Как привести кривую к каноническому виду: разбор

Дано: уравнение $5x^2 - 4xy + 8y^2 - 32x + 56y + 80 = 0$. Найти: тип кривой и её канонический вид.

Путь всегда один: три инварианта говорят, что это за кривая, система из двух линейных уравнений даёт центр, а собственные числа матрицы квадратичной части становятся коэффициентами канонического уравнения. Здесь получается эллипс $\dfrac{x'^2}{9} + \dfrac{y'^2}{4} = 1$ с центром $(2; -3)$, повёрнутый на угол $\alpha = \operatorname{arctg} \dfrac{1}{2} \approx 26^\circ 34'$. Калькулятор сверху проходит те же шаги для любых шести коэффициентов и рисует кривую вместе с новыми осями.

Решение по шагам

Дано. $5x^2 - 4xy + 8y^2 - 32x + 56y + 80 = 0$. Найти: тип, центр, угол поворота и каноническое уравнение.

Шаг 1. Выписать матрицу кривой. Уравнение сравнивают с шаблоном, где у смешанного и у линейных членов стоят удвоенные коэффициенты:

$$a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0.$$

Отсюда $a_{11} = 5$, $a_{12} = -2$, $a_{22} = 8$, $a_{13} = -16$, $a_{23} = 28$, $a_{33} = 80$. Половинки - самое опасное место всей задачи: при $xy$ стоит $-4$, а в матрицу идёт $-2$. Собираем матрицу кривой и её левый верхний угол - матрицу квадратичной части:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -16 \\ -2 & 8 & 28 \\ -16 & 28 & 80 \end{pmatrix}, \qquad A_0 = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}.$$

Шаг 2. Посчитать инварианты. Их три: след квадратичной части, её определитель и определитель всей матрицы.

$$\begin{aligned} S &= a_{11} + a_{22} = 5 + 8 = 13, \\ \delta &= \det A_0 = 5 \cdot 8 - (-2)^2 = 36, \\ \Delta &= \det A = 5(8 \cdot 80 - 28^2) + 2((-2)80 + 28 \cdot 16) - 16(-2 \cdot 28 + 8 \cdot 16) = -1296. \end{aligned}$$

Шаг 3. Определить тип. Знак $\delta$ делит все кривые на три семейства, а $\Delta$ отвечает за вырожденность. У нас $\delta = 36 > 0$, значит тип эллиптический; $\Delta = -1296 \neq 0$, значит кривая невырожденная. Осталось отличить действительный эллипс от мнимого: для этого смотрят знак произведения $S \cdot \Delta = 13 \cdot (-1296) < 0$. Произведение отрицательно - эллипс действительный, у него есть точки.

Шаг 4. Найти центр. Центр - это точка, где обе половинные производные обращаются в нуль. Система собирается прямо из строк матрицы:

$$\begin{cases} 5x - 2y - 16 = 0, \\ -2x + 8y + 28 = 0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $x = 4y + 14$; подставляем в первое: $5(4y + 14) - 2y - 16 = 18y + 54 = 0$, откуда $y = -3$ и $x = 2$. Центр $O'(2; -3)$. Система имеет единственное решение именно потому, что её определитель равен $\delta = 36 \neq 0$.

Шаг 5. Сделать параллельный перенос. Переносим начало координат в центр: $x = x' + 2$, $y = y' - 3$. Квадратичная часть при переносе не меняется, линейные члены исчезают, а новый свободный член равен значению левой части в центре:

$$F' = 5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) + 8 \cdot (-3)^2 - 32 \cdot 2 + 56 \cdot (-3) + 80 = -36 = \frac{\Delta}{\delta} = \frac{-1296}{36}.$$

Совпадение не случайно: для центральной кривой свободный член после переноса всегда равен $\Delta / \delta$, и это готовая проверка арифметики. Уравнение стало $5x'^2 - 4x'y' + 8y'^2 - 36 = 0$.

Шаг 6. Повернуть оси. Осталось убрать член с $x'y'$. Коэффициенты канонического уравнения - это собственные числа матрицы $A_0$, а они находятся из характеристического уравнения $\lambda^2 - S\lambda + \delta = 0$:

$$\lambda^2 - 13\lambda + 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 4, \; \lambda_2 = 9.$$

Подставляем в $\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \Delta/\delta = 0$ и делим на 36:

$$4X^2 + 9Y^2 - 36 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1.$$

Угол поворота задаёт собственный вектор числа $\lambda_1 = 4$: из уравнения $(5 - 4)x - 2y = 0$ получаем направление $(2; 1)$, то есть $\operatorname{tg} \alpha = 1/2$ и $\alpha \approx 26^\circ 34'$.

Ответ: эллипс $\dfrac{X^2}{9} + \dfrac{Y^2}{4} = 1$ с полуосями $a = 3$ и $b = 2$, центром $(2; -3)$ и поворотом осей на $26^\circ 34'$. Попутно $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$, эксцентриситет $e = \sqrt{5}/3 \approx 0{,}745$.

Проверка. У канонического уравнения те же инварианты: $S = 4 + 9 = 13$, $\delta = 4 \cdot 9 = 36$, $\Delta = 4 \cdot 9 \cdot (-36) = -1296$. Все три совпали с исходными, значит преобразование сделано без ошибок. Вторая проверка - по точкам: при $x = 0$ уравнение даёт $8y^2 + 56y + 80 = 0$, то есть $y = -2$ и $y = -5$, и обе точки действительно лежат на нарисованном эллипсе.

Откуда берутся инварианты и почему им можно верить

Инвариант - это величина, которая не меняется при повороте осей и параллельном переносе. Поворот описывается ортогональной матрицей, а у ортогонального преобразования сохраняются и след, и определитель матрицы квадратичной части: отсюда неизменность $S$ и $\delta$. Определитель $\Delta$ устроен хитрее, но и он выдерживает обе операции, потому что перенос сводится к умножению матрицы кривой на треугольную матрицу с единичным определителем слева и справа.

Практический смысл простой. Величина $\delta = \lambda_1 \lambda_2$ - произведение собственных чисел: при $\delta > 0$ они одного знака и кривая эллиптическая, при $\delta < 0$ разных знаков и кривая гиперболическая, при $\delta = 0$ одно из них нулевое и центра у кривой нет. Определитель $\Delta$ показывает, распалась кривая или нет: нулевой $\Delta$ означает, что от эллипса осталась точка, а от гиперболы - пара пересекающихся прямых.

Сами собственные числа ищутся так же, как в любой задаче на спектр: решается уравнение $\det(A_0 - \lambda E) = 0$, и если нужен подробный разбор этого шага, он есть в отдельной задаче про собственные значения матрицы. Теория ортогонального преобразования квадратичной формы, из которой всё это следует, разобрана в статье про приведение квадратичной формы - там же показано, почему у симметричной матрицы собственные векторы всегда перпендикулярны и почему поворот к ним существует всегда.

Второй способ: угол поворота без собственных чисел

В школьном и техническом варианте обходятся без спектра. Угол, при котором смешанный член исчезает, находят из соотношения

$$\operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{a_{11} - a_{22}}{2a_{12}} = \frac{5 - 8}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}.$$

Значит $\operatorname{tg} 2\alpha = 4/3$, откуда $2\alpha \approx 53^\circ 8'$ и $\alpha \approx 26^\circ 34'$ - ровно тот же угол, что дал собственный вектор. Дальше подставляют $x' = X\cos\alpha - Y\sin\alpha$, $y' = X\sin\alpha + Y\cos\alpha$ с $\cos\alpha = 2/\sqrt{5}$ и $\sin\alpha = 1/\sqrt{5}$ и раскрывают скобки: коэффициент при $X^2$ оказывается равен 4, при $Y^2$ равен 9, при $XY$ - нулю.

Способ рабочий, но длиннее и грязнее: приходится возводить в квадрат тригонометрию и следить за знаками. Через собственные числа ответ выписывается сразу, а поворот нужен только для того, чтобы назвать угол. Поэтому на контрольных обычно требуют именно инварианты, а тригонометрию оставляют для проверки.

Если центра нет: параболический случай

Когда $\delta = 0$, система для центра несовместна, переносить нечего и схема меняется. Проверьте это на примере $9x^2 - 24xy + 16y^2 - 20x + 110y - 50 = 0$: здесь $S = 25$, $\delta = 9 \cdot 16 - 144 = 0$, $\Delta = -15625$. Ненулевой $\Delta$ при нулевом $\delta$ означает параболу, и её параметр считается прямо по инвариантам:

$$p = \sqrt{-\frac{\Delta}{S^3}} = \sqrt{\frac{15625}{15625}} = 1, \qquad Y^2 = 2X.$$

Вместо центра у параболы вершина, её находят выделением полного квадрата по одной переменной после поворота; в этом примере вершина лежит в точке $(3{,}6; 0{,}2)$, а оси повёрнуты на $36^\circ 52'$. Случай $\delta < 0$ разбирается по той же схеме, что и эллипс, только одно собственное число отрицательное и получается гипербола вида $X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1$; её асимптоты и вторая ветвь подробно разобраны в материале про сопряжённую гиперболу.

Частые ошибки

• Забыть про половинки. В матрицу идут $a_{12} = B/2$, $a_{13} = D/2$, $a_{23} = E/2$. Если подставить полные коэффициенты, $\delta$ станет $5 \cdot 8 - 16 = 24$ вместо 36, и тип кривой может смениться на противоположный.
• Перепутать порядок инвариантов. $\delta$ считается по матрице $2 \times 2$, $\Delta$ - по матрице $3 \times 3$. Определитель всей матрицы в критерий типа не входит, он решает только вопрос вырожденности.
• Оставить старый свободный член. После переноса в центр он обязан стать равным $\Delta/\delta$, а не сохранить прежнее значение 80.
• Приписать собственное число не той оси. Если поставить $\lambda_1 = 9$ первым, получится $X^2/4 + Y^2/9 = 1$: кривая та же, но большая полуось окажется вдоль $Y$, и угол поворота изменится на $90^\circ$.
• Объявить мнимый эллипс действительным. При $\delta > 0$ нужно ещё проверить знак $S\Delta$: если он положителен, действительных точек нет.
• Искать центр при $\delta = 0$. Система вырождена, решения нет, и попытка «дожать» её приводит к бессмысленным числам.

FAQ

Зачем считать инварианты, если можно сразу повернуть оси? Инварианты дают ответ на вопрос «что это за кривая» до всяких преобразований и стоят пяти минут. Кроме того, они работают как контроль: пересчитав $S$, $\delta$ и $\Delta$ по каноническому уравнению, вы мгновенно увидите арифметическую ошибку.

Что делать, если члена с $xy$ нет? Тогда поворот не нужен вовсе: $a_{12} = 0$, оси уже главные, и достаточно выделить полные квадраты по $x$ и по $y$. Так, например, решается задача про центр и радиус окружности.

Можно ли сначала повернуть, а потом перенести? Для центральной кривой порядок не важен, результат совпадёт. Но переносить первым выгоднее: после переноса пропадают линейные члены, и в повороте участвуют всего три коэффициента вместо шести.

Как по каноническому уравнению найти фокусы и директрисы? Для эллипса $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, фокусы лежат на оси $X$ на расстоянии $c$ от центра, а директрисы задаются уравнениями $X = \pm a/e$; подробный вывод есть в разборе про директрису эллипса. В исходных осях фокусы получаются обратным преобразованием: поворот на $\alpha$ и сдвиг в центр.

Коротко

1. Выписать матрицу кривой, деля пополам коэффициенты при $xy$, $x$ и $y$.
2. Посчитать $S = a_{11} + a_{22}$, $\delta = \det A_0$ и $\Delta = \det A$; в примере это 13, 36 и $-1296$.
3. Определить тип: $\delta > 0$ - эллиптический, $\delta < 0$ - гиперболический, $\delta = 0$ - параболический; $\Delta = 0$ означает вырождение.
4. Для центральной кривой найти центр из системы половинных производных и перенести начало туда, взяв новый свободный член равным $\Delta/\delta$.
5. Решить $\lambda^2 - S\lambda + \delta = 0$ и записать $\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \Delta/\delta = 0$. Для примера это эллипс $X^2/9 + Y^2/4 = 1$ с центром $(2; -3)$ и поворотом на $26^\circ 34'$.