Как возвести матрицу в степень: разбор A в 5 степени

Дано: матрица $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, показатель $n = 5$. Найти: $A^5$.

Поэлементно возводить нельзя: степень матрицы означает повторное матричное умножение, а не пятую степень каждого числа по отдельности. Считаем через диагонализацию: у матрицы два разных собственных значения, $5$ и $2$, поэтому она раскладывается в произведение $A = PDP^{-1}$, и показатель уходит внутрь, на диагональ. Ответ: $A^5 = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}$. Калькулятор сверху проходит те же шаги для любой матрицы 2x2 и показателя до 12.

Решение по шагам

Шаг 1. Составляем характеристическое уравнение. Вычитаем из диагонали неизвестное $\lambda$ и приравниваем определитель нулю:

$$\det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0.$$

Дискриминант равен $49 - 40 = 9$, значит корни $\lambda_1 = 5$ и $\lambda_2 = 2$. Они вещественные и различные, а этого уже достаточно для диагонализации. Если корни ищутся тяжело или матрица крупнее второго порядка, техника поиска подробно разобрана в задаче про собственные значения матрицы.

Шаг 2. Находим собственные векторы. Для каждого корня решаем однородную систему $(A - \lambda E)x = 0$. При $\lambda_1 = 5$ матрица системы равна $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, обе строки дают одно условие $x_1 = 2x_2$, откуда $v_1 = (2;\, 1)$.

При $\lambda_2 = 2$ система превращается в $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, условие $x_1 + x_2 = 0$, вектор $v_2 = (1;\, -1)$. Векторы определены с точностью до множителя, поэтому смело выбирай самые короткие целые координаты: на итоговом $A^n$ выбор масштаба не сказывается, он сократится вместе с $P^{-1}$.

Шаг 3. Собираем $P$, $D$ и обратную матрицу. Собственные векторы ставим столбцами в том же порядке, в каком собственные значения стоят на диагонали:

$$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det P = -3.$$

Обратную к матрице второго порядка удобно писать сразу по формуле: поменять местами элементы главной диагонали, сменить знак у побочной и поделить на определитель. Получаем $P^{-1} = \tfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Проверить себя стоит одним умножением: $PP^{-1}$ обязано дать единичную матрицу. Более длинный путь через союзную матрицу разобран в задаче про матричное уравнение.

Шаг 4. Возводим в степень диагональ. У диагональной матрицы степень действительно берётся поэлементно, потому что при умножении не смешиваются строки и столбцы:

$$D^5 = \begin{pmatrix} 5^5 & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3125 & 0 \\ 0 & 32 \end{pmatrix}.$$

Шаг 5. Перемножаем три матрицы. Порядок строгий: сначала $P$, потом $D^5$, потом $P^{-1}$. Умножение матриц не коммутативно, и перестановка сомножителей даст другой результат:

$$\begin{aligned} PD^5 &= \begin{pmatrix} 6250 & 32 \\ 3125 & -32 \end{pmatrix}, \\ A^5 = (PD^5)P^{-1} &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 6282 & 6186 \\ 3093 & 3189 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Ответ: $A^5 = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}$.

Проверка. След степени обязан равняться сумме степеней собственных значений: $2094 + 1063 = 3157$ и $5^5 + 2^5 = 3125 + 32 = 3157$, сходится. Определитель мультипликативен, поэтому $\det A^5 = (\det A)^5 = 10^5 = 100\,000$; прямой счёт даёт $2094 \cdot 1063 - 2062 \cdot 1031 = 2\,225\,922 - 2\,125\,922 = 100\,000$. Обе проверки занимают полминуты и ловят почти любую арифметическую описку.

Формула и откуда она берётся

Идея разложения простая. Столбцы $P$ образуют базис из собственных векторов, а в этом базисе преобразование действует покоординатно: одну ось растягивает в $5$ раз, другую в $2$. Матрица $P$ и есть матрица перехода к другому базису, поэтому $D = P^{-1}AP$ описывает то же самое отображение, только в удобных координатах.

Дальше работает телескопическое сокращение. Подставим $A = PDP^{-1}$ в произведение и раскроем скобки:

$$A^n = \underbrace{PDP^{-1} \cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1}}_{n \text{ раз}} = PD^{n}P^{-1},$$

потому что каждая внутренняя пара $P^{-1}P$ схлопывается в единичную матрицу. Вся работа сводится к возведению чисел на диагонали в степень, а $P$ и $P^{-1}$ считаются один раз и не зависят от $n$.

Отсюда получается общая формула для любого показателя, а не только для пятого. Раскрыв произведение в буквах, для нашей матрицы имеем:

$$A^n = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\cdot 5^n + 2^n & 2\cdot 5^n - 2\cdot 2^n \\ 5^n - 2^n & 5^n + 2\cdot 2^n \end{pmatrix}.$$

Подстановка $n = 1$ возвращает исходную матрицу, $n = 0$ даёт единичную, а $n = 5$ приводит к найденному ответу. Такая формула ценнее числа: по ней видно, что при больших $n$ все четыре элемента растут как $5^n$, то есть как степень наибольшего по модулю собственного значения. Именно это показывает график в калькуляторе сверху: на логарифмической шкале линии элементов идут параллельно пунктиру $\lambda_1^{\,k}$.

Второй способ: бинарная лестница умножений

Если нужен один конкретный показатель, а не формула, диагонализацию можно не строить. Достаточно заметить, что $5 = 101_2$, то есть $A^5 = A^4 \cdot A$, а $A^4 = (A^2)^2$. Считаем по цепочке:

$$A^2 = \begin{pmatrix} 18 & 14 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}, \qquad A^4 = \begin{pmatrix} 422 & 406 \\ 203 & 219 \end{pmatrix}, \qquad A^5 = A^4 A = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}.$$

Ответ тот же, а умножений вышло три вместо четырёх. На пятой степени разница смешная, но растёт она быстро: для $n = 1000$ лестница требует около четырнадцати умножений вместо девятисот девяноста девяти. Сам приём разобран отдельно в задаче про быстрое возведение в степень, и он одинаково работает для чисел и для матриц, потому что опирается только на ассоциативность умножения.

Выбор между двумя способами такой. Нужен ответ при конкретном небольшом $n$ или матрица не диагонализуется, а спектр искать лень, то быстрее лестница. Нужна формула для произвольного $n$, предел последовательности $A^n$ или поведение системы на бесконечности, то без собственных значений не обойтись.

Если матрица не диагонализуется

Диагонализация требует полного набора линейно независимых собственных векторов. Когда характеристическое уравнение даёт кратный корень, а векторов не хватает, метод буксует. Классический пример: $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, где $\lambda = 2$ двукратное, а собственный вектор всего один.

Такую матрицу раскладывают на скалярную и нильпотентную части: $J = 2E + N$, где $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $N^2$ равна нулевой матрице. Слагаемые коммутируют, поэтому годится бином Ньютона, и из всей суммы выживают только два первых члена:

$$J^n = (2E + N)^n = 2^n E + n \cdot 2^{n-1} N = \begin{pmatrix} 2^n & n\cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.$$

При $n = 5$ это $\begin{pmatrix} 32 & 80 \\ 0 & 32 \end{pmatrix}$. Проверить легко прямым умножением, а в калькуляторе для этого случая есть готовый пример.

Универсальный запасной вариант дает теорема Кэли-Гамильтона: матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, у нас $A^2 = 7A - 10E$. Значит любая степень выражается через саму матрицу и единичную, $A^n = \alpha_n A + \beta_n E$, а коэффициенты ищутся из рекуррентности или подстановкой собственных значений в скалярное равенство $\lambda^n = \alpha_n \lambda + \beta_n$. Для $n = 5$ выходит $\alpha_5 = 1031$ и $\beta_5 = -2030$, и снова получается $A^5 = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}$. Третий независимый способ, дающий тот же ответ, закрывает вопрос о правильности.

Частые ошибки

• Возводят каждый элемент отдельно. Запись $A^5$ означает произведение матриц, а не пятую степень чисел. Поэлементная степень допустима только у диагональной матрицы, где строки и столбцы при умножении не перемешиваются.
• Путают порядок в разложении. Правильно $A = PDP^{-1}$ и $A^n = PD^nP^{-1}$, а не $P^{-1}DP$. Мнемоника: собственные векторы стоят столбцами в $P$, значит $P$ идёт первым множителем.
• Порядок столбцов $P$ не совпадает с порядком чисел в $D$. Если первый столбец отвечает $\lambda_1 = 5$, то и в левом верхнем углу $D$ должно стоять $5$. Перестановка одного из них ломает ответ, хотя формально обе матрицы выглядят правдоподобно.
• Ошибаются в $P^{-1}$. Забытый знак у побочной диагонали или деление на $\det P$ с неверным знаком портит все четыре элемента результата. Одно контрольное умножение $PP^{-1} = E$ снимает риск.
• Считают любую матрицу диагонализуемой. При кратном корне векторов может не хватить, и тогда нужен разбор через нильпотентную часть или Кэли-Гамильтона.
• Пропускают проверку. След и определитель проверяются за полминуты и ловят описку, из-за которой в контрольной теряется вся задача.

FAQ

Что такое матрица в нулевой и в отрицательной степени? Нулевая степень по определению равна единичной матрице $E$, и общая формула это подтверждает. Отрицательная степень $A^{-n}$ имеет смысл только при $\det A \neq 0$ и равна $n$-й степени обратной матрицы. В разложении меняется лишь диагональ: вместо $\lambda^n$ подставляются $\lambda^{-n}$.

Как быть с матрицей 3x3 и больше? Схема та же самая: характеристический многочлен, корни, собственные векторы столбцами в $P$, диагональ в степень. Растёт только объём вычислений, потому что уравнение становится кубическим, а обратная матрица считается через союзную или методом Гаусса.

Что делать, если собственные значения иррациональные или комплексные? Формула работает и там: степени корней вида $\tfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ или $r(\cos\varphi \pm i\sin\varphi)$ подставляются в $D^n$, а иррациональности и мнимые части в итоговом произведении взаимно уничтожаются, и ответ снова получается вещественным. Комплексная пара означает, что преобразование поворачивает плоскость на угол $\varphi$ и растягивает её в $r$ раз за шаг.

Зачем на практике нужны степени матрицы? Через $P^n$ считают распределение вероятностей через $n$ шагов у матрицы переходов цепи Маркова, через степень матрицы $2 \times 2$ получают $n$-е число Фибоначчи за логарифмическое время, а предельный переход от степеней к матричной экспоненте лежит в основе решения линейных систем дифференциальных уравнений.

Коротко

1. Составь характеристическое уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$; для нашей матрицы это $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ с корнями $5$ и $2$.
2. Для каждого корня реши систему $(A - \lambda E)x = 0$ и запиши собственные векторы столбцами: $v_1 = (2;\,1)$, $v_2 = (1;\,-1)$.
3. Построй $P$, $D$ и $P^{-1}$, следя за тем, чтобы порядок столбцов $P$ отвечал порядку чисел на диагонали $D$.
4. Возведи диагональ в степень и перемножь $PD^nP^{-1}$ строго в этом порядке; для $n = 5$ получается $A^5 = \begin{pmatrix} 2094 & 2062 \\ 1031 & 1063 \end{pmatrix}$.
5. Проверь ответ по следу ($3157 = 5^5 + 2^5$) и по определителю ($100\,000 = 10^5$); если матрица не диагонализуется, считай через $A = \lambda E + N$ или по теореме Кэли-Гамильтона.