Уравнение Бернулли первого порядка: решение

Уравнение Бернулли первого порядка - это первый нелинейный класс ОДУ, который встречается в курсе после линейных уравнений. Внешне оно почти такое же, как линейное, но в правой части стоит степень $y^{n}$ - и именно она ломает линейность. Хорошая новость: одна продуманная замена превращает уравнение Бернулли обратно в линейное, после чего работают все привычные методы. Разберём, как устроена эта подстановка, какой пошаговый алгоритм она даёт и где чаще всего ошибаются.

Какое уравнение называется уравнением Бернулли

Уравнением Бернулли первого порядка называют ОДУ вида:

$$y' + p(x)\, y = q(x)\, y^{n}$$

Здесь $y = y(x)$ - искомая функция, $p(x)$ и $q(x)$ - заданные функции от $x$, а $n$ - действительное число, показатель степени. Отличие от линейного уравнения только в множителе $y^{n}$ справа.

Важны два вырожденных случая, которые формально подходят под запись, но Бернулли в собственном смысле не являются:

• при $n = 0$ получаем линейное неоднородное уравнение $y' + p(x)\, y = q(x)$;
• при $n = 1$ уравнение $y' + p(x)\, y = q(x)\, y$ сводится к $y' + \bigl(p(x) - q(x)\bigr) y = 0$ - линейное однородное.

Поэтому собственно уравнение Бернулли - это случай $n \neq 0$ и $n \neq 1$. Показатель $n$ может быть и дробным, и отрицательным: например, $n = 1/2$ или $n = -2$ - это полноценные уравнения Бернулли.

Идея решения: замена z = y^(1−n)

Прямое решение уравнения Бернулли начинается с того, что обе части делят на $y^{n}$ (предполагая $y \neq 0$):

$$y^{-n}\, y' + p(x)\, y^{1-n} = q(x)$$

Теперь вводят новую функцию:

$$z = y^{1-n}$$

Продифференцируем её по $x$ как сложную функцию:

$$z' = (1-n)\, y^{-n}\, y'$$

Отсюда $y^{-n}\, y' = \dfrac{z'}{1-n}$. Подставляем это в уравнение после деления:

$$\frac{z'}{1-n} + p(x)\, z = q(x)$$

Умножим на $(1-n)$:

$$z' + (1-n)\, p(x)\, z = (1-n)\, q(x)$$

Это уже линейное уравнение первого порядка относительно $z$. Его решают любым стандартным способом - методом подстановки или вариацией постоянной.

Прежде чем разбирать пример руками, удобно прогнать конкретное уравнение целиком. Выбери показатель $n$ и коэффициенты $p(x)$, $q(x)$ ниже - собранный запрос откроет чат, где уравнение Бернулли будет решено пошагово: деление на $y^{n}$, замена $z = y^{1-n}$, сведение к линейному и обратный переход.

Алгоритм по шагам

1. Убедитесь, что уравнение записано в каноническом виде $y' + p(x)\, y = q(x)\, y^{n}$. Если перед $y'$ стоит коэффициент - разделите на него.
2. Определите показатель $n$. Если $n = 0$ или $n = 1$ - это не Бернулли, решайте как линейное.
3. Разделите обе части на $y^{n}$: $y^{-n} y' + p(x)\, y^{1-n} = q(x)$.
4. Введите $z = y^{1-n}$, тогда $z' = (1-n)\, y^{-n} y'$.
5. Получите линейное уравнение $z' + (1-n)\, p(x)\, z = (1-n)\, q(x)$.
6. Решите его относительно $z$ (метод Бернулли $z = u v$ или вариация постоянной).
7. Вернитесь к $y$: из $z = y^{1-n}$ выразите $y = z^{1/(1-n)}$.

Подробный пример

Решим уравнение:

$$y' + \frac{y}{x} = x\, y^{2}$$

Здесь $p(x) = \dfrac{1}{x}$, $q(x) = x$, показатель $n = 2$.

Шаг 1. Делим обе части на $y^{2}$:

$$y^{-2}\, y' + \frac{1}{x}\, y^{-1} = x$$

Шаг 2. Замена $z = y^{1-n} = y^{-1}$. Тогда $z' = -\, y^{-2}\, y'$, то есть $y^{-2} y' = -z'$. Подставляем:

$$-z' + \frac{1}{x}\, z = x \;\Rightarrow\; z' - \frac{1}{x}\, z = -x$$

Шаг 3. Получили линейное уравнение относительно $z$. Решим его методом подстановки $z = u v$:

$$u' v + u\Bigl(v' - \frac{1}{x} v\Bigr) = -x$$

Подбираем $v$ из $v' - \dfrac{1}{x} v = 0$:

$$\frac{dv}{v} = \frac{dx}{x} \;\Rightarrow\; \ln|v| = \ln|x| \;\Rightarrow\; v = x$$

Шаг 4. Остаётся $u' v = -x$, то есть $u' \cdot x = -x$, откуда $u' = -1$ и $u = -x + C$.

Шаг 5. Собираем $z = u v = (-x + C)\, x = -x^{2} + C x$.

Шаг 6. Возвращаемся к $y$ через $z = y^{-1}$:

$$y = \frac{1}{z} = \frac{1}{C x - x^{2}}$$

Проверим. Пусть $y = (C x - x^{2})^{-1}$. Тогда $y' = -(C - 2x)(C x - x^{2})^{-2}$, и

$$y' + \frac{y}{x} = \frac{-(C - 2x)}{(Cx - x^2)^2} + \frac{1}{x(Cx - x^2)} = \frac{x}{(Cx - x^2)^2} = x\, y^{2} \;\;\checkmark$$

Особый случай: потерянное решение y = 0

При делении на $y^{n}$ мы предполагали $y \neq 0$. Если $n > 0$, то функция $y \equiv 0$ тоже удовлетворяет исходному уравнению (обе части обращаются в ноль), но при замене она теряется - её нельзя представить в виде $y = z^{1/(1-n)}$ ни при каком $z$.

Поэтому после нахождения общего решения проверяют отдельно: является ли $y \equiv 0$ решением. Если да - его добавляют в ответ как особое (сингулярное) решение, не входящее в общее семейство. Для нашего примера $y = 0$ обращает обе части в ноль, значит, это тоже решение.

Чем уравнение Бернулли отличается от метода Бернулли

Названия путаются, потому что и то и другое связано с именем Иоганна Бернулли. Уравнение Бернулли - это конкретный нелинейный класс ОДУ $y' + p y = q\, y^{n}$. Метод Бернулли - универсальный приём подстановки $y = u v$ для решения линейных уравнений первого порядка. В решении уравнения Бернулли метод Бернулли часто используется как раз на последнем шаге - когда замена $z = y^{1-n}$ уже привела всё к линейному виду. Подробный разбор приёма подстановки разобран в статье про линейное уравнение методом Бернулли.

Когда удобнее вариация постоянной

После сведения к линейному уравнению $z' + (1-n) p\, z = (1-n) q$ вместо подстановки $z = u v$ можно применить готовую формулу вариации произвольной постоянной:

$$z = e^{-\int (1-n) p\, dx}\left( \int (1-n)\, q\, e^{\int (1-n) p\, dx}\, dx + C \right)$$

Результат тот же. Выбор между подстановкой и вариацией - дело вкуса и того, в каком методе вы меньше путаетесь. Для уравнений с начальным условием $y(x_0) = y_0$ иногда удобнее преобразование Лапласа, но оно работает только для линейного уравнения - то есть уже после замены $z = y^{1-n}$.

Частые ошибки

• Забывают про множитель $(1-n)$. После замены коэффициенты линейного уравнения умножаются на $(1-n)$. При $n = 2$ это даёт минус - потеря знака тут самая частая ошибка.
• Не выполняют обратную замену. Найдя $z$, нужно вернуться к $y$ через $y = z^{1/(1-n)}$. Ответ в терминах $z$ - это ещё не ответ.
• Теряют решение $y \equiv 0$. При $n > 0$ нулевое решение нужно проверить отдельно, оно не содержится в общем семействе.
• Путают с однородным уравнением. $y' + p y = q\, y^{n}$ - это не однородное уравнение и не уравнение с разделяющимися переменными в общем случае; узнавайте Бернулли по степени $y^{n}$ справа.
• Применяют замену при $n = 1$. При $n = 1$ деление на $y$ даёт $1 - n = 0$, и замена вырождается. Такое уравнение сразу линейно.

FAQ

Может ли показатель $n$ быть отрицательным или дробным? Да. Метод работает для любого действительного $n \neq 0, 1$. Например, при $n = 1/2$ замена будет $z = y^{1/2}$, при $n = -1$ - $z = y^{2}$. Алгоритм не меняется.

Что делать, если перед $y'$ стоит коэффициент? Сначала привести к каноническому виду: разделить всё уравнение на коэффициент при $y'$, чтобы он стал единицей. Только после этого определять $p(x)$, $q(x)$ и $n$.

Обязательно ли делить на $y^{n}$, или можно сразу подставить $z = y^{1-n}$? Можно сразу выразить $y$ и $y'$ через $z$, но деление на $y^{n}$ делает выкладки прозрачнее: видно, как $y^{-n} y'$ собирается в производную $z$. Это надёжнее для проверки знаков.

Коротко

Уравнение Бернулли первого порядка $y' + p(x) y = q(x) y^{n}$ при $n \neq 0, 1$ решается заменой $z = y^{1-n}$: после деления на $y^{n}$ она превращает уравнение в линейное $z' + (1-n) p\, z = (1-n) q$. Линейное уравнение решают подстановкой $z = u v$ или вариацией постоянной, затем возвращаются к $y$ обратной заменой. Не забывайте про множитель $(1-n)$, обратный переход и возможное особое решение $y \equiv 0$.