Как найти собственные значения матрицы: пример 3x3

Дано: матрица $A$ со строками 2 1 0; 1 3 1; 0 1 2. Найти: собственные значения и собственные векторы.

Собственные значения находят из характеристического уравнения $\det(A - \lambda E) = 0$: определитель третьего порядка раскрывается в кубический многочлен, а его корни и есть ответ. Здесь получится $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 4$ с собственными векторами $(1; -1; 1)$, $(1; 0; -1)$ и $(1; 2; 1)$. Калькулятор сверху собирает характеристический многочлен для любой матрицы 3x3 и показывает его корни прямо на графике.

Решение по шагам

Дано. Матрица третьего порядка

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Найти: все собственные значения $\lambda$ и отвечающие им собственные векторы.

Шаг 1. Вычитаем $\lambda$ из главной диагонали. Единичная матрица $E$, умноженная на $\lambda$, ставит $\lambda$ только на диагональ, поэтому в $A - \lambda E$ меняются ровно три элемента:

$$A - \lambda E = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.$$

Шаг 2. Раскрываем определитель. Разложение удобно вести по первой строке: в ней стоит ноль, поэтому останется всего два слагаемых.

$$\begin{aligned} \det(A - \lambda E) &= (2-\lambda)\bigl[(3-\lambda)(2-\lambda) - 1\bigr] - 1 \cdot \bigl[(2-\lambda) - 0\bigr] \\ &= (2-\lambda)\bigl[(3-\lambda)(2-\lambda) - 1 - 1\bigr]. \end{aligned}$$

Общий множитель $(2-\lambda)$ вынесен сразу, и это главная экономия в задаче: кубический многочлен уже разложен, осталось добить квадратный трёхчлен.

$$(3-\lambda)(2-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4).$$

Шаг 3. Решаем характеристическое уравнение. Произведение равно нулю, когда нулю равен любой из множителей:

$$(2-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 4.$$

Если множитель вынести не удалось и определитель раскрыт до конца, уравнение выглядит так: $-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 14\lambda + 8 = 0$, или после умножения на $-1$: $\lambda^3 - 7\lambda^2 + 14\lambda - 8 = 0$. Целые корни приведённого многочлена ищут среди делителей свободного члена: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 8$. Подстановка $\lambda = 1$ даёт $1 - 7 + 14 - 8 = 0$, значит многочлен делится на $\lambda - 1$, а в частном остаётся $\lambda^2 - 6\lambda + 8$ с корнями 2 и 4.

Шаг 4. Проверяем ответ по следу и определителю. Сумма собственных значений равна следу матрицы, произведение равно определителю:

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 + 2 + 4 = 7 = 2 + 3 + 2 = \operatorname{tr} A,$$ $$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8 = \det A .$$

Определитель проверяется отдельно: $\det A = 2(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 0 = 10 - 2 = 8$. Обе проверки сошлись, корни найдены верно.

Шаг 5. Ищем собственные векторы. Для каждого корня решаем однородную систему $(A - \lambda E)x = 0$. При $\lambda_1 = 1$ матрица системы

$$A - E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

имеет ранг 2: вторая строка равна сумме первой и третьей, поэтому одно уравнение лишнее. Остаются $x_1 + x_2 = 0$ и $x_2 + x_3 = 0$, откуда $x_2 = -x_1$, $x_3 = x_1$. Полагая $x_1 = 1$, получаем $v_1 = (1; -1; 1)$.

При $\lambda_2 = 2$ система задаётся матрицей со строками 0 1 0; 1 1 1; 0 1 0. Первая строка сразу даёт $x_2 = 0$, вторая превращается в $x_1 + x_3 = 0$, и собственный вектор равен $v_2 = (1; 0; -1)$.

При $\lambda_3 = 4$ строки матрицы $A - 4E$ такие: $-2$ 1 0; 1 $-1$ 1; 0 1 $-2$. Из первой строки $x_2 = 2x_1$, из третьей $x_2 = 2x_3$, значит $x_3 = x_1$ и $v_3 = (1; 2; 1)$. Проверка умножением: $Av_3 = (2 + 2 + 0;\ 1 + 6 + 1;\ 0 + 2 + 2) = (4; 8; 4) = 4v_3$.

Ответ. $\lambda_1 = 1$ с вектором $v_1 = (1; -1; 1)$; $\lambda_2 = 2$ с вектором $v_2 = (1; 0; -1)$; $\lambda_3 = 4$ с вектором $v_3 = (1; 2; 1)$. Любой ненулевой кратный этих векторов тоже собственный.

Характеристическое уравнение: откуда оно берётся

Собственный вектор по определению не меняет направления под действием матрицы: $Av = \lambda v$ при $v \neq 0$. Перенесём всё в одну сторону и вынесем $v$:

$$Av - \lambda v = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (A - \lambda E)v = 0 .$$

Получилась однородная система линейных уравнений. У неё всегда есть нулевое решение, но нам нужно ненулевое, а однородная система имеет ненулевые решения только тогда, когда её матрица вырождена. Условие вырожденности одно: определитель равен нулю. Отсюда и берётся уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$, которое называют характеристическим, а многочлен слева от знака равенства - характеристическим многочленом матрицы.

Для матрицы третьего порядка этот многочлен всегда кубический и записывается через три инварианта матрицы:

$$\lambda^3 - (\operatorname{tr} A)\lambda^2 + M \lambda - \det A = 0 ,$$

где $\operatorname{tr} A$ - след, то есть сумма диагональных элементов, а $M$ - сумма трёх главных миноров второго порядка. Проверим на нашей матрице: след равен 7, миноры равны 5, 4 и 5, их сумма 14, определитель 8. Получается ровно $\lambda^3 - 7\lambda^2 + 14\lambda - 8 = 0$ - то же уравнение, что и при прямом раскрытии определителя. Эта форма удобна как быстрая проверка: коэффициенты считаются за минуту, без длинных преобразований со скобками.

Собственные векторы: решаем систему с вырожденной матрицей

Когда $\lambda$ найдено, матрица $A - \lambda E$ по построению вырождена, и система $(A - \lambda E)x = 0$ имеет бесконечно много решений. Метод Крамера здесь неприменим, как и обратная матрица из матричного уравнения $AX = B$: оба приёма требуют невырожденности, которой здесь нет по построению. Работает только приведение к ступенчатому виду: часть уравнений окажется следствием остальных, и их надо отбросить.

Число свободных переменных равно $3 - r$, где $r$ - ранг матрицы $A - \lambda E$. Для простого корня ранг равен 2, свободная переменная одна, и всё собственное подпространство - это прямая: любой собственный вектор получается умножением найденного на число. Поэтому ответ записывают с точностью до множителя, а для удобства выбирают самый простой представитель с целыми координатами.

Проверять найденный вектор проще всего умножением: если $Av$ покоординатно равно $\lambda v$, вектор верный. Эта проверка занимает три умножения и ловит любую ошибку в решении системы. Ноль собственным вектором не считается никогда: он удовлетворяет равенству $A \cdot 0 = \lambda \cdot 0$ при любом $\lambda$ и потому ничего не характеризует.

Матрица из условия симметрична, и это заметно по ответу: её собственные векторы попарно ортогональны, ведь $(1; -1; 1) \cdot (1; 0; -1) = 0$ и $(1; -1; 1) \cdot (1; 2; 1) = 0$. Для симметричных матриц так бывает всегда, на этом и строится приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием, а также метод главных компонент, где собственные значения ковариационной матрицы задают доли объяснённой дисперсии.

Кратные корни, комплексные значения и треугольные матрицы

У треугольной или диагональной матрицы собственные значения стоят на главной диагонали: определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, поэтому характеристическое уравнение сразу распадается на множители. Раскрывать определитель в этом случае не нужно.

Кратный корень требует отдельного шага. Для матрицы со строками 1 $-3$ 3; 3 $-5$ 3; 6 $-6$ 4 характеристическое уравнение имеет корни $-2$, $-2$ и 4. Кратность корня $-2$ равна двум - это алгебраическая кратность. Сколько собственных векторов ему отвечает, показывает ранг матрицы $A + 2E$: он равен 1, свободных переменных две, значит геометрическая кратность тоже равна двум и матрица приводится к диагональному виду. Если бы независимый вектор нашёлся только один, диагонализация была бы невозможна и понадобилась бы жорданова форма.

Комплексные корни - не ошибка, а нормальный случай для несимметричных матриц. У матрицы поворота со строками 0 $-1$ 0; 1 0 0; 0 0 2 характеристическое уравнение $(2 - \lambda)(\lambda^2 + 1) = 0$ даёт $\lambda = 2$ и пару $\lambda = \pm i$: в вещественном пространстве поворот плоскости не сохраняет ни одного направления, поэтому вещественных собственных векторов у этой пары нет. Кратный корень и комплексную пару можно прогнать через калькулятор сверху: обе матрицы лежат там готовыми примерами.

Прикладной смысл у ответа простой: собственные значения задают режимы поведения системы. В линейных системах дифференциальных уравнений знаки вещественных частей отвечают за устойчивость, а непрерывный аналог задачи - задача Штурма-Лиувилля, где вместо матрицы стоит дифференциальный оператор.

Частые ошибки

• Вычитают $\lambda$ из всех элементов матрицы. Вычитать нужно только из диагональных: $\lambda E$ - диагональная матрица, вне диагонали у неё нули.
• Теряют знак при смене знака многочлена. Определитель третьего порядка даёт $-\lambda^3 + \ldots$; умножая уравнение на $-1$, меняйте знак у всех коэффициентов сразу, а не только у старшего.
• Ищут корни только среди делителей свободного члена. Целые корни так находятся, но кубическое уравнение может иметь иррациональные или комплексные корни - тогда нужны формула Кардано или численный метод.
• Решают систему $(A - \lambda E)x = 0$ как невырожденную. Её определитель равен нулю по построению, поэтому решение не единственно; получив в ответе только $x = 0$, вы где-то ошиблись в $\lambda$.
• Забывают, что вектор определён с точностью до множителя. Записи $(1; 2; 1)$ и $(2; 4; 2)$ - один и тот же ответ, ошибкой это не является.
• Не делают проверку. Сумма корней обязана совпасть со следом, произведение - с определителем; на это уходит полминуты, а ловит почти любую арифметическую ошибку.

FAQ

Может ли собственное значение быть равно нулю? Да. Нулевое собственное значение означает, что $\det A = 0$, то есть матрица вырождена, а собственные векторы для $\lambda = 0$ - это ненулевые решения системы $Ax = 0$, то есть ядро матрицы. Нулём не может быть только собственный вектор.

Сколько собственных значений у матрицы 3x3? Ровно три с учётом кратности: характеристический многочлен имеет третью степень, а по основной теореме алгебры у него три корня в комплексной области. Вещественных корней при этом может быть один или три, потому что комплексные корни у вещественной матрицы идут сопряжёнными парами.

Чем собственные числа отличаются от собственных значений? Ничем, это синонимы; набор всех собственных значений называют спектром матрицы. В англоязычной литературе используется термин eigenvalues, а собственные векторы называются eigenvectors.

Обязательно ли нормировать собственный вектор? Нет, если в условии не требуется ортонормированный базис. Для проверки и записи ответа удобнее целые координаты, а нормировка на единичную длину нужна там, где строится ортогональная матрица перехода, например при приведении квадратичной формы к каноническому виду.

Коротко

1. Составить матрицу $A - \lambda E$, вычтя $\lambda$ только из элементов главной диагонали.
2. Раскрыть определитель $\det(A - \lambda E)$ и приравнять его к нулю - это характеристическое уравнение; выносить общий множитель выгодно сразу.
3. Найти корни кубического уравнения: целые ищутся среди делителей свободного члена, дальше делением на $\lambda - \lambda_1$ получается квадратный трёхчлен.
4. Для каждого корня решить однородную систему $(A - \lambda E)x = 0$ приведением к ступенчатому виду и выписать вектор с точностью до множителя.
5. Проверить ответ: сумма корней равна следу, произведение равно определителю. Для матрицы из условия $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 4$, векторы $(1; -1; 1)$, $(1; 0; -1)$, $(1; 2; 1)$, след 7, определитель 8.