Пространство Соболева: норма W^{k,p} и вложения

Пространство Соболева --- это функциональное пространство, в котором живут функции вместе со своими обобщёнными производными до некоторого порядка, суммируемые со степенью $p$. Именно в таких пространствах ищут слабые решения уравнений в частных производных: от уравнения теплопроводности до уравнений Навье-Стокса. Без понятия нормы Соболева невозможно строго доказать ни существование, ни единственность, ни регулярность решений. Ниже разберём определение, как вычисляется норма и когда работает теорема о вложении. Начните с калькулятора: он показывает, как растёт норма $\|u\|_{W^{k,p}}$ для функции $\sin(\pi n x)$ при изменении порядка $k$, показателя $p$ и частоты $n$.

Определение: что такое $W^{k,p}(\Omega)$

Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ --- открытая область. Для целого $k \ge 0$ и $1 \le p \le \infty$ пространство Соболева $W^{k,p}(\Omega)$ --- это множество всех функций $u \in L^p(\Omega)$, у которых все обобщённые производные до порядка $k$ включительно тоже лежат в $L^p(\Omega)$:

$$W^{k,p}(\Omega) = \bigl\{ u \in L^p(\Omega) : D^\alpha u \in L^p(\Omega) \text{ для всех } |\alpha| \le k \bigr\}.$$

Здесь $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ --- мультиндекс, $|\alpha| = \alpha_1 + \ldots + \alpha_d$, а $D^\alpha u$ --- обобщённая (слабая) производная. Обобщённая производная $v = D^\alpha u$ определяется интегрированием по частям без требования классической дифференцируемости: $v$ удовлетворяет

$$\int_\Omega v \, \varphi \, dx = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega u \, D^\alpha \varphi \, dx$$

для всех пробных функций $\varphi \in C_0^\infty(\Omega)$. Это позволяет включать в $W^{k,p}$ функции с угловыми точками, разрывами производных и другими негладкостями --- лишь бы интегралы сходились.

Рассчитать для своей задачи

Норма пространства Соболева

На $W^{k,p}(\Omega)$ вводится норма, учитывающая все производные до порядка $k$:

$$\|u\|_{W^{k,p}}^p = \sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|_{L^p}^p = \sum_{|\alpha| \le k} \int_\Omega |D^\alpha u|^p \, dx.$$

Для одномерного отрезка $\Omega = [0,1]$ и производных только по одной переменной это упрощается до

$$\|u\|_{W^{k,p}([0,1])}^p = \sum_{j=0}^{k} \int_0^1 |u^{(j)}(x)|^p \, dx.$$

Частный случай $p = 2$ особенно важен: $W^{k,2}(\Omega)$ --- это гильбертово пространство (обозначается также $H^k(\Omega)$), которое несёт скалярное произведение

$$\langle u, v \rangle_{H^k} = \sum_{|\alpha| \le k} \int_\Omega D^\alpha u \cdot D^\alpha v \, dx.$$

Именно в $H^k$ работают большинство результатов вариационного счисления и методы конечных элементов.

Пример. Для $u(x) = \sin(\pi n x)$ на $[0,1]$:

• $u'(x) = \pi n \cos(\pi n x)$, $u''(x) = -(\pi n)^2 \sin(\pi n x)$;
• $\|u^{(j)}\|_{L^2}^2 = (\pi n)^{2j} \cdot \|\sin\|_{L^2}^2 = (\pi n)^{2j} / 2$;
• $\|u\|_{W^{k,2}}^2 = \tfrac{1}{2}\sum_{j=0}^{k}(\pi n)^{2j}$.

При $n = 3$, $k = 1$: $\|u\|_{W^{1,2}}^2 = \tfrac{1}{2}(1 + (\pi \cdot 3)^2) \approx 44{,}7$, то есть $\|u\|_{W^{1,2}} \approx 6{,}7$. Калькулятор выше считает это автоматически для любого сочетания $k, p, n$.

Рассчитать для своей задачи

Обобщённые производные и зачем они нужны

Классическая производная требует существования предела разностного отношения в каждой точке. Для уравнений в частных производных это слишком жёстко: граничные задачи часто не имеют гладких решений. Обобщённая производная переносит акцент с поточечного предела на интегральный тест --- функция $v$ называется обобщённой производной $u$, если она проходит тест «интегрирование по частям» для всех гладких пробных функций.

Такое определение позволяет, например, взять $u(x) = |x|$ на $(-1,1)$: классическая производная не существует в нуле, но обобщённая производная --- это функция знака $\operatorname{sgn}(x) \in L^2(-1,1)$. Значит, $|x| \in W^{1,2}(-1,1)$.

Обобщённые производные выше первого порядка существуют далеко не для всех функций. Например, $u(x) = |x|^{1/2}$ на $(-1,1)$ принадлежит $W^{1,2}(-1,1)$ (производная $\tfrac{1}{2}|x|^{-1/2}$ квадратично суммируема: $\int_{-1}^1 |x|^{-1}\,dx$ расходится --- нет, $u \notin W^{1,2}$). Именно такие граничные случаи нужно аккуратно проверять.

Теорема о вложении Соболева

Одна из главных теорем функционального анализа связывает пространства Соболева с пространствами непрерывных функций: при достаточно большом $k$ функции из $W^{k,p}(\Omega)$ обязаны быть непрерывными или даже гладкими.

Для ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ с гладкой границей теорема о вложении Соболева утверждает:

$$k - \frac{d}{p} > m \implies W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^m(\overline{\Omega}),$$

то есть каждая функция из $W^{k,p}$ имеет $m$ непрерывных производных. В одномерном случае ($d = 1$) условие принимает вид:

$$k > m + \frac{1}{p}.$$

В частности, $W^{1,2}([0,1]) \hookrightarrow C^0([0,1])$: функции с квадратично суммируемой первой производной на отрезке непрерывны. Это объясняет, почему в методе конечных элементов стремятся брать пространства $H^1$ --- там функции хотя бы непрерывны, что гарантирует корректность граничных условий.

Рассчитать для своей задачи

Плотность гладких функций

Важное свойство пространств Соболева: в них плотны гладкие функции. Точнее, $C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega)$ плотно в $W^{k,p}(\Omega)$ (теорема Меликова-Шапошникова и её аналоги). Для области $\Omega$ с достаточно гладкой границей $C^\infty(\overline{\Omega})$ плотно в $W^{k,p}(\Omega)$.

Отдельно выделяют пространство $W^{k,p}_0(\Omega)$ --- замыкание $C_0^\infty(\Omega)$ (гладкие функции с компактным носителем внутри $\Omega$) по норме $W^{k,p}$. Это пространство реализует однородные граничные условия Дирихле: $u|_{\partial\Omega} = 0$. Неравенство Пуанкаре гарантирует, что на $W^{1,p}_0(\Omega)$ норма $\|\nabla u\|_{L^p}$ эквивалентна полной норме $W^{1,p}$, что упрощает оценки.

Частые ошибки

• Путать слабую и классическую производные. Слабая производная $v$ существует, если интеграл $\int u D^\alpha \varphi\,dx$ корректен для всех $\varphi \in C_0^\infty$; классической дифференцируемости в точке для этого не требуется. Проверять надо интеграл, а не предел разностного отношения.
• Неправильно применять теорему вложения. Условие $k - d/p > m$ строгое: при $k - d/p = m$ вложения в $C^m$ уже нет (лишь в пространство Липшица или $L^\infty$). Граничные случаи требуют отдельного анализа.
• Игнорировать размерность области. Та же норма $W^{1,2}$ в $\mathbb{R}$ даёт непрерывность ($1 - 1/2 = 1/2 > 0$), а в $\mathbb{R}^3$ нет ($1 - 3/2 = -1/2 < 0$).
• Путать $W^{k,p}$ и $W^{k,p}_0$. Второе пространство дополнительно требует обращения в нуль на границе; их нормы эквивалентны на $W^{k,p}_0$, но не на $W^{k,p}$.
• Забывать про суммируемость производных всех порядков до $k$. В норму $W^{k,p}$ входят производные ВСЕХ мультиндексов $|\alpha| \le k$, а не только порядка $k$.

FAQ

Что такое пространство Соболева простыми словами? Это множество функций, у которых есть обобщённые производные до порядка $k$, и все они квадратично (или с показателем $p$) суммируемы. Такие пространства позволяют искать решения уравнений в частных производных среди не слишком гладких функций.

Чем $H^k$ отличается от $W^{k,p}$? $H^k = W^{k,2}$ --- частный случай при $p = 2$. Именно при $p = 2$ пространство Соболева становится гильбертовым (есть скалярное произведение), что открывает доступ к теореме Рисса, проекциям и спектральной теории. В большинстве задач математической физики используют именно $H^k$.

Когда функция из $W^{1,2}([0,1])$ непрерывна? Всегда: теорема о вложении Соболева для $d = 1$, $k = 1$, $p = 2$ даёт $k - d/p = 1 - 1/2 = 1/2 > 0 = m$, то есть $W^{1,2}([0,1]) \hookrightarrow C^0([0,1])$. Каждая функция с квадратично суммируемой первой производной на отрезке имеет непрерывного представителя.

Коротко

Пространство Соболева $W^{k,p}(\Omega)$ состоит из функций, у которых обобщённые производные всех порядков до $k$ лежат в $L^p(\Omega)$. Норма суммирует $L^p$-нормы всех таких производных. При $p = 2$ получается гильбертово пространство $H^k$, незаменимое в вариационных задачах и методе конечных элементов. Теорема о вложении Соболева переводит гладкость в интегральных терминах ($k, p$) в классическую гладкость: если $k - d/p > m$, функции из $W^{k,p}$ имеют $m$ непрерывных производных.