Гипергеометрическая функция Гаусса: ряд, уравнение и свойства

Гипергеометрическая функция Гаусса - одна из центральных специальных функций анализа: через неё выражаются почти все элементарные функции и большинство классических ортогональных многочленов. Обозначается ${}_2F_1(a,b;c;z)$ и задаётся степенным рядом с коэффициентами, построенными из символа Похгаммера. Ниже разберём определение через ряд, гипергеометрическое уравнение второго порядка, условия сходимости, важнейшие частные случаи и формулы преобразования, которые встречаются в курсах математического анализа, теории функций комплексного переменного и уравнений математической физики.

Определение через гипергеометрический ряд

Гипергеометрическая функция Гаусса определяется степенным рядом

$${}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n\,(b)_n}{(c)_n}\,\frac{z^n}{n!},$$

где $(q)_n$ - символ Похгаммера (восходящий факториал):

$$(q)_0 = 1, \qquad (q)_n = q(q+1)(q+2)\cdots(q+n-1) = \frac{\Gamma(q+n)}{\Gamma(q)}.$$

Параметры $a$ и $b$ - числители, $c$ - знаменатель; на $c$ накладывается условие $c \neq 0, -1, -2, \dots$, иначе один из множителей $(c)_n$ обращается в нуль и ряд не определён. Запись ${}_2F_1$ означает, что в общей гипергеометрической нотации ${}_pF_q$ имеется $p=2$ параметра в числителе и $q=1$ в знаменателе. Отношение соседних членов ряда рационально:

$$\frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{(a+n)(b+n)}{(c+n)(1+n)}\,z,$$

и именно это свойство «гипергеометричности» отличает ряд Гаусса от обычной геометрической прогрессии, где отношение постоянно.

Перед тем как разбирать сходимость и преобразования, удобно сразу собрать значения функции для конкретных параметров. Подставлять символ Похгаммера вручную утомительно, поэтому ниже - интерактивный помощник: задаёте $a$, $b$, $c$, $z$ и получаете разбор частичных сумм ряда и упрощение до элементарной функции, если оно существует.

Гипергеометрическое уравнение Гаусса

Функция ${}_2F_1(a,b;c;z)$ является решением гипергеометрического уравнения - линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка:

$$z(1-z)\,w'' + \big[c - (a+b+1)z\big]\,w' - ab\,w = 0.$$

Это уравнение фуксова типа: оно имеет ровно три регулярные особые точки $z=0$, $z=1$ и $z=\infty$. В окрестности точки $z=0$ показатели (корни определяющего уравнения) равны $0$ и $1-c$. Если $c$ не целое, два линейно независимых решения вблизи нуля записываются как

$$w_1 = {}_2F_1(a,b;c;z), \qquad w_2 = z^{1-c}\,{}_2F_1(a-c+1,\,b-c+1;\,2-c;\,z).$$

Любое решение гипергеометрического уравнения есть линейная комбинация $w_1$ и $w_2$. Поскольку особых точек всего три, заменой переменной к нему сводится широкий класс уравнений второго порядка - например, уравнение Лежандра и (предельным переходом) уравнение Бесселя. Поэтому изучение гипергеометрической функции даёт ключ к большому семейству специальных функций.

Область и условия сходимости

Применяя признак Даламбера к отношению членов, при $n\to\infty$ получаем $|t_{n+1}/t_n| \to |z|$. Отсюда радиус сходимости ряда равен $1$:

• при $|z| < 1$ ряд сходится абсолютно;
• при $|z| > 1$ ряд расходится;
• на окружности $|z| = 1$ поведение зависит от $s = c - a - b$.

Поведение на границе единичного круга формулируется так. При $\operatorname{Re}(s) > 0$ ряд сходится абсолютно во всех точках $|z|=1$. При $-1 < \operatorname{Re}(s) \le 0$ он сходится условно всюду на окружности, кроме точки $z=1$. При $\operatorname{Re}(s) \le -1$ ряд расходится в каждой точке окружности. Особенно важно значение в точке $z=1$ - его даёт теорема Гаусса:

$${}_2F_1(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\,\Gamma(c-b)}, \qquad \operatorname{Re}(c-a-b) > 0.$$

За пределы круга $|z|<1$ функция продолжается аналитически на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль луча $[1, +\infty)$, поэтому ${}_2F_1$ корректно определена и при $|z|\ge 1$, просто не суммой исходного ряда.

Частные и предельные случаи

Сила гипергеометрической функции в том, что почти все элементарные функции - её частные случаи. Несколько базовых тождеств:

$${}_2F_1(1,1;2;z) = -\frac{\ln(1-z)}{z}, \qquad {}_2F_1(a,b;b;z) = (1-z)^{-a},$$ $${}_2F_1\!\left(\tfrac12,\tfrac12;\tfrac32;z^2\right) = \frac{\arcsin z}{z}, \qquad {}_2F_1\!\left(\tfrac12,1;\tfrac32;-z^2\right) = \frac{\arctan z}{z}.$$

При $b\to\infty$ с заменой $z\to z/b$ ряд переходит в вырожденную (конфлюэнтную) гипергеометрическую функцию Куммера ${}_1F_1(a;c;z)$, у которой особые точки $z=1$ и $z=\infty$ сливаются. Если же $a$ или $b$ - целое неположительное число, ряд обрывается и даёт многочлен. Так получаются классические ортогональные многочлены - Якоби, Гегенбауэра, Лежандра, Чебышёва: все они выражаются через ${}_2F_1$ с обрывающимся рядом, что роднит эту тему с теорией рядов и признаков сходимости.

Симметрии и формулы преобразования

Из определения сразу видна симметрия по верхним параметрам: ${}_2F_1(a,b;c;z) = {}_2F_1(b,a;c;z)$. Гораздо содержательнее формулы Эйлера и Пфаффа, связывающие значения в разных точках. Преобразование Пфаффа:

$${}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-a}\,{}_2F_1\!\left(a,\,c-b;\,c;\,\frac{z}{z-1}\right).$$

Преобразование Эйлера:

$${}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{\,c-a-b}\,{}_2F_1(c-a,\,c-b;\,c;\,z).$$

Эти тождества позволяют переносить аргумент из окрестности одной особой точки в окрестность другой ($z \to 1-z$, $z \to 1/z$, $z \to z/(z-1)$) и составляют основу теории 24 решений Куммера. Производная также выражается через гипергеометрическую функцию:

$$\frac{d}{dz}\,{}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{ab}{c}\,{}_2F_1(a+1,b+1;c+1;z).$$

Интегральное представление Эйлера

При $\operatorname{Re}(c) > \operatorname{Re}(b) > 0$ справедливо интегральное представление:

$${}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_0^1 t^{\,b-1}(1-t)^{\,c-b-1}(1-tz)^{-a}\,dt.$$

Оно даёт аналитическое продолжение функции за пределы единичного круга (интеграл сходится и при $|z|>1$, если $z$ не лежит на разрезе $[1,\infty)$) и удобно для асимптотических оценок. Из него же напрямую выводится теорема Гаусса о значении при $z=1$: подстановка $z=1$ превращает интеграл в бета-функцию $B(b,\,c-a-b)$.

Интегральное представление полезно ещё и тем, что переводит вопросы о ряде на язык хорошо изученной бета- и гамма-функций. Например, мажорировав подынтегральное выражение, легко получить оценки роста ${}_2F_1$ по аргументу и понять, как функция ведёт себя при стремлении $z$ к точке ветвления $z=1$. На этом же интеграле строятся численные алгоритмы: прямое суммирование ряда теряет точность при $z$, близких к границе круга, тогда как квадратура по $t\in[0,1]$ устойчива почти всюду, кроме окрестности разреза. Поэтому при практических расчётах обычно комбинируют три инструмента - ряд для малых $|z|$, формулы преобразования Эйлера и Пфаффа для переноса аргумента ближе к нулю и интегральное представление как универсальный запасной вариант.

Частые ошибки

• Путают символ Похгаммера с обычным факториалом: $(q)_n$ - это произведение $q(q+1)\cdots(q+n-1)$ из $n$ множителей, а не $q!$.
• Забывают ограничение $c \neq 0,-1,-2,\dots$: при недопустимом $c$ один из $(c)_n$ зануляется и ряд не определён.
• Считают, что ряд всегда сходится: радиус сходимости равен $1$, при $|z|>1$ нужно аналитическое продолжение, а не сумма ряда.
• Применяют теорему Гаусса ${}_2F_1(a,b;c;1)$ без проверки условия $\operatorname{Re}(c-a-b)>0$ - иначе значение в точке $z=1$ бесконечно.
• Теряют второе решение уравнения: при нецелом $c$ нужно добавлять ветвь $z^{1-c}\,{}_2F_1(\dots)$, иначе общее решение неполно.

FAQ

Чем гипергеометрический ряд отличается от геометрического? У геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно, а у гипергеометрического ряда оно равно рациональной функции номера $n$: $\frac{(a+n)(b+n)}{(c+n)(1+n)}z$. При $a=c$, $b=1$ ряд Гаусса как раз сводится к геометрическому $\sum z^n$.

Почему функция называется «гипергеометрической функцией Гаусса»? Гаусс в 1812 году систематически исследовал ряд ${}_2F_1$, его сходимость и непрерывные дроби; имя закрепилось за функцией с двумя верхними и одним нижним параметром, чтобы отличать её от обобщённых ${}_pF_q$.

Как связаны ${}_2F_1$ и ортогональные многочлены? Если один из параметров $a$ или $b$ - целое неположительное число, ряд обрывается и даёт многочлен. Многочлены Якоби, Лежандра, Гегенбауэра и Чебышёва - это ${}_2F_1$ с подобранными параметрами.

Коротко

Гипергеометрическая функция Гаусса ${}_2F_1(a,b;c;z)$ задаётся степенным рядом с символом Похгаммера, сходящимся при $|z|<1$, и является решением гипергеометрического уравнения второго порядка с тремя регулярными особыми точками. Через неё выражаются логарифм, арксинус, степенные функции и классические ортогональные многочлены; значение в точке $z=1$ даёт теорема Гаусса, а формулы Эйлера и Пфаффа связывают значения в разных областях комплексной плоскости.