направляющий вектор к целым числам без общего множителя.

Найденный направляющий вектор дальше используют в расчётах: его проекцию на ось берут, когда нужен угол наклона прямой к координатной оси.

Частые ошибки

• Потерянный знак второй компоненты. При разложении определителя перед $\vec{j}$ стоит минус. Если его забыть, получится $(2;\ 7;\ -3)$, и проверка скалярным произведением сразу даст не ноль.
• Нормаль вместо направляющего вектора. Для плоскости коэффициенты $(A;\ B;\ C)$ дают нормаль. Прямую в пространстве одним уравнением не задают, поэтому «взять коэффициенты» тут неоткуда: нужны две плоскости и их векторное произведение.
• Точка не с той прямой. Координату обнуляют произвольно, но полученную точку обязательно проверяют подстановкой в оба уравнения. Если обнулённая координата даёт вырожденную систему, обнуляют другую.
• Ноль в знаменателе канонического уравнения «сокращают». Запись вида $\dfrac{x - 1}{0}$ законна и означает, что прямая лежит в плоскости $x = 1$. Убирать эту дробь или менять ноль на единицу нельзя.
• Разный порядок точек в разных частях решения. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ равноправны, но если в одном пункте взят один, а в другом другой, знаки параметра разъедутся.
• Требование единичной длины. Направляющий вектор не обязан быть единичным. Нормировка нужна только для формул с углами и расстояниями.

FAQ

Чем направляющий вектор отличается от нормального? Направляющий параллелен прямой, нормальный перпендикулярен прямой или плоскости. На координатной плоскости они связаны поворотом на прямой угол: из нормали $(A;\ B)$ получается направляющий $(-B;\ A)$. В пространстве у прямой нормалей бесконечно много, они заполняют целую плоскость, поэтому говорить «нормаль прямой» без уточнения бессмысленно.

Обязательно ли брать именно векторное произведение? Нет. Систему двух уравнений можно решить напрямую: выразить две переменные через третью, принять её за параметр и выписать параметрические уравнения - коэффициенты при параметре и дадут направляющий вектор. Ответ получится тот же с точностью до множителя, но выкладок больше, поэтому векторное произведение удобнее.

Что делать, если одна координата вектора нулевая? Ничего особенного. Ноль означает, что прямая параллельна соответствующей координатной плоскости. В каноническом уравнении так и оставляют ноль в знаменателе, а в параметрической форме соответствующая координата просто не зависит от $t$.

Как понять, что две прямые параллельны? Сравнить их направляющие векторы: если они коллинеарны, то есть все отношения одноимённых координат равны, прямые параллельны или совпадают. Различить эти два случая помогает точка: если точка одной прямой удовлетворяет уравнениям другой, прямые совпадают.

Коротко

1. Направляющий вектор прямой - любой ненулевой вектор, ей параллельный; все такие векторы коллинеарны, и ответ определён с точностью до множителя.
2. Если прямая задана каноническим или параметрическим уравнением, вектор читается сразу: это знаменатели дробей или коэффициенты при параметре.
3. Если даны две точки, направляющий вектор равен разности их координат; если дано общее уравнение на плоскости, координаты нормали меняют местами и один знак.
4. Если прямая задана пересечением плоскостей, направляющий вектор равен векторному произведению нормалей, а точку на прямой находят обнулением одной координаты.
5. В разобранном примере получилось $\vec{s} = (2;\ -7;\ -3)$, точка $M_0(0;\ 1;\ 2)$ и уравнения $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{-7} = \dfrac{z - 2}{-3}$; проверка - оба скалярных произведения с нормалями равны нулю.