Как решить матричное уравнение: AX = B и XA = B

Дано: матрицы $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. Найти: матрицу $X$ сначала из уравнения $AX = B$, затем из уравнения $XA = B$ с теми же данными.

Оба уравнения решаются одним приёмом: обе части домножаются на обратную матрицу $A^{-1}$ с той стороны, с которой к неизвестной примыкает $A$. Ответ: из $AX = B$ получается $X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, из $XA = B$ - совсем другая матрица $X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$. Калькулятор сверху пересчитает оба случая под ваши числа, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам: уравнение AX = B

Шаг 1. Проверяем определитель. Метод обратной матрицы работает только тогда, когда $A$ невырождена, поэтому расчёт всегда начинается с определителя:

$$\det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0.$$

Определитель ненулевой, значит обратная матрица существует и решение единственно.

Шаг 2. Находим обратную матрицу. Для матрицы второго порядка есть готовое правило: элементы главной диагонали меняются местами, у побочной диагонали меняется знак, всё делится на определитель:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}.$$

Шаг 3. Проверяем обратную матрицу. Эту проверку стоит делать всегда: она стоит одного умножения и ловит ошибку знака ещё до основного расчёта.

$$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Получилась единичная матрица, обратная найдена верно.

Шаг 4. Умножаем обе части слева. В уравнении $AX = B$ матрица $A$ стоит слева от неизвестной, поэтому и $A^{-1}$ приписывается слева к обеим частям. Итоговая формула $X = A^{-1}B$, считаем произведение поэлементно:

$$\begin{aligned} x_{11} &= (-2) \cdot 5 + 1 \cdot 7 = -10 + 7 = -3, \\ x_{12} &= (-2) \cdot 6 + 1 \cdot 8 = -12 + 8 = -4, \\ x_{21} &= 1{,}5 \cdot 5 + (-0{,}5) \cdot 7 = 7{,}5 - 3{,}5 = 4, \\ x_{22} &= 1{,}5 \cdot 6 + (-0{,}5) \cdot 8 = 9 - 4 = 5. \end{aligned}$$

Шаг 5. Проверка подстановкой. Подставляем найденную матрицу в исходное уравнение и умножаем $A$ на $X$:

$$AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 8 & -4 + 10 \\ -9 + 16 & -12 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = B.$$

Ответ: $X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.

Уравнение XA = B: тот же метод, другая сторона

Теперь неизвестная стоит слева от $A$, и это меняет весь расчёт. Домножать надо справа: $XAA^{-1} = BA^{-1}$, откуда $X = BA^{-1}$. Обратная матрица та же самая, менять её не нужно, меняется только порядок сомножителей в произведении.

$$\begin{aligned} x_{11} &= 5 \cdot (-2) + 6 \cdot 1{,}5 = -10 + 9 = -1, \\ x_{12} &= 5 \cdot 1 + 6 \cdot (-0{,}5) = 5 - 3 = 2, \\ x_{21} &= 7 \cdot (-2) + 8 \cdot 1{,}5 = -14 + 12 = -2, \\ x_{22} &= 7 \cdot 1 + 8 \cdot (-0{,}5) = 7 - 4 = 3. \end{aligned}$$

Проверяем подстановкой, но теперь в порядке $XA$:

$$XA = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 6 & -2 + 8 \\ -2 + 9 & -4 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = B.$$

Ответ: $X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$.

Сравните два ответа: матрицы $A$ и $B$ одни и те же, а решения не совпадают ни одним элементом. Это и есть главный практический вывод темы. Умножение матриц некоммутативно, поэтому сторона, с которой приписывается $A^{-1}$, не формальность, а часть условия. Если в контрольной уравнение записано как $XA = B$, а решено как $A^{-1}B$, ответ будет неверным даже при безупречной арифметике.

Формула и откуда она берётся

Вывод занимает две строки и опирается всего на два свойства умножения матриц: ассоциативность и роль единичной матрицы. Умножим обе части уравнения $AX = B$ слева на $A^{-1}$ и переставим скобки:

$$A^{-1}(AX) = A^{-1}B \;\Longrightarrow\; (A^{-1}A)X = A^{-1}B \;\Longrightarrow\; EX = A^{-1}B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}B.$$

Скобки переставлять можно (ассоциативность), произведение $A^{-1}A$ даёт единичную матрицу $E$ по определению обратной, а умножение на $E$ ничего не меняет. Для уравнения $XA = B$ рассуждение дословно то же, только $A^{-1}$ приписывается справа, и получается $X = BA^{-1}$.

Обратная матрица любого порядка считается через союзную (присоединённую) матрицу: $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj} A$, где $\operatorname{adj} A$ составлена из алгебраических дополнений и затем транспонирована. Для порядка 2 эта громоздкая формула сворачивается в правило из шага 2, а начиная с порядка 3 считать союзную матрицу вручную долго: девять миноров против одного прохода метода Гаусса.

Условие применимости ровно одно: $\det A \neq 0$. Если же матрица $A$ квадратная и правая часть является столбцом, матричное уравнение превращается в обычную систему линейных уравнений, и её удобнее решать правилом Крамера через определители или методом Гаусса, не выписывая обратную матрицу целиком.

Что делать с другими формами уравнения

В контрольных встречаются четыре типовые формы, и все сводятся к разобранным двум.

Третья строка требует, чтобы обе матрицы, $A$ и $B$, были невырождены, а четвёртая напоминает про частую ловушку: вынести $X$ за скобку можно только с одной стороны, и вместо единицы там появляется единичная матрица $E$, а не число 1.

Отдельно стоит вырожденный случай. Если $\det A = 0$, обратной матрицы нет и метод неприменим. Уравнение тогда расписывают поэлементно, получают систему линейных уравнений относительно элементов $X$ и исследуют её на совместность: сравнивают ранг основной и расширенной матрицы по теореме Кронекера-Капелли. Решений либо нет вовсе, либо бесконечно много, и в ответе появляются свободные параметры. Само по себе вырождение не всегда помеха: в задаче на собственные значения матрицы определитель $\det(A - \lambda E)$ намеренно приравнивают к нулю - именно вырожденность и даёт ненулевое решение.

Для матриц большого порядка обратную вообще не считают. Приписывают к $A$ справа матрицу $B$, получают расширенную таблицу и приводят её элементарными преобразованиями строк к виду, где слева стоит единичная матрица, а справа сразу оказывается $X$. Этот приём заметно устойчивее к ошибкам округления, чем формула с определителем, а для плохо обусловленных матриц устойчивость решает всё: маленькое возмущение правой части может дать огромное изменение ответа, если число обусловленности велико.

Частые ошибки

• Домножили не с той стороны. Самая частая и самая дорогая ошибка: в уравнении $XA = B$ пишут $X = A^{-1}B$ вместо $X = BA^{-1}$. Разобранный пример показывает разницу наглядно: два ответа не совпадают ни в одном элементе.
• Забыли поделить на определитель. Союзная матрица найдена верно, но множитель $1/\det A$ потерян, и все элементы ответа отличаются от правильных в $\det A$ раз.
• Перепутали, что меняется в матрице второго порядка. Местами меняются элементы главной диагонали, а знак меняется у элементов побочной. Обратный вариант даёт матрицу, которая не даст единичную при проверке.
• Не проверили определитель до начала расчёта. При $\det A = 0$ обратной матрицы не существует, и все дальнейшие выкладки бессмысленны.
• Не согласовали размеры. В уравнении $AX = B$ число строк $X$ равно числу столбцов $A$, а число столбцов $X$ равно числу столбцов $B$. Если размеры не стыкуются, произведение просто не определено.
• Пропустили проверку подстановкой. Умножение матриц занимает минуту и ловит любую арифметическую ошибку, а на экзамене подтверждает ответ без помощи преподавателя.

FAQ

Чем решение матричного уравнения отличается от решения системы уравнений? Ничем принципиальным. Если $X$ и $B$ являются столбцами, запись $AX = B$ и есть матричная форма системы линейных уравнений, а $X = A^{-1}B$ называют матричным методом её решения. Когда $B$ содержит несколько столбцов, вы просто решаете несколько систем с одной и той же матрицей коэффициентов сразу.

Можно ли поделить одну матрицу на другую? Нет, деления матриц не существует. Единственная замена деления это умножение на обратную матрицу, и у него, в отличие от деления чисел, есть сторона: результаты $A^{-1}B$ и $BA^{-1}$ в общем случае разные, что и показано в разборе выше.

Как понять, с какой стороны приписывать обратную матрицу? Смотрите, где стоит $A$ относительно неизвестной, и приписывайте $A^{-1}$ с той же стороны в обеих частях равенства. Правило легко запомнить так: $A^{-1}$ должна встать вплотную к $A$, чтобы они схлопнулись в единичную матрицу, а не оказаться от неё через $X$.

Что делать, если матрица третьего порядка? Алгоритм тот же, меняется только способ поиска обратной. Считать девять алгебраических дополнений вручную долго, поэтому обычно приводят расширенную таблицу из $A$ и единичной матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса-Жордана и читают обратную матрицу в правой половине.

Коротко

1. Считаем $\det A$. Если он равен нулю, метод обратной матрицы неприменим, и уравнение исследуют через ранги.
2. Находим $A^{-1}$: для порядка 2 меняем местами элементы главной диагонали, меняем знак у побочной и делим на определитель. Проверяем равенство $AA^{-1} = E$.
3. Смотрим на положение $A$ относительно $X$: при $AX = B$ домножаем слева и получаем $X = A^{-1}B$, при $XA = B$ домножаем справа и получаем $X = BA^{-1}$.
4. Перемножаем матрицы поэлементно и подставляем результат в исходное уравнение для проверки.
5. Для примера с $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ ответы такие: $X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ для $AX = B$ и $X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ для $XA = B$.