Как найти присоединённую матрицу: разбор 3 на 3

Дано: матрица $A$ со строками $(2;\ 0;\ 1)$, $(1;\ 3;\ 2)$ и $(0;\ 1;\ 1)$. Найти: присоединённую (союзную) матрицу $\tilde{A}$ и обратную матрицу $A^{-1}$.

Присоединённая матрица собирается в два хода: каждый элемент заменяется своим алгебраическим дополнением, а полученная таблица транспонируется. Ответ: $\det A = 3$, присоединённая матрица имеет строки $(1;\ 1;\ -3)$, $(-1;\ 2;\ -3)$, $(1;\ -2;\ 6)$, а обратная получается делением всех её элементов на тройку. Калькулятор сверху считает все девять дополнений для любой матрицы 3x3, а переключение вида над таблицей показывает само транспонирование: значения перескакивают через главную диагональ.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем определитель. Он нужен не для присоединённой матрицы, а для обратной, но проверить его стоит сразу: при нулевом определителе последний шаг отменяется. Разложим по первой строке, в ней есть удобный нуль.

$$\det A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 2 + 1 = 3$$

Определитель равен трём, значит матрица невырожденная и обратная к ней существует. Если техника вычисления определителя третьего порядка ещё не отработана, посмотри отдельный разбор: как вычислить определитель третьего порядка.

Шаг 2. Находим девять миноров. Минор $M_{ij}$ получается вычёркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца: остаётся определитель второго порядка, который считается как произведение главной диагонали минус произведение побочной. Порядок оставшихся чисел менять нельзя.

Шаг 3. Ставим знаки позиций. Алгебраическое дополнение отличается от минора только множителем $(-1)^{i+j}$: на позициях с чётной суммой индексов знак сохраняется, с нечётной меняется. Шахматный порядок знаков для матрицы 3x3 выглядит как плюс, минус, плюс в первой строке и минус, плюс, минус во второй.

Из девяти дополнений складывается матрица дополнений $C$. Она ещё не присоединённая, и именно здесь теряется больше всего баллов: если остановиться на этом шаге, ответ будет отражён относительно диагонали.

$$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix}$$

Шаг 4. Транспонируем. Присоединённая матрица $\tilde{A}$ равна транспонированной матрице дополнений: элемент, стоявший в строке $i$ и столбце $j$, уезжает в строку $j$ и столбец $i$. Первая строка матрицы $C$ становится первым столбцом, вторая строка - вторым столбцом.

$$\tilde{A} = C^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix}$$

Обрати внимание на индексы в общей записи: в первой строке присоединённой матрицы стоят дополнения первого столбца исходной. Это самый короткий способ запомнить правило и не путать направление отражения.

Шаг 5. Делим на определитель. Обратная матрица равна присоединённой, делённой на определитель. Общий множитель выносится за скобку, чтобы не таскать дроби по всем девяти клеткам.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde{A} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & -1 \\ -1/3 & 2/3 & -1 \\ 1/3 & -2/3 & 2 \end{pmatrix}$$

Шаг 6. Проверяем умножением. Проверка стоит одного произведения и ловит любую ошибку в знаках. Умножаем исходную матрицу на присоединённую: должна получиться диагональная матрица с определителем на диагонали.

$$A \tilde{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = 3E$$

Ответ: $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix}$, $\det A = 3$, $A^{-1} = \dfrac{1}{3}\tilde{A}$.

Формула и откуда она берётся

Ключевое тождество для присоединённой матрицы записывается одной строкой и работает для матрицы любого порядка:

$$A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) \cdot E$$

Почему получается именно так, видно из перемножения. Элемент произведения на главной диагонали - это сумма $a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}$, то есть разложение определителя по $i$-й строке, и она равна $\det A$. Элемент вне диагонали - сумма вида $a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + a_{i3}A_{k3}$ при $i \neq k$: элементы берутся из одной строки, а дополнения из другой.

Такая «чужая» сумма всегда равна нулю, и это не совпадение. Она равна определителю матрицы, у которой $k$-я строка заменена копией $i$-й, а определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Отсюда и вылезают нули вне диагонали в проверке из шага 6.

Дальше остаётся разделить обе части на число $\det A$, и определение обратной матрицы выполняется буквально: $A \cdot \frac{1}{\det A}\tilde{A} = E$. Никакого перебора и никакого метода Гаусса здесь не требуется, вся работа спрятана в девяти определителях второго порядка. Механика одного такого дополнения подробно разобрана в задаче про минор и алгебраическое дополнение элемента.

Проверки, которые ловят ошибку

Присоединённая матрица считается долго, и ошибиться в одном из девяти знаков легко. Есть три быстрых проверки, каждая дешевле пересчёта.

Первая уже сделана: произведение $A\tilde{A}$ обязано быть диагональным. Если на диагонали стоят разные числа - потерян знак в одном из дополнений; если диагональ верная, а вне её не нули - перепутано направление транспонирования.

Вторая проверка: определитель присоединённой матрицы связан с исходным формулой $\det \tilde{A} = (\det A)^{n-1}$. Для порядка $n = 3$ это квадрат: $\det \tilde{A} = 3^2 = 9$. Посчитать один определитель быстрее, чем перемножать матрицы.

Третья проверка почти бесплатная: сумма произведений элементов любой строки на их собственные дополнения обязана дать один и тот же определитель. Для второй строки получается $1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 3$ - совпало с разложением по первой строке, значит вторая строка матрицы дополнений посчитана верно.

Матрица 2 на 2 и вырожденный случай

Для второго порядка общий алгоритм вырождается в готовое правило: элементы главной диагонали меняются местами, у побочной меняется знак. Для матрицы со строками $(4;\ 7)$ и $(2;\ 6)$ определитель равен $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$, присоединённая матрица имеет строки $(6;\ -7)$ и $(-2;\ 4)$, а обратная получается делением на десять.

Это то же самое правило, а не отдельное: минор элемента матрицы 2x2 - это оставшееся после вычёркивания одно число, знаки расставляются шахматно, транспонирование меняет местами внедиагональные элементы. Просто на таком размере все три шага умещаются в одну строчку.

Если определитель равен нулю, присоединённая матрица всё равно существует и считается по тому же алгоритму - деление отменяется только на последнем шаге. Тождество превращается в $A\tilde{A} = O$: произведение даёт нулевую матрицу. Ранг вырожденной матрицы меньше трёх, и определить его можно по минорам, как в разборе как найти ранг матрицы.

Отдельно стоит помнить, зачем всё это считалось. Обратная матрица через союзную - рабочий инструмент для матричных уравнений вида AX = B, а те же алгебраические дополнения лежат в основе правила Крамера для систем линейных уравнений.

Частые ошибки

• Забытое транспонирование. Самая частая потеря баллов: матрица дополнений выдаётся за присоединённую. Проверяется мгновенно - в нашем примере на позиции (1; 2) должна стоять единица, а не минус единица.
• Транспонирование исходной матрицы вместо матрицы дополнений. Отражать нужно результат, а не входные данные. Порядок шагов жёсткий: сначала все девять дополнений, потом отражение.
• Знак только у минора. Множитель $(-1)^{i+j}$ относится ко всему минору, а не к одному его слагаемому. При $M_{21} = -1$ дополнение равно $+1$, а не $-1$.
• Деление на определитель раньше времени. Присоединённая матрица - это матрица целых чисел без всяких дробей. Делят только при переходе к обратной.
• Порядок строк внутри минора. После вычёркивания оставшиеся числа нельзя переставлять: перестановка строк меняет знак определителя второго порядка, а с ним и всё дополнение.
• Деление на нулевой определитель. Если $\det A = 0$, ответом задачи служит сама присоединённая матрица, а про обратную пишут, что её не существует.

FAQ

Чем присоединённая матрица отличается от союзной? Это два названия одного объекта. В одних учебниках пишут «присоединённая», в других «союзная» или «взаимная», обозначают $\tilde{A}$, $\operatorname{adj} A$ или $A^{\vee}$. Осторожнее с англоязычными источниками: там adjugate - это она, а adjoint чаще означает сопряжённую матрицу, то есть транспонированную с комплексным сопряжением.

Обязательно ли считать все девять дополнений? Для присоединённой матрицы да, все девять: каждое занимает своё место. Экономия возможна только на определителе - его берут из уже посчитанной строки дополнений, отдельно вычислять не нужно.

Что быстрее для матрицы 4x4 - союзная матрица или метод Гаусса? Гаусс. Присоединённая матрица порядка $n$ требует $n^2$ определителей порядка $n - 1$: для четвёртого порядка это шестнадцать определителей 3x3. Метод элементарных преобразований на таком размере уже заметно короче, зато формула через союзную матрицу даёт точный ответ в дробях и работает в буквенных задачах.

Как проверить присоединённую матрицу, если исходная задана буквами? Тем же тождеством $A\tilde{A} = (\det A)E$: после раскрытия скобок вне диагонали всё обязано сократиться. Это надёжнее, чем перепроверять знаки по таблице.

Коротко

1. Считаем определитель: для матрицы со строками 2 0 1; 1 3 2; 0 1 1 он равен $3$, значит обратная матрица существует.
2. Находим девять миноров, вычёркивая строку и столбец каждого элемента, и умножаем каждый на знак позиции $(-1)^{i+j}$ - получается матрица дополнений $C$.
3. Транспонируем $C$: присоединённая матрица $\tilde{A}$ имеет строки $(1;\ 1;\ -3)$, $(-1;\ 2;\ -3)$, $(1;\ -2;\ 6)$.
4. Делим присоединённую матрицу на определитель и получаем $A^{-1} = \frac{1}{3}\tilde{A}$.
5. Проверяем: $A\tilde{A} = 3E$ и $\det\tilde{A} = 3^2 = 9$ - обе проверки сходятся, ответ верен.