Линейное уравнение методом Бернулли: пошаговый разбор

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - первая нетривиальная конструкция в курсе ОДУ. Решать его можно тремя способами: методом вариации произвольной постоянной, через интегрирующий множитель и методом Бернулли. Для уравнений с начальными условиями есть и четвёртый путь - преобразование Лапласа, но он удобнее на системах и при разрывной правой части. Последний - самый прозрачный для тех, кто хочет «увидеть» решение, а не запоминать формулу. Разберём идею, шаги и подводные камни.

Какое уравнение мы решаем

Линейное уравнение первого порядка имеет канонический вид:

$$y' + P(x)\, y = Q(x)$$

Здесь $y = y(x)$ - искомая функция, $P(x)$ и $Q(x)$ - заданные функции от $x$. Если $Q(x) \equiv 0$, уравнение называется однородным, иначе - неоднородным. Слово «линейное» относится к тому, что $y$ и $y'$ входят в первой степени, без перемножений и нелинейных функций.

Метод Бернулли годится именно для уравнений в этом виде. Если ваше уравнение записано как $f(x)\, y' + g(x)\, y = h(x)$ - сначала разделите всё на $f(x)$, чтобы коэффициент при $y'$ стал единицей.

Идея метода

Ищем решение в виде произведения двух функций:

$$y = u(x)\, v(x)$$

Тогда по правилу дифференцирования произведения:

$$y' = u'\, v + u\, v'$$

Подставляем в исходное уравнение:

$$u'\, v + u\, v' + P(x)\, u\, v = Q(x)$$ $$u'\, v + u\,\bigl(v' + P(x)\, v\bigr) = Q(x)$$

Главный приём - подбираем $v$ так, чтобы скобка в правой части обнулилась. То есть требуем:

$$v' + P(x)\, v = 0$$

Это уже простое уравнение с разделяющимися переменными, легко решается. Получаем $v(x)$ (с точностью до константы - но достаточно взять любое частное решение).

Подставляем найденное $v$ в то, что осталось от исходного:

$$u'\, v(x) = Q(x) \;\Rightarrow\; u' = \frac{Q(x)}{v(x)} \;\Rightarrow\; u(x) = \int \frac{Q(x)}{v(x)}\, dx + C$$

Произведение даёт ответ:

$$y(x) = u(x)\, v(x)$$

Главное преимущество - все интегралы простые и берутся в одну строчку, без интегрирующих множителей и игры с экспонентами.

Алгоритм по шагам

1. Приведите уравнение к каноническому виду $y' + P(x)\, y = Q(x)$.
2. Подставьте $y = u\, v$, $y' = u'\, v + u\, v'$.
3. Сгруппируйте слагаемые: $u'\, v + u\,(v' + P\, v) = Q$.
4. Решите вспомогательное уравнение $v' + P\, v = 0$ - найдите частное $v(x)$.
5. Подставьте $v(x)$ в уравнение $u'\, v = Q$ и найдите $u(x) = \int Q/v\, dx + C$.
6. Запишите ответ $y = u\, v$.

Первая сложность с методом Бернулли - даже не в самой подстановке, а в том, чтобы привести уравнение к каноническому виду. Подставь $P(x)$ и $Q(x)$ из своего уравнения ниже - собранный запрос откроет чат, в котором уравнение будет решено пошагово через подстановку $y = u \cdot v$ с проверкой.

Подробный пример

Решим уравнение:

$$y' + 2x\, y = x$$

Здесь $P(x) = 2x$, $Q(x) = x$.

Шаг 1. Подстановка $y = u\, v$:

$$(u'\, v + u\, v') + 2x\, u\, v = x \;\Rightarrow\; u'\, v + u\,(v' + 2x\, v) = x$$

Шаг 2. Подбираем $v$ из условия $v' + 2x\, v = 0$. Разделяем переменные:

$$\frac{dv}{v} = -2x\, dx \;\Rightarrow\; \ln|v| = -x^{2} \;\Rightarrow\; v = e^{-x^{2}}$$

(Берём положительное частное решение без константы.)

Шаг 3. Подставляем в $u'\, v = x$:

$$u'\, e^{-x^{2}} = x \;\Rightarrow\; u' = x\, e^{x^{2}}$$

Шаг 4. Интегрируем. Замена $t = x^{2}$, $dt = 2x\, dx$:

$$u = \int x\, e^{x^{2}}\, dx = \tfrac{1}{2} \int e^{t}\, dt = \tfrac{1}{2} e^{x^{2}} + C$$

Шаг 5. Собираем ответ $y = u\, v$:

$$y = \Bigl(\tfrac{1}{2} e^{x^{2}} + C\Bigr) \cdot e^{-x^{2}} = \tfrac{1}{2} + C\, e^{-x^{2}}$$

Проверим: $y' = -2x\, C\, e^{-x^{2}}$, тогда

$$y' + 2x\, y = -2x\, C\, e^{-x^{2}} + 2x\,\bigl(\tfrac{1}{2} + C\, e^{-x^{2}}\bigr) = x \;\;\checkmark$$

Когда метод Бернулли удобен

• Когда $P(x)$ интегрируется в одну строчку. Если $\int P\, dx$ берётся элементарно (как в нашем примере), метод даёт ответ за пять минут.
• Когда хочется без формул. Метод вариации требует помнить общее решение $y = e^{-\int P dx} \bigl(\int Q\, e^{\int P dx}\, dx + C\bigr)$ - много букв, легко ошибиться. Бернулли строится с нуля каждый раз.
• Когда уравнение нелинейное Бернулли. Уравнение вида $y' + P(x)\, y = Q(x)\, y^{n}$ ($n \neq 0, 1$) - отдельный класс, и для него тоже есть подстановка $z = y^{1-n}$, превращающая его в линейное. После этого можно применять метод Бернулли (тёзка). Это и есть «уравнение Бернулли» в собственном смысле.

Сравнение с методом вариации произвольной постоянной

Метод вариации (Лагранжа) идёт другим путём:

1. Сначала решают однородное $y' + P\, y = 0$ - получают $y_h = C\, e^{-\int P dx}$.
2. Считают, что в неоднородном $C = C(x)$ (то есть «варьируют постоянную»).
3. Подставляют в исходное уравнение, находят $C(x)$.

Результат тот же. Различие - в порядке шагов и в том, что Лагранж требует один раз вспомнить формулу решения однородного уравнения. Бернулли обходит этот шаг - всё делается через подстановку.

На практике большинство преподавателей принимает любой из двух методов. Если нужен быстрый ответ - берите тот, в котором меньше путаетесь.

Частые ошибки

• Забывают про скобки. Слагаемое $u\, v'$ нужно вынести в общую скобку с $P\, u\, v$ - иначе не получится обнулить часть уравнения.
• Берут $v$ с константой. На шаге 4 нельзя писать $v = e^{-\int P dx} + C$ - это неверно (константа в показателе и константа снаружи дают разные функции). Достаточно частного решения $v = e^{-\int P dx}$.
• Путают знаки в показателе. $v' + P\, v = 0$ решается как $v = e^{-\int P dx}$, минус - обязателен.
• Не приводят уравнение к каноническому виду. Если перед $y'$ стоит коэффициент, метод не сработает в том виде, как мы описали. Сначала делите на коэффициент при $y'$.

FAQ

Что если $P(x)$ или $Q(x)$ имеет разрыв? Решение строится на каждом интервале непрерывности отдельно. Сшивать его в точке разрыва - отдельная задача с дополнительными условиями.

Можно ли применить метод Бернулли к уравнениям второго порядка? В чистом виде - нет. Но идея подстановки произведения функций работает и там (например, при понижении порядка через $y = u\, v$). Однако для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами есть гораздо более удобный метод характеристического уравнения. Для уравнений с переменными коэффициентами специального вида (например, уравнения Бесселя) применяются ряды и специальные функции.

Что если интеграл $\int Q/v\, dx$ не берётся в элементарных функциях? Ответ можно оставить в интегральной форме: $u(x) = \int Q(x)/v(x)\, dx + C$. Это всё ещё корректное решение - просто не выраженное через стандартные функции.

Коротко

Метод Бернулли решает линейное уравнение первого порядка через подстановку $y = u\, v$. Сначала выбираем $v$ так, чтобы обнулилось слагаемое с $u$; потом находим $u$ из оставшегося простого уравнения. Альтернатива - метод вариации произвольной постоянной, результат идентичен. И не путайте «метод Бернулли» с «уравнением Бернулли» - это разные вещи, названные в честь одного и того же математика.