Функции Бесселя второго рода: $Y_n(x)$ и особенность

Уравнение Бесселя $x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0$ имеет второй порядок, а значит, у него ровно два линейно независимых решения. Первое из них, функция Бесселя первого рода $J_n(x)$, конечна в нуле и встречается в задачах чаще. Второе решение и есть функция Бесселя второго рода $Y_n(x)$, которую называют ещё функцией Неймана или Вебера. Её ключевая особенность в том, что при $x \to 0$ она логарифмически уходит в минус бесконечность, и именно из-за этого её то отбрасывают, то, наоборот, обязаны оставить. Ниже разберём, откуда берётся функция второго рода, как она устроена, чему равны её нули и в каких задачах без неё не обойтись. Чтобы сразу увидеть её поведение, покрутите калькулятор: он строит $Y_n(x)$ для любого порядка, отмечает нули и показывает рядом функцию первого рода для сравнения.

Почему нужна вторая функция Бесселя

Уравнение Бесселя - это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, поэтому пространство его решений двумерно: любое решение есть линейная комбинация двух базисных. Если решать уравнение методом Фробениуса, первый корень определяющего уравнения даёт степенной ряд, который и сходится к функции Бесселя первого рода $J_n(x)$. Подробный вывод обоих решений разобран в материале про решение уравнения Бесселя через ряды.

Проблема в том, что при целом порядке $n$ второе решение нельзя получить простой заменой $n$ на $-n$: функции $J_n$ и $J_{-n}$ оказываются линейно зависимыми ($J_{-n} = (-1)^n J_n$). Чтобы получить честно независимое второе решение, его определяют через предел

$Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.$

Этот предел и порождает логарифмический член: в разложении $Y_n(x)$ появляется слагаемое вида $\frac{2}{\pi} J_n(x)\ln x$. Именно оно отвечает за уход в минус бесконечность у начала координат и делает функцию второго рода качественно непохожей на первое решение.

Как функция уходит в минус бесконечность

Главный признак функции Бесселя второго рода виден на её поведении возле нуля. Для нулевого порядка асимптотика выглядит так:

$Y_0(x) \approx \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2} + \gamma\right), \qquad x \to 0^{+},$

где $\gamma \approx 0{,}5772$ - постоянная Эйлера-Маскерони. Логарифм стремится к минус бесконечности, поэтому и $Y_0(x) \to -\infty$. Для порядков $n \ge 1$ расходимость ещё сильнее - степенная: $Y_n(x) \sim -\frac{(n-1)!}{\pi}\left(\frac{2}{x}\right)^{n}$. В калькуляторе видно, что значение $Y_0(0{,}01)$ уже около $-3$, а ближе к нулю кривая обрывается вниз.

Рассчитать для своей задачи

Из-за этой особенности коэффициент при $Y_n(x)$ обнуляют каждый раз, когда решение физической задачи должно оставаться конечным в центре области - например, для колебаний сплошной круглой мембраны, где точка $x = 0$ принадлежит самой мембране. Тогда от общего решения остаётся только $J_n$.

Общее решение и линейная независимость

Поскольку $J_n$ и $Y_n$ - два линейно независимых решения, общее решение уравнения Бесселя записывается как их линейная комбинация:

$y(x) = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x).$

Константы $c_1$ и $c_2$ находят из граничных условий. Линейную независимость удобно подтвердить через определитель Вронского, который для пары $J_n, Y_n$ равен

$W\{J_n, Y_n\}(x) = J_n(x) Y_n'(x) - J_n'(x) Y_n(x) = \frac{2}{\pi x}.$

Вронскиан нигде на $x > 0$ не обращается в ноль, а значит, функции действительно образуют фундаментальную систему. На графике различие двух решений видно мгновенно: $J_0(0) = 1$ - конечная точка, тогда как $Y_0$ в том же месте уходит вниз.

Рассчитать для своей задачи

Если порядок $n$ не целый, второе решение можно строить и как $J_{-\nu}$, но функция Неймана $Y_\nu(x)$ удобнее тем, что определена единообразно для всех порядков, включая целые, и именно она входит в стандартные таблицы и в комбинации вроде функций Бесселя комплексного аргумента, из которых собирают функции Ганкеля.

Нули функции Бесселя второго рода

Как и функция первого рода, $Y_n(x)$ при больших $x$ колеблется с медленно убывающей амплитудой, поэтому у неё бесконечно много положительных нулей. Их обозначают $y_{n,k}$ - это $k$-й положительный корень уравнения $Y_n(x) = 0$. Для нулевого порядка первые нули таковы:

$y_{0,1} \approx 0{,}894, \quad y_{0,2} \approx 3{,}958, \quad y_{0,3} \approx 7{,}086, \quad y_{0,4} \approx 10{,}222.$

Замечательное свойство: нули функций первого и второго рода одного порядка строго чередуются. Между двумя соседними нулями $J_0$ лежит ровно один ноль $Y_0$, и наоборот. Это прямое следствие теоремы Штурма о разделении нулей для решений одного линейного уравнения второго порядка.

Рассчитать для своей задачи

При больших $k$ нули обоих родов располагаются почти равномерно с шагом $\pi$, потому что асимптотически $Y_n(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\!\left(x - \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$. Сдвиг фазы на $\pi/2$ относительно $J_n$ как раз и обеспечивает чередование нулей.

Где функцию второго рода нельзя отбрасывать

Может показаться, что раз $Y_n$ уходит в бесконечность, она бесполезна. Это не так. Функция второго рода обязательно нужна, когда область задачи не содержит точку $x = 0$. Типичные случаи:

• Кольцевая мембрана с закреплёнными внутренним и внешним радиусами: центр исключён, поэтому решение есть комбинация $J_n$ и $Y_n$, а собственные частоты ищут из системы двух граничных условий.
• Коаксиальный волновод с центральным проводником: поле определено в кольцевом зазоре между проводниками, и без функции Неймана набор мод не получить.
• Теплопроводность в трубе или цилиндрической оболочке, где внутренняя стенка не нулевого радиуса.

Во всех этих задачах коэффициент $c_2$ при $Y_n$ не зануляется, и именно граничные условия на двух радиусах дают трансцендентное уравнение на собственные значения.

Частые ошибки

• Считать $Y_n$ просто $J_{-n}$. При целом $n$ эти функции линейно зависимы, и $J_{-n}$ не даёт второго решения. Функцию второго рода определяют через предел с логарифмическим членом.
• Оставлять $Y_n$ там, где решение должно быть конечным в центре. Для сплошного круга или диска коэффициент при $Y_n$ обязан быть нулевым, иначе решение расходится в точке $x = 0$.
• Путать нули $J_n$ и $Y_n$. Они чередуются, но не совпадают: первый ноль $Y_0$ это $0{,}894$, тогда как первый ноль $J_0$ это $2{,}405$.
• Брать аргумент в нуле. Значение $Y_n(0)$ не определено (равно минус бесконечности), поэтому при численном счёте начинают с малого положительного $x$, а не с самого нуля.

FAQ

Чем функция Бесселя второго рода отличается от первой? Обе удовлетворяют одному уравнению Бесселя, но $J_n(x)$ конечна в нуле, а $Y_n(x)$ при $x \to 0$ уходит в минус бесконечность. Вместе они дают два линейно независимых решения, и общее решение есть их линейная комбинация $c_1 J_n + c_2 Y_n$.

Почему функцию Неймана называют функцией второго рода? Это историческое название второго базисного решения. Термины функция Бесселя второго рода, функция Неймана и функция Вебера обозначают одно и то же $Y_n(x)$.

Когда коэффициент при $Y_n$ обращается в ноль? Когда область задачи включает точку $x = 0$ и решение должно оставаться конечным. Например, для колебаний сплошной круглой мембраны слагаемое с $Y_n$ убрали бы, потому что оно расходится в центре.

Коротко

Функция Бесселя второго рода $Y_n(x)$ - это второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, отличающееся от первого логарифмической особенностью: при $x \to 0$ она уходит в минус бесконечность. Общее решение записывается как $y = c_1 J_n + c_2 Y_n$, а линейную независимость гарантирует вронскиан $2/(\pi x)$. Нули $Y_n$ чередуются с нулями $J_n$, а сама функция необходима всюду, где область задачи не содержит ось, от кольцевой мембраны до коаксиального волновода.