Как найти высоту тетраэдра: пошаговое решение

Дано: тетраэдр $ABCD$ с вершинами $A(1;\ 1;\ 1)$, $B(2;\ 3;\ 3)$, $C(3;\ -1;\ 2)$ и $D(4;\ 3;\ 2)$. Найти: высоту, опущенную из вершины $D$ на грань $ABC$.

Когда вершины заданы координатами, высоту не строят чертежом, а вычисляют в три действия: объём тетраэдра берут через смешанное произведение, площадь грани - через векторное, а саму высоту достают из формулы объёма пирамиды. Ответ: $h = 2$. Калькулятор сверху считает то же самое для любых координат: на графике грань показана «с ребра», и в таком виде высота идёт из вершины строго вертикально.

Решение по шагам

Шаг 1. Переходим к векторам. Высота зависит от формы тетраэдра, а не от его положения в пространстве, поэтому переносим начало отсчёта в вершину $A$ и дальше работаем с тремя векторами рёбер:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (2 - 1;\ 3 - 1;\ 3 - 1) = (1;\ 2;\ 2), \\ \overrightarrow{AC} &= (3 - 1;\ -1 - 1;\ 2 - 1) = (2;\ -2;\ 1), \\ \overrightarrow{AD} &= (4 - 1;\ 3 - 1;\ 2 - 1) = (3;\ 2;\ 1). \end{aligned}$$

Все три нужные величины считаются только по этим девяти числам, к исходным координатам мы больше не возвращаемся.

Шаг 2. Объём через смешанное произведение. Смешанное произведение трёх векторов равно определителю, составленному из их координат:

$$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 10 = 18.$$

Определитель раскрыт по первой строке: миноры равны $(-2) \cdot 1 - 1 \cdot 2 = -4$, затем $2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -1$ и $2 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 = 10$, а знаки чередуются. Сама техника разложения по строке подробно разобрана в задаче про минор матрицы. Объём тетраэдра равен шестой части модуля этого числа:

$V = \dfrac{1}{6}\left|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}\right| = \dfrac{18}{6} = 3.$

Шаг 3. Площадь грани через векторное произведение. Грань $ABC$ - треугольник, построенный на векторах $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. Считаем их векторное произведение:

$\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \bigl(2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2);\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1;\ 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2\bigr) = (6;\ 3;\ -6).$

Длина этого вектора и есть площадь параллелограмма на тех же сторонах, а треугольник вдвое меньше:

$|\mathbf{n}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{81} = 9, \qquad S_{ABC} = \dfrac{|\mathbf{n}|}{2} = 4{,}5.$

Почему модуль векторного произведения даёт именно площадь, разобрано в статье про векторное произведение и площадь параллелограмма - там же показано, куда смотрит сам вектор $\mathbf{n}$.

Шаг 4. Достаём высоту. Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, поэтому высота выражается одним делением:

$h = \dfrac{3V}{S_{ABC}} = \dfrac{3 \cdot 3}{4{,}5} = \dfrac{9}{4{,}5} = 2.$

Ответ: высота тетраэдра $ABCD$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, равна $h = 2$.

Формула и откуда она берётся

В основе лежит школьная формула объёма пирамиды $V = \dfrac{1}{3} S h$. Из неё высота выражается как $h = \dfrac{3V}{S}$, и весь метод сводится к тому, чтобы честно посчитать оба числа справа по координатам.

Шестёрка в объёме тоже не взята с потолка. Модуль смешанного произведения трёх векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на них как на рёбрах. Диагональное сечение делит этот параллелепипед на две одинаковые треугольные призмы, а каждая призма разрезается на три равновеликих тетраэдра. Отсюда и получается делитель $2 \cdot 3 = 6$.

Если подставить обе формулы в $h = 3V/S$, дроби сократятся и останется совсем короткое выражение. Обозначим векторы рёбер, выходящих из одной вершины грани, через $\mathbf{e}_1$ и $\mathbf{e}_2$, а вектор к четвёртой вершине через $\mathbf{e}_3$:

$h = \dfrac{3 \cdot \dfrac{1}{6}\left|(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2) \cdot \mathbf{e}_3\right|}{\dfrac{1}{2}\left|\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2\right|} = \dfrac{\left|(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2) \cdot \mathbf{e}_3\right|}{\left|\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2\right|} = \dfrac{18}{9} = 2.$

В этой записи высота - это модуль проекции вектора $\mathbf{e}_3$ на нормаль грани, то есть в точности расстояние от вершины до плоскости основания. Поэтому смешанное произведение можно вообще не делить на шесть, а векторное - на два: если оба множителя нужны только ради высоты, они сокращаются.

Все четыре высоты одного тетраэдра

Тетраэдр - единственный многогранник, у которого любая грань годится в основание. Объём при этом остаётся одним и тем же, меняется только площадь в знаменателе, поэтому все четыре высоты считаются из уже найденного $V = 3$. Площади остальных граней находятся тем же векторным произведением:

Закономерность видна сразу: чем больше грань, тем короче опущенная на неё высота, и произведение $S h$ у всех четырёх пар одинаково и равно $3V = 9$. Это удобная контрольная проверка - если в задаче просят все высоты, перемножьте каждую пару и сравните результаты. В калькуляторе сверху переключатель вершины перебирает те же четыре варианта, а число под графиком меняется вместе с формой силуэта.

Совпадение первой и последней строк здесь случайное: грани $BCD$ и $ABC$ у этого тетраэдра равновелики. В общем случае все четыре высоты разные.

Если тетраэдр правильный или задан не координатами

У правильного тетраэдра с ребром $a$ высоту можно не выводить каждый раз: основание - равносторонний треугольник со стороной $a$, а вершина проецируется в его центр. Готовая формула

$h = a\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$

Для ребра $a = 6$ см получаем $h = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90$ см. Проверим тем же способом, что и в основной задаче: площадь основания $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59$, объём $V = \dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}46$, и тогда $h = \dfrac{3 \cdot 25{,}46}{15{,}59} \approx 4{,}90$. Числа сошлись.

Бывает и обратная постановка: даны объём и площадь основания, а нужна высота. Тогда ничего считать не надо, формула $h = 3V/S$ применяется напрямую. Если же тетраэдр задан длинами рёбер, удобнее всего самому расставить вершины в системе координат: первую поместить в начало, вторую - на ось $Ox$, третью - в плоскость $Oxy$, а координаты четвёртой найти из трёх уравнений расстояний. Дальше задача возвращается к разобранному алгоритму.

Проверка ответа

Высота из вершины $D$ - это расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, поэтому ответ проверяется независимым путём. Нормаль плоскости мы уже нашли на шаге 3, это $\mathbf{n} = (6;\ 3;\ -6)$, её можно сократить на $3$ и взять $(2;\ 1;\ -2)$. Подставляем точку $A(1;\ 1;\ 1)$ и получаем уравнение

$2x + y - 2z - 1 = 0.$

Координаты $B$ и $C$ обращают его в ноль, значит плоскость выписана верно; как это делается в общем случае, разобрано в задаче про уравнение плоскости. Теперь считаем расстояние от $D(4;\ 3;\ 2)$:

$d = \dfrac{|2 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{6}{3} = 2.$

Ответ совпал с $h = 2$, найденным через объём. Если нужно ещё и основание высоты, его координаты ищутся как проекция точки на плоскость - это следующий шаг того же расчёта.

Смешанное и векторное произведения, на которых держится этот расчёт, дают и другие величины: например, проекцию вектора на ось находят через скалярное произведение.

Частые ошибки

• Забыли модуль у смешанного произведения. Определитель может выйти отрицательным: знак говорит только об ориентации тройки векторов, а объём отрицательным не бывает. Отрицательная высота - верный признак потерянного модуля.
• Делят на $6$ дважды. Объём тетраэдра равен $\frac{1}{6}$ модуля определителя, но некоторые ещё раз делят на $6$ уже готовый объём. Контроль: у нашего тетраэдра $V = 3$, а не $0{,}5$.
• Площадь грани принята за модуль векторного произведения. Модуль даёт площадь параллелограмма, а грань - треугольник, то есть половина. Пропущенная двойка удваивает высоту.
• Векторы взяты от разных вершин. Все три вектора обязаны выходить из одной точки. Комбинация вроде $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ даёт другое число и другой ответ.
• Высота посчитана не на ту грань. Если в условии сказано «из вершины $D$», в знаменателе должна стоять площадь противолежащей грани $ABC$, а не любой удобной. Проверка простая: буква вершины не входит в название грани.
• Точки оказались в одной плоскости. Нулевое смешанное произведение означает, что тетраэдра нет вовсе, и высоту искать не у чего. Это не ошибка вычислений, а сигнал перепроверить условие.

FAQ

Можно ли найти высоту без объёма? Да. Формула $h = |(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2) \cdot \mathbf{e}_3| / |\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2|$ обходится без деления на шесть и на два: множители сокращаются. Но объём почти всегда просят в том же задании, поэтому считать его по дороге удобно.

Что делать, если смешанное произведение равно нулю? Значит, четыре точки лежат в одной плоскости. Объём равен нулю, высота тоже, и задача вырождена: либо в условии опечатка, либо от вас ждут именно вывода о компланарности точек.

Совпадает ли высота тетраэдра с высотой треугольной грани? Нет, это разные объекты. Высота тетраэдра - перпендикуляр из вершины к плоскости грани, он в общем случае не лежит ни в одной грани. Высота треугольника лежит в плоскости самого треугольника, и через неё считают площадь, а не объём.

Обязательно ли основание высоты попадает внутрь грани? Не обязательно. У тупых тетраэдров перпендикуляр из вершины бьёт в плоскость за пределами треугольника. На длину высоты это никак не влияет: формула $h = 3V/S$ работает и в таком случае, потому что оперирует площадью грани, а не положением точки.

Коротко

1. Перенести начало в одну вершину грани и выписать три вектора рёбер, выходящих из неё.
2. Посчитать смешанное произведение как определитель третьего порядка и взять объём $V = \frac{1}{6}$ его модуля.
3. Найти векторное произведение двух сторон грани, его длину поделить на $2$ - это площадь $S$.
4. Разделить: $h = 3V/S$. Проверить ответ как расстояние от вершины до плоскости грани.
5. Для тетраэдра $A(1;\ 1;\ 1)$, $B(2;\ 3;\ 3)$, $C(3;\ -1;\ 2)$, $D(4;\ 3;\ 2)$: определитель $18$, объём $V = 3$, площадь $S_{ABC} = 4{,}5$, высота из вершины $D$ равна $h = 2$.