Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием

Квадратичная форма от двух переменных $Q(x, y) = a x^2 + 2b xy + c y^2$ почти всегда содержит перекрёстный член $2b xy$, и именно он мешает сразу увидеть её геометрию и знак. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием убирает этот член: мы поворачиваем оси координат так, чтобы они совпали с главными осями формы, и в новых координатах остаётся только сумма квадратов $\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2$. Ключевая идея в том, что матрица формы симметрична, а у симметричной матрицы собственные векторы ортогональны, поэтому поворот к ним и есть нужное ортогональное преобразование. Ниже разберём, как составить матрицу формы, найти собственные числа и векторы, выписать ортогональную матрицу перехода и получить канонический вид. Чтобы сразу почувствовать связь коэффициентов, поворота и собственных чисел, покрутите калькулятор ниже: он строит линию уровня $Q = 1$ и показывает, как новые оси ложатся на неё.

Матрица квадратичной формы

Любую квадратичную форму удобно записать через симметричную матрицу. Для формы $Q(x, y) = a x^2 + 2b xy + c y^2$ матрица формы такова:

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}, \qquad Q = X^{T} A X, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$

Обратите внимание на коэффициент: на диагонали стоят $a$ и $c$, а внедиагональные элементы равны $b$, то есть половине коэффициента при $xy$. Если в условии дано $Q = 5x^2 + 4xy + 2y^2$, то $b = 2$, а не $4$, иначе все собственные числа получатся неверными. Матрица $A$ симметрична ($A = A^{T}$) по построению, и это не случайность, а главное свойство, на котором держится весь метод: спектральная теорема гарантирует, что у симметричной матрицы все собственные числа вещественны, а собственные векторы можно выбрать ортонормированными.

Идея ортогонального преобразования

Ортогональное преобразование - это поворот (возможно, с отражением), который сохраняет длины и углы. Его матрица $P$ удовлетворяет условию $P^{T} P = E$, то есть $P^{-1} = P^{T}$. Если перейти к новым координатам $X = P X'$, форма превращается в

$Q = X^{T} A X = (P X')^{T} A (P X') = X'^{T} (P^{T} A P) X'.$

Значит, новая матрица формы равна $P^{T} A P$. Задача приведения квадратичной формы ортогональным преобразованием сводится к выбору такой ортогональной матрицы $P$, чтобы $P^{T} A P$ стала диагональной. Тогда перекрёстный член исчезает, и остаётся канонический вид. Поскольку для ортогональной матрицы $P^{-1} = P^{T}$, диагонализация $P^{T} A P = P^{-1} A P$ совпадает с обычной диагонализацией по собственным векторам.

Рассчитать для своей задачи

На анимации эллипс уровня $Q = 1$ неподвижен - это сама форма, она от системы координат не зависит. Двигается рамка осей: когда оси x' и y' направлены вдоль осей эллипса, перекрёстный коэффициент обнуляется, и это ровно тот момент, когда форма стала канонической. Поэтому искомое преобразование - поворот к собственным векторам матрицы $A$.

Почему вообще существует поворот, обнуляющий член с $xy$? Если повернуть оси на произвольный угол $\varphi$, новый коэффициент при $x'y'$ оказывается равен $b' = b \cos 2\varphi + \dfrac{c - a}{2} \sin 2\varphi$. Это плавная функция угла: при $\varphi = 0$ она равна исходному $b$, а при подходящем $\varphi$ обращается в ноль, что и даёт формулу $\operatorname{tg} 2\varphi = \dfrac{2b}{a - c}$. Геометрически такой угол всегда найдётся, потому что у эллипса и у гиперболы есть оси симметрии, и достаточно совместить с ними оси координат. Спектральная теорема лишь гарантирует, что эти оси симметрии взаимно перпендикулярны, то есть преобразование действительно ортогонально, а не произвольно линейно.

Собственные числа и канонический вид

Диагональными элементами матрицы $P^{T} A P$ становятся собственные числа $\lambda_1, \lambda_2$ матрицы $A$. Их находят из характеристического уравнения:

$\det(A - \lambda E) = (a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0.$

Раскрыв скобки, получаем $\lambda^2 - (a + c)\lambda + (ac - b^2) = 0$, откуда

$\lambda_{1,2} = \frac{a + c}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a - c}{2}\right)^2 + b^2}.$

Канонический вид формы тогда записывается сразу через собственные числа:

$Q = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2.$

Здесь $x', y'$ - координаты в новом, повёрнутом базисе. Сумма собственных чисел равна следу матрицы $\lambda_1 + \lambda_2 = a + c$, а произведение равно определителю $\lambda_1 \lambda_2 = ac - b^2$. Эти два равенства - удобная проверка: если найденные собственные числа им не удовлетворяют, в вычислениях ошибка. Для нашего примера $Q = 5x^2 + 4xy + 2y^2$ имеем $a = 5,\ b = 2,\ c = 2$, и

$\lambda_{1,2} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4} = \frac{7}{2} \pm \frac{5}{2},$

то есть $\lambda_1 = 6$ и $\lambda_2 = 1$. Канонический вид: $Q = 6 x'^2 + y'^2$.

Собственные векторы и матрица перехода

Собственные числа дают только коэффициенты канонической формы. Чтобы выписать само ортогональное преобразование, нужны собственные векторы. Для каждого $\lambda_i$ решаем систему $(A - \lambda_i E) v = 0$. Для $\lambda_1 = 6$:

$\begin{pmatrix} 5 - 6 & 2 \\ 2 & 2 - 6 \end{pmatrix} v = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} v = 0 \;\Rightarrow\; v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Аналогично для $\lambda_2 = 1$ получаем $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Эти векторы автоматически ортогональны: $v_1 \cdot v_2 = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0$ - следствие симметричности матрицы. Осталось их нормировать (поделить на длину $\sqrt{5}$) и поставить столбцами в матрицу перехода:

$P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Эта матрица ортогональна ($P^{T} P = E$) и задаёт поворот на угол $\theta = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 26{,}57^\circ$ - именно на столько надо повернуть оси, чтобы избавиться от члена с $xy$. Прямая подстановка подтверждает результат: $P^{T} A P = \operatorname{diag}(6, 1)$.

Рассчитать для своей задачи

В канонических осях геометрия видна сразу. Если оба собственных числа положительны, линия уровня $Q = 1$ - эллипс с полуосями $1/\sqrt{\lambda_1}$ и $1/\sqrt{\lambda_2}$. Большее собственное число отвечает за более «крутое» слагаемое и потому за более короткую полуось. У нас $\lambda_1 = 6 > \lambda_2 = 1$, поэтому вдоль оси x' эллипс короче ($1/\sqrt{6}$), а вдоль y' длиннее ($1/\sqrt{1} = 1$).

Знакоопределённость и тип линии уровня

Канонический вид сразу отвечает на вопрос о знакоопределённости формы - по знакам собственных чисел. Если оба положительны, форма положительно определена и $Q > 0$ при любом ненулевом $X$; линия $Q = 1$ - эллипс. Если оба отрицательны - форма отрицательно определена, а уравнение $Q = 1$ вещественных решений не имеет. Если собственные числа разных знаков ($\det A < 0$), форма знакопеременна, и линия уровня - гипербола. Это удобный критерий: знак $\det A = ac - b^2$ и знак следа $a + c$ полностью определяют картину, не требуя самих векторов. Калькулятор выше подсвечивает тип кривой при любых коэффициентах - попробуйте увести определитель в минус и увидите, как эллипс превращается в гиперболу.

Существует и более общий инструмент для проверки знакоопределённости без вычисления собственных чисел - критерий Сильвестра по угловым минорам матрицы $A$. Форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны: $a > 0$ и $ac - b^2 > 0$. Для отрицательной определённости знаки угловых миноров должны чередоваться, начиная с минуса. Этот критерий полезен, когда нужно только установить знак формы, а полное приведение не требуется. Но если задача спрашивает именно канонический вид и главные оси, без собственных чисел и векторов не обойтись.

Заметим, что переход к новому базису меняет вид записи, но не сам объект: вектор и его геометрия не зависят от выбора системы координат, как и при разложении координат вектора в новом базисе.

Связь с приведением методом Лагранжа

Часто ту же форму приводят и методом Лагранжа - выделением полных квадратов. Этот способ проще арифметически, но он даёт не ортогональное преобразование: новые оси, вообще говоря, не перпендикулярны, и длины при переходе искажаются. Поэтому метод Лагранжа годится для определения знакоопределённости (закон инерции гарантирует, что число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения), но не сохраняет метрику. Ортогональное преобразование тем и ценно, что сохраняет длины и углы: главные оси, которые оно находит, - это настоящие оси симметрии линии уровня, а собственные числа - реальные характеристики формы, не зависящие от выбора координат.

Частые ошибки

• Внедиагональный элемент берут равным коэффициенту при $xy$. В матрице формы стоит $b$, то есть половина коэффициента при $xy$. Для $4xy$ это $b = 2$, иначе собственные числа и угол поворота выйдут неверными.
• Собственные векторы не нормируют. Матрица перехода $P$ обязана быть ортогональной ($P^{T} P = E$), а для этого её столбцы - собственные векторы единичной длины. Без нормировки $P^{T} A P$ не получится диагональной с нужными числами.
• Путают, какое собственное число к какой оси относится. Коэффициент при $x'^2$ - это собственное число того вектора, который поставлен первым столбцом $P$. Перестановка столбцов меняет местами $\lambda_1$ и $\lambda_2$.
• Забывают про знак при определении типа кривой. Эллипс получается только при одинаковых знаках собственных чисел; при разных знаках это гипербола, а не эллипс.
• Считают, что метод Лагранжа даёт ортогональное преобразование. Полные квадраты дают канонический вид, но преобразование там не ортогональное и метрику не сохраняет.

FAQ

Почему именно ортогональное преобразование, а не любое линейное? Любое невырожденное линейное преобразование тоже приводит форму к сумме квадратов (метод Лагранжа), но искажает длины и углы. Ортогональное преобразование сохраняет метрику, поэтому найденные оси - настоящие оси симметрии линии уровня, а собственные числа - её геометрические характеристики. Для задач, где важна геометрия (тип кривой, длины осей), нужно именно ортогональное приведение.

Как найти угол поворота главных осей? Угол $\theta$ между первой главной осью и осью $x$ находят из формулы $\operatorname{tg} 2\theta = \dfrac{2b}{a - c}$ либо как угол собственного вектора $v_1$: $\theta = \operatorname{arctg}(v_{1y} / v_{1x})$. Для $Q = 5x^2 + 4xy + 2y^2$ это $\theta \approx 26{,}57^\circ$.

Что делать, если коэффициент при $xy$ уже равен нулю? Тогда матрица формы уже диагональна, форма каноническая, а собственные числа равны $a$ и $c$. Поворачивать ничего не нужно: оси координат и так совпадают с главными осями.

Коротко

Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием - это поворот осей к собственным векторам симметричной матрицы формы $A$. Собственные числа $\lambda_1, \lambda_2$ становятся коэффициентами канонического вида $\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2$, а нормированные собственные векторы образуют столбцы ортогональной матрицы перехода $P$, для которой $P^{T} A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$. Знаки собственных чисел задают знакоопределённость формы и тип линии уровня: одинаковые знаки - эллипс, разные - гипербола. В отличие от метода Лагранжа, ортогональное преобразование сохраняет длины и углы, поэтому даёт настоящие главные оси формы.