Уравнение Бесселя: решение через $J_n$ и $Y_n$

Уравнение Бесселя - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, к которому сводится огромный класс задач математической физики с цилиндрической симметрией. Его каноническая форма

$x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0$

возникает при разделении переменных в волновом уравнении, уравнении Лапласа и уравнении теплопроводности в цилиндрических координатах. Параметр $n$ может быть целым, полуцелым или произвольным комплексным; точка $x = 0$ - регулярная особая точка, из-за чего стандартный степенной ряд тут не работает, и приходится применять метод Фробениуса. Решение не выражается через элементарные функции - вместо этого появляются специальные функции Бесселя $J_n(x)$ и $Y_n(x)$, имена которым дал немецкий астроном Фридрих Бессель в работе 1824 года по возмущениям планетных орбит.

Где появляется уравнение Бесселя

Уравнение Бесселя - не учебная абстракция, а естественный результат разделения переменных в задачах с цилиндрической симметрией. Несколько типовых случаев:

• Колебания круглой мембраны (барабан). Решение волнового уравнения $u_{tt} = c^2 \Delta u$ в полярных координатах после разделения $u = R(r)\Theta(\theta)T(t)$ даёт для $R(r)$ именно уравнение Бесселя.
• Тепло в длинном цилиндрическом стержне. Стационарное распределение температуры $\Delta T = 0$ в цилиндре после разделения по $z$ и $\theta$ сводит радиальную часть к уравнению Бесселя или его модифицированной форме.
• Электромагнитные волноводы круглого сечения. Поперечные моды $\text{TE}_{nm}$ и $\text{TM}_{nm}$ описываются функциями Бесселя, а отсечки частот выражаются через нули $J_n$ и $J'_n$.
• Квантовая механика в цилиндре. Уравнение Шрёдингера для частицы в бесконечной цилиндрической яме приводит к радиальной части в виде функций Бесселя.

Эта вездесущность и делает уравнение Бесселя такой же базой математической физики, как уравнение Лежандра - для сферической симметрии.

Если у вас на руках конкретная задача с цилиндрической симметрией или просто заданный порядок $n$ - соберите параметры в форме ниже и получите общее решение, граничные условия и численные нули $J_n$ за один шаг.

Метод Фробениуса: ряд $y = \sum a_k x^{k+r}$

Поскольку $x = 0$ - регулярная особая точка, ищем решение в виде обобщённого степенного ряда:

$y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+r}, \qquad a_0 \ne 0$

где показатель $r$ заранее неизвестен. Подставляя ряд в уравнение, вычисляем производные:

$y' = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (k+r) x^{k+r-1}, \qquad y'' = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (k+r)(k+r-1) x^{k+r-2}$

Подстановка в уравнение даёт после приведения подобных:

$\sum_{k=0}^{\infty} a_k \big[(k+r)^2 - n^2\big] x^{k+r} + \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+r+2} = 0$

Из коэффициента при минимальной степени $x^r$ получаем определяющее уравнение $(r^2 - n^2) a_0 = 0$. Поскольку $a_0 \ne 0$, то $r = \pm n$. Дальнейшие коэффициенты находятся из рекуррентного соотношения

$a_k = -\frac{a_{k-2}}{(k+r)^2 - n^2}, \qquad k \ge 2,$

а все нечётные $a_k$ равны нулю. Это и есть скелет вывода функций Бесселя.

Функции Бесселя $J_n(x)$ и $Y_n(x)$

Подставляя $r = n$ и нормируя $a_0 = 1/(2^n n!)$, получаем функцию Бесселя первого рода порядка $n$:

$J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+n+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}$

Ряд сходится для всех $x$ и определяет аналитическую в нуле функцию. График $J_0(x)$ напоминает затухающий косинус: $J_0(0) = 1$, осциллирует и плавно затухает. $J_n(x)$ для $n \ge 1$ начинается с нуля, $J_n(0) = 0$, имеет первый максимум вблизи $x \sim n$ и далее осциллирует.

При $r = -n$ для целого $n$ второе решение получается линейно зависимым с $J_n$, поэтому метод Фробениуса нужно достраивать. Стандартный приём - определить функцию Бесселя второго рода (функцию Неймана) как предел

$Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(x) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)}$

Функция $Y_n(x)$ имеет логарифмическую особенность в нуле: $Y_0(x) \sim \frac{2}{\pi}\ln(x/2)$ при $x \to 0$, $Y_n(x) \sim -\frac{(n-1)!}{\pi}(2/x)^n$ при $n \ge 1$. На больших $x$ ведёт себя как затухающий синус.

Общее решение и выбор констант

Общее решение уравнения Бесселя порядка $n$ записывается как линейная комбинация:

$y(x) = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x)$

В физических задачах константы $c_1, c_2$ определяются граничными условиями. Ключевой ход: если область включает $x = 0$ (например, диск, цилиндр сплошной), то решение должно быть ограничено в нуле - а значит $c_2 = 0$, поскольку $Y_n$ там расходится. Остаётся только $J_n$. В кольцевых задачах (полая труба) обе функции допустимы.

Асимптотика на больших $x$

При $x \to \infty$ функции Бесселя ведут себя как затухающие тригонометрические функции:

$J_n(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\!\left(x - \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

$Y_n(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin\!\left(x - \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Амплитуда падает как $1/\sqrt{x}$ - это физически отражает закон сохранения энергии для расходящихся цилиндрических волн (площадь цилиндра растёт как $x$, амплитуда - как $1/\sqrt{x}$, интенсивность - как $1/x$). Асимптотика позволяет вычислять $J_n$ для больших $x$ без суммирования рядов и оценивать положение нулей.

Нули $J_n$ и задача Дирихле

Положительные нули функции $J_n$ нумеруются: $\mu_{n,1} < \mu_{n,2} < \mu_{n,3} < \ldots$ Первые несколько значений: $\mu_{0,1} \approx 2{,}405$, $\mu_{0,2} \approx 5{,}520$, $\mu_{0,3} \approx 8{,}654$; $\mu_{1,1} \approx 3{,}832$, $\mu_{1,2} \approx 7{,}016$; $\mu_{2,1} \approx 5{,}136$. Из асимптотики видно, что $\mu_{n,k} \approx (k + n/2 - 1/4)\pi$ для больших $k$.

Нули нужны при решении задачи Дирихле на круге радиуса $R$: $u\big|_{r=R} = 0$. Условие $J_n(\lambda R) = 0$ даёт дискретный спектр собственных значений $\lambda_{n,k} = \mu_{n,k}/R$. Эти $\lambda$ и определяют разрешённые частоты колебаний барабана, частоты отсечки в круглом волноводе, энергетические уровни в цилиндрической квантовой яме.

Рекуррентные соотношения

Функции Бесселя связаны между собой простыми тождествами, которые позволяют не вычислять каждую заново:

$J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x} J_n(x)$

$J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) = 2 J'_n(x)$

Эти же соотношения работают для $Y_n$. Из них следуют полезные частные случаи: $J'_0(x) = -J_1(x)$, $(x^n J_n(x))' = x^n J_{n-1}(x)$. Эти тождества - рабочий инструмент при интегрировании выражений с функциями Бесселя.

Модифицированные функции $I_n$, $K_n$

Если в уравнении знак при $x^2$ поменять на минус - $x^2 y'' + x y' - (x^2 + n^2) y = 0$, - получим модифицированное уравнение Бесселя. Его решения называются модифицированными функциями Бесселя $I_n(x)$ и $K_n(x)$. Они получаются из обычных подстановкой $x \to ix$: $I_n(x) = i^{-n} J_n(ix)$.

$I_n(x)$ растёт экспоненциально на больших $x$ ($I_n(x) \sim e^x/\sqrt{2\pi x}$), а $K_n(x)$ экспоненциально затухает ($K_n(x) \sim \sqrt{\pi/(2x)} e^{-x}$). Эта пара появляется в задачах теплопроводности с источником, в электростатике цилиндрических проводников, в теории плазмы и в моделях электролитов Дебая-Хюккеля.

Частые ошибки

• Путать $J_n$ и $Y_n$ по поведению в нуле. $J_n$ конечна в нуле, $Y_n$ расходится (логарифмически при $n = 0$, степенным образом при $n \ge 1$). Если задача определена на диске, $Y_n$ автоматически отбрасывается.
• Забывать множитель $1/\sqrt{x}$ в асимптотике. Без него амплитуда не затухает, и численные оценки на больших $x$ оказываются на порядки выше реальных.
• Применять стандартный степенной ряд $y = \sum a_k x^k$ вместо метода Фробениуса. Для нецелого $n$ получится противоречие - стандартный ряд не покрывает решение с $r = -n$.
• Использовать $J_{-n}$ как независимое второе решение для целого $n$. Для целого $n$ выполнено $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$, то есть зависимость линейная. Независимое второе решение - это именно $Y_n$.
• Подставлять не те функции в задаче с экспоненциальным затуханием. Если ожидается экспоненциальное затухание решения на бесконечности - нужны модифицированные $K_n$, не $J_n$, $Y_n$.

FAQ

Чем уравнение Бесселя отличается от уравнения Лежандра? Оба - линейные ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами и оба возникают при разделении переменных в задачах математической физики. Уравнение Бесселя приходит из цилиндрической симметрии, уравнение Лежандра - из сферической. Решения Бесселя - осциллирующие на бесконечности, решения Лежандра (полиномы $P_n$) - алгебраические на интервале $[-1, 1]$. Связь между ними проявляется в виде разложения сферических функций через бесселевы при больших значениях аргумента.

Можно ли решить уравнение Бесселя в элементарных функциях? Только при полуцелых $n = 1/2, 3/2, \ldots$ Например, $J_{1/2}(x) = \sqrt{2/(\pi x)} \sin x$, $J_{-1/2}(x) = \sqrt{2/(\pi x)} \cos x$. Для целых $n$ функции Бесселя элементарно не выражаются - это самостоятельные специальные функции, табулированные ещё в XIX веке.

Где взять численные значения нулей $J_n$? Таблицы нулей есть в любом справочнике по специальным функциям (Янке-Эмде-Лёш, Абрамовиц-Стиган, NIST DLMF). В Wolfram это BesselJZero[n, k], в SciPy - scipy.special.jn_zeros(n, k), в Maple - BesselJZeros(n, k). Для оценки первого нуля без таблиц можно пользоваться $\mu_{n,1} \approx n + 1{,}856 n^{1/3}$ при больших $n$.

Коротко

Уравнение Бесселя $x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0$ - стандартный «радиальный» оператор задач с цилиндрической симметрией. Его решение методом Фробениуса даёт пару линейно независимых функций - $J_n(x)$ (конечная в нуле, осциллирующая) и $Y_n(x)$ (логарифмически расходящаяся в нуле). Общее решение $y = c_1 J_n + c_2 Y_n$, а граничные условия выбирают константы и определяют спектр через нули $J_n$. Знакомство с асимптотикой, рекуррентами и модифицированными $I_n, K_n$ закрывает практически все типовые задачи - от колебаний барабана до волноводов и тепла в стержне.