Линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами

Линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами - это набор связанных дифференциальных уравнений первого порядка, в котором каждая производная выражается линейно через искомые функции, а все коэффициенты постоянны. Такие системы описывают связанные колебания, химическую кинетику, электрические цепи и популяционные модели. Главный инструмент их решения - переход к матричной записи и анализ собственных значений матрицы. Разберём, как из спектра матрицы вырастает общее решение, чем отличаются случаи действительных, кратных и комплексных корней и где чаще всего ошибаются.

Что такое линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами

Линейной системой ОДУ с постоянными коэффициентами называют систему вида:

$$\begin{cases} x_1' = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n \\ x_2' = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n \\ \;\;\vdots \\ x_n' = a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \dots + a_{nn} x_n \end{cases}$$

Здесь $x_1(t), \dots, x_n(t)$ - искомые функции независимой переменной $t$, а все $a_{ij}$ - постоянные числа (не зависят от $t$). Если в правых частях нет свободных слагаемых, система называется однородной; именно её мы разбираем как базовую.

Удобно записать систему в матричном виде:

$$\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A = (a_{ij}).$$

Постоянная матрица $A$ полностью задаёт систему. Вся информация о поведении решений зашита в её собственных значениях и собственных векторах.

Прежде чем разбирать теорию руками, удобно прогнать конкретную систему целиком. Задай элементы матрицы $A$ ниже - собранный запрос откроет чат, где система будет решена пошагово: характеристическое уравнение, собственные значения и векторы, построение общего решения и фундаментальной матрицы.

Метод собственных значений и собственных векторов

Идея решения такая же, как для одного уравнения $x' = a x$, общее решение которого $x = C e^{a t}$. Для системы ищем решение в виде:

$$\mathbf{x} = \mathbf{v}\, e^{\lambda t},$$

где $\mathbf{v}$ - постоянный вектор, а $\lambda$ - число. Подставив в $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, получим $\lambda \mathbf{v} e^{\lambda t} = A \mathbf{v} e^{\lambda t}$, то есть после сокращения на $e^{\lambda t} \neq 0$:

$$A\,\mathbf{v} = \lambda\, \mathbf{v}.$$

Это в точности задача на собственные значения: $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$, а $\mathbf{v}$ - соответствующий собственный вектор. Чтобы существовал ненулевой $\mathbf{v}$, определитель должен обращаться в ноль:

$$\det(A - \lambda E) = 0.$$

Это характеристическое уравнение системы. Его корни и есть собственные значения. Если матрица $A$ размера $n \times n$ имеет $n$ линейно независимых собственных векторов $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$ с собственными значениями $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, то общее решение:

$$\mathbf{x}(t) = C_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + \dots + C_n \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t},$$

где $C_1, \dots, C_n$ - произвольные постоянные. Эти $n$ функций образуют фундаментальную систему решений.

Случай 1: разные действительные собственные значения

Самый простой случай: все $\lambda_k$ - действительные и попарно различны. Тогда каждому $\lambda_k$ отвечает один собственный вектор $\mathbf{v}_k$, и общее решение - линейная комбинация $\mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$. Покажем на примере для системы $2 \times 2$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.$$

Характеристическое уравнение:

$$\det(A - \lambda E) = (1-\lambda)(3-\lambda) - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0,$$

откуда $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = -1$. Для $\lambda_1 = 5$ решаем $(A - 5E)\mathbf{v} = 0$: получаем $-4 v_1 + 2 v_2 = 0$, то есть $v_2 = 2 v_1$, собственный вектор $\mathbf{v}_1 = (1, 2)^T$. Для $\lambda_2 = -1$: $2 v_1 + 2 v_2 = 0$, то есть $\mathbf{v}_2 = (1, -1)^T$. Общее решение:

$$\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} e^{5t} + C_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} e^{-t}.$$

Случай 2: комплексные собственные значения

Если коэффициенты действительны, комплексные корни идут сопряжёнными парами $\lambda = \alpha \pm \beta i$. Достаточно взять один корень $\lambda = \alpha + \beta i$ с собственным вектором $\mathbf{v} = \mathbf{a} + i\,\mathbf{b}$ и выделить действительную и мнимую части комплексного решения $\mathbf{v} e^{\lambda t}$. По формуле Эйлера $e^{(\alpha + \beta i) t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i \sin\beta t)$, и два действительных линейно независимых решения получаются как:

$$\mathbf{x}_1 = e^{\alpha t}\bigl(\mathbf{a}\cos\beta t - \mathbf{b}\sin\beta t\bigr), \qquad \mathbf{x}_2 = e^{\alpha t}\bigl(\mathbf{a}\sin\beta t + \mathbf{b}\cos\beta t\bigr).$$

Действительная часть $\alpha$ отвечает за рост или затухание, мнимая $\beta$ - за частоту колебаний. При $\alpha = 0$ решения чисто периодические (центр), при $\alpha < 0$ - затухающая спираль (устойчивый фокус), при $\alpha > 0$ - раскручивающаяся.

Случай 3: кратные собственные значения

Если $\lambda$ - корень кратности $k$, возможны два сценария. Если для него находится $k$ линейно независимых собственных векторов (геометрическая кратность равна алгебраической), общее решение строится как обычно. Если же векторов меньше, чем кратность, добавляются решения с множителями $t$. Для двойного корня $\lambda$ с единственным собственным вектором $\mathbf{v}$ ищут присоединённый вектор $\mathbf{w}$ из системы $(A - \lambda E)\mathbf{w} = \mathbf{v}$, и второе решение имеет вид:

$$\mathbf{x}_2 = \bigl(\mathbf{v}\,t + \mathbf{w}\bigr) e^{\lambda t}.$$

Это прямой аналог появления множителя $t$ при кратных корнях характеристического уравнения для линейного уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами - там $t e^{\lambda t}$ возникает по той же причине. Метод собственных значений применим только к линейным системам: нелинейные уравнения первого порядка вроде уравнения Бернулли сначала сводят к линейному виду подстановкой, и лишь затем работают линейные приёмы.

Матричная экспонента и фундаментальная матрица

Универсальная запись общего решения - через матричную экспоненту:

$$\mathbf{x}(t) = e^{At}\,\mathbf{x}_0, \qquad e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!},$$

где $\mathbf{x}_0 = \mathbf{x}(0)$ - начальное условие. Если собрать собственные векторы в столбцы матрицы $P$, а собственные значения - в диагональную матрицу $D$, то $A = P D P^{-1}$ и $e^{At} = P e^{Dt} P^{-1}$, где $e^{Dt}$ - диагональ из $e^{\lambda_k t}$. Это даёт компактную формулу для решения задачи Коши без подбора постоянных вручную.

Неоднородная система

Если справа добавляется вектор-функция $\mathbf{f}(t)$, система становится неоднородной: $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$. Её общее решение - сумма общего решения однородной системы $\mathbf{x}_{\text{одн}}$ и частного решения $\mathbf{x}_{\text{ч}}$ неоднородной. Частное решение находят методом вариации постоянных:

$$\mathbf{x}_{\text{ч}}(t) = e^{At}\int e^{-At}\,\mathbf{f}(t)\,dt.$$

Для специальных правых частей (многочлен, экспонента, синус-косинус) удобнее метод неопределённых коэффициентов - подбор частного решения той же структуры, что и $\mathbf{f}(t)$.

Частые ошибки

• Путают собственный вектор с его координатами в неправильном порядке. Для $\mathbf{x} = \mathbf{v} e^{\lambda t}$ важно сопоставлять каждому $\lambda_k$ именно его вектор $\mathbf{v}_k$, а не чужой.
• Теряют множитель $t$ при кратных корнях. Если для двойного $\lambda$ собственный вектор один, второе решение обязано содержать $(\mathbf{v} t + \mathbf{w}) e^{\lambda t}$, а не просто второй $\mathbf{v}$.
• Берут оба комплексно-сопряжённых корня. Для действительной системы достаточно одного корня пары: его действительная и мнимая части дают сразу два независимых действительных решения.
• Забывают про формулу Эйлера. Комплексную экспоненту $e^{(\alpha+\beta i)t}$ обязательно раскладывают через $\cos\beta t$ и $\sin\beta t$ - иначе решение останется комплексным.
• Неверно считают $\det(A - \lambda E)$. Для $2\times 2$ характеристическое уравнение $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A = 0$; ошибка в следе или определителе сразу портит весь спектр.

FAQ

Чем система ОДУ отличается от одного уравнения высокого порядка? Они эквивалентны: уравнение $n$-го порядка сводится к системе $n$ уравнений первого порядка введением новых функций $x_2 = x_1'$, $x_3 = x_2'$ и так далее. Поэтому метод собственных значений работает в обоих случаях, и характеристические уравнения совпадают.

Что делать, если матрица не диагонализируема? Тогда есть кратные собственные значения с недостатком собственных векторов. Используют присоединённые (жордановы) векторы и решения с множителями $t, t^2, \dots$ либо жорданову форму $A = P J P^{-1}$ и матричную экспоненту $e^{Jt}$.

Как найти решение задачи Коши с начальным условием? Сначала выписать общее решение с постоянными $C_k$, затем подставить $t = 0$ и приравнять к заданному вектору $\mathbf{x}_0$. Получится линейная система на $C_k$ - её решение даёт конкретную траекторию. Альтернатива - сразу $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$.

Коротко

Линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ решается через собственные значения и собственные векторы матрицы $A$. Корни характеристического уравнения $\det(A - \lambda E) = 0$ задают экспоненты $e^{\lambda t}$, а собственные векторы - направления. Разные действительные корни дают комбинацию $\mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$, комплексные - затухающие или растущие колебания через формулу Эйлера, кратные с недостатком векторов - слагаемые с множителем $t$. Универсальная форма решения задачи Коши - матричная экспонента $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$.