Как найти орт вектора: формула и пример расчёта

Дано: вектор $\mathbf{a}(3;\ -4;\ 12)$. Найти: орт вектора, его направляющие косинусы и контрольную сумму их квадратов.

Орт (он же единичный вектор направления) получается делением каждой координаты на длину вектора. Длина здесь целая, $|\mathbf{a}| = 13$, поэтому ответ выходит в аккуратных дробях: $\mathbf{e} = \left(\dfrac{3}{13};\ -\dfrac{4}{13};\ \dfrac{12}{13}\right) \approx (0{,}2308;\ -0{,}3077;\ 0{,}9231)$, а сумма квадратов координат равна единице. Калькулятор сверху пересчитывает орт, углы с осями и проверку под любые координаты, ниже разобрано решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. Вектор задан координатами в пространстве:

Найти: орт $\mathbf{e}$, направляющие косинусы и углы с осями, проверку $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$.

Шаг 1. Длина вектора. Единственная величина, которой не хватает для деления, это модуль вектора. Считаем его по координатам:

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$

Обрати внимание на скобки у отрицательной координаты: квадрат числа $-4$ равен $16$, а не $-16$. Под корнем все слагаемые положительные всегда, и если там появился минус, ошибка уже произошла.

Шаг 2. Деление на длину. Орт равен вектору, делённому на его модуль. Делим покоординатно:

$$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left(\frac{3}{13};\ \frac{-4}{13};\ \frac{12}{13}\right) \approx (0{,}2308;\ -0{,}3077;\ 0{,}9231).$$

Дробный вид лучше оставить как основной ответ: он точный, а десятичный нужен только для оценки углов. Знаки координат сохранились, значит направление не изменилось, сжалась лишь длина.

Шаг 3. Направляющие косинусы и углы. Координаты орта и есть направляющие косинусы исходного вектора, отдельно их считать не нужно:

$$\cos\alpha = \frac{3}{13} \approx 0{,}2308, \qquad \cos\beta = -\frac{4}{13} \approx -0{,}3077, \qquad \cos\gamma = \frac{12}{13} \approx 0{,}9231.$$

Через арккосинус получаем углы с осями: $\alpha \approx 76{,}66^\circ$, $\beta \approx 107{,}92^\circ$, $\gamma \approx 22{,}62^\circ$. Тупой угол с осью $Oy$ ожидаем: координата $a_y$ отрицательна, вектор смотрит в сторону убывания $y$.

Шаг 4. Проверка. Сумма квадратов координат орта обязана дать единицу:

$$\left(\frac{3}{13}\right)^2 + \left(\frac{4}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{9 + 16 + 144}{169} = \frac{169}{169} = 1.$$

В десятичном виде это $0{,}0533 + 0{,}0947 + 0{,}8521 = 1{,}0001$, расхождение целиком объясняется округлением до четырёх знаков.

Ответ. $\mathbf{e} = \left(\dfrac{3}{13};\ -\dfrac{4}{13};\ \dfrac{12}{13}\right) \approx (0{,}2308;\ -0{,}3077;\ 0{,}9231)$; углы с осями примерно $76{,}66^\circ$, $107{,}92^\circ$ и $22{,}62^\circ$; проверка суммы квадратов сходится в единицу.

Формула орта и откуда она берётся

Орт вектора $\mathbf{a}$ обозначают $\mathbf{e}$, $\mathbf{a}^0$ или $\mathbf{e}_{\mathbf{a}}$ и определяют одной формулой:

$$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left(\frac{a_x}{|\mathbf{a}|};\ \frac{a_y}{|\mathbf{a}|};\ \frac{a_z}{|\mathbf{a}|}\right), \qquad |\mathbf{a}| \neq 0.$$

Смысл прозрачен. Умножение вектора на число $k > 0$ не меняет направления, а длину умножает ровно на $k$. Возьмём $k = 1/|\mathbf{a}|$: направление остаётся прежним, а длина становится равной $|\mathbf{a}| \cdot \dfrac{1}{|\mathbf{a}|} = 1$. Операцию называют нормированием вектора, и она даёт единственный единичный вектор данного направления.

Отсюда же видно, почему координаты орта совпадают с направляющими косинусами. Каждая из них равна $a_i / |\mathbf{a}|$, а это в точности определение косинуса угла между вектором и соответствующей осью. Теорию направляющих косинусов, включая вывод через скалярное произведение с ортами осей, подробно разбирает отдельная статья про направляющие косинусы, здесь она нужна только как способ записать ответ через углы. Сама формула длины по координатам, то есть пространственная теорема Пифагора, тоже вынесена в разбор длины вектора.

Полезное следствие: орт не меняется при умножении вектора на положительное число. Возьмём $2\mathbf{a} = (6;\ -8;\ 24)$, его длина равна $26$, и после деления получаем те же $\left(\dfrac{6}{26};\ -\dfrac{8}{26};\ \dfrac{24}{26}\right) = \left(\dfrac{3}{13};\ -\dfrac{4}{13};\ \dfrac{12}{13}\right)$. Орт хранит только направление, вся информация о длине из него вычищена. На этом же свойстве строится проверка коллинеарности векторов: у сонаправленных векторов орты совпадают.

Орт вектора по двум точкам

В задачах вектор чаще задан не координатами, а парой точек. Тогда добавляется один предварительный шаг: координаты вектора равны разности координат конца и начала.

Пусть $A(2;\ 5;\ -1)$ и $B(5;\ 1;\ 11)$. Тогда

$$\overrightarrow{AB} = (5 - 2;\ 1 - 5;\ 11 - (-1)) = (3;\ -4;\ 12),$$

то есть мы вернулись к уже разобранному вектору, и орт получается прежним. Главное здесь не перепутать порядок вычитания: если взять $\overrightarrow{BA}$, все координаты сменят знак и орт окажется противоположным. Вычитается всегда начало из конца, а не наоборот.

Такой же предварительный шаг встречается, когда направление задано прямой или ребром многогранника: сначала выписывают направляющий вектор, и только потом нормируют его. Родственная задача про откладывание вектора на ось разобрана в проекции вектора на ось, где орт оси как раз и служит инструментом счёта.

Вариации: плоскость, минус перед ортом и вектор заданной длины

Плоскость. На плоскости всё устроено так же, просто координат две. Для $\mathbf{a}(-6;\ 8)$ длина равна $\sqrt{36 + 64} = 10$, орт равен $(-0{,}6;\ 0{,}8)$, а проверка принимает вид $0{,}36 + 0{,}64 = 1$. Углы с осями: $\alpha \approx 126{,}87^\circ$ и $\beta \approx 36{,}87^\circ$.

Противоположное направление. Иногда требуется единичный вектор, направленный навстречу данному. Это просто $-\mathbf{e}$: для нашего примера $\left(-\dfrac{3}{13};\ \dfrac{4}{13};\ -\dfrac{12}{13}\right)$. Длина осталась единичной, квадраты координат не изменились, а углы с осями дополнились до $180^\circ$. Переключатель направления в калькуляторе сверху показывает обе версии ответа.

Вектор заданной длины. Орт удобен тем, что из него собирается вектор любой длины вдоль того же направления: нужно умножить его на нужное число. Вектор длины $39$, сонаправленный с $\mathbf{a}$, равен

$$39 \cdot \mathbf{e} = \frac{39}{13} \cdot (3;\ -4;\ 12) = 3 \cdot (3;\ -4;\ 12) = (9;\ -12;\ 36),$$

и проверка подтверждает: $\sqrt{81 + 144 + 1296} = \sqrt{1521} = 39$. Именно так в механике задают силу известной величины вдоль заданного направления, а в компьютерной графике нормируют нормали к поверхностям.

Частые ошибки

• Делят на сумму координат, а не на длину. Знаменатель всегда один и тот же для всех трёх координат, и это корень из суммы квадратов, а не $3 - 4 + 12$. Сумма координат к длине отношения не имеет.
• Теряют скобки у отрицательной координаты. Запись $-4^2$ даёт $-16$; нужно $(-4)^2 = 16$. Из-за этого под корнем получается $9 - 16 + 144$, и длина выходит иррациональной там, где она целая.
• Меняют знак координаты «для красоты». Знаки орта обязаны повторять знаки исходного вектора: минус в координате означает тупой угол с осью, и выбрасывать его нельзя.
• Нормируют нулевой вектор. У вектора $(0;\ 0;\ 0)$ длина равна нулю, делить на неё нельзя, орта у него не существует. В задачах это обычно признак ошибки в предыдущем пункте, а не экзотический случай.
• Путают порядок вычитания точек. Для $\overrightarrow{AB}$ вычитают координаты $A$ из координат $B$. Обратный порядок даёт противоположный орт, то есть ответ с точностью до знака, что на экзамене считается ошибкой.
• Не делают проверку. Сумма квадратов координат орта равна единице всегда; если она вышла $0{,}91$ или $1{,}4$, ошибка уже произошла, и искать её надо в длине.

FAQ

Чем орт отличается от единичного вектора? Ничем: это два названия одного объекта. Ортом вектора $\mathbf{a}$ называют единичный вектор того же направления, то есть $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$. Отдельно словом «орты» называют единичные векторы осей координат $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$, но это частный случай той же идеи.

Обязательно ли переводить ответ в десятичные дроби? Нет, и чаще предпочтительнее обыкновенные дроби: запись $\left(\dfrac{3}{13};\ -\dfrac{4}{13};\ \dfrac{12}{13}\right)$ точна, а $(0{,}23;\ -0{,}31;\ 0{,}92)$ уже округлена и сумму квадратов даёт приближённо. Десятичные числа нужны, когда по косинусам находят углы.

Как найти орт, если длина вектора иррациональна? Так же, делением на корень. Для $\mathbf{a}(1;\ 1;\ 1)$ длина равна $\sqrt{3}$, орт равен $\left(\dfrac{1}{\sqrt 3};\ \dfrac{1}{\sqrt 3};\ \dfrac{1}{\sqrt 3}\right)$, и знаменатель обычно освобождают от иррациональности: $\dfrac{\sqrt 3}{3}$.

Почему сумма квадратов координат орта равна единице? Потому что эта сумма и есть квадрат длины орта, а длина орта по построению равна единице. Формально $\dfrac{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}{|\mathbf{a}|^2} = \dfrac{|\mathbf{a}|^2}{|\mathbf{a}|^2} = 1$.

Коротко

1. Считаем длину вектора: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$; для $\mathbf{a}(3;\ -4;\ 12)$ это $13$.
2. Делим на длину каждую координату: $\mathbf{e} = \left(\dfrac{3}{13};\ -\dfrac{4}{13};\ \dfrac{12}{13}\right) \approx (0{,}2308;\ -0{,}3077;\ 0{,}9231)$.
3. Координаты орта сразу являются направляющими косинусами, углы берём через арккосинус: $76{,}66^\circ$, $107{,}92^\circ$, $22{,}62^\circ$.
4. Проверяем ответ: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$, у нас $\dfrac{9 + 16 + 144}{169} = 1$.
5. Если вектор задан точками, сначала находим его координаты как разность «конец минус начало», и только затем нормируем.