Уравнение Лежандра: многочлены, корни и свойства

Уравнение Лежандра - это линейное дифференциальное уравнение второго порядка $(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$, которое появляется при разделении переменных в задачах с осевой и сферической симметрией: потенциал точечного заряда, теплопроводность шара, колебания. Главная его особенность в том, что при целом неотрицательном $n$ у уравнения есть единственное с точностью до множителя полиномиальное решение - многочлен Лежандра $P_n(x)$. Ниже разберём, откуда берётся уравнение Лежандра, как строить эти многочлены двумя способами, чему равны их корни, почему они ортогональны на отрезке $[-1,1]$ и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как степень $n$ управляет формой кривой и числом нулей, покрутите калькулятор ниже: он строит многочлен Лежандра, отмечает его корни и считает значение в любой точке.

Откуда берётся уравнение Лежандра

Уравнение Лежандра возникает не само по себе, а как часть более крупной задачи. Когда уравнение Лапласа $\Delta u = 0$ или уравнение Гельмгольца записывают в сферических координатах и ищут решение методом разделения переменных, угловая часть распадается на два уравнения. Для осесимметричных задач (без зависимости от азимутального угла) полярная часть после замены $x = \cos\theta$ как раз и превращается в уравнение Лежандра:

$(1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + n(n+1)\,y = 0.$

Здесь $x = \cos\theta$ меняется на отрезке $[-1,1]$, а число $n(n+1)$ - это константа разделения, которая появляется как собственное значение. Именно требование, чтобы решение оставалось ограниченным на концах отрезка (в точках $x = \pm 1$, то есть на полюсах сферы), и вынуждает параметр $n$ быть целым. При нецелом $n$ решения уходят в бесконечность у границ, и физического смысла не имеют. Поэтому, говоря «уравнение Лежандра», почти всегда подразумевают именно случай целого $n$ с полиномиальным решением.

Стоит держать в голове, что уравнение второго порядка всегда имеет два линейно независимых решения. Полиномиальное $P_n(x)$ - лишь одно из них. Второе, обозначаемое $Q_n(x)$ и называемое функцией Лежандра второго рода, в точках $x = \pm 1$ обращается в бесконечность (содержит логарифм $\ln\frac{1+x}{1-x}$) и потому в ограниченных задачах отбрасывается. Общее решение уравнения - это линейная комбинация $y = C_1 P_n(x) + C_2 Q_n(x)$, но в физически осмысленных случаях коэффициент $C_2$ зануляют граничным условием.

Многочлены Лежандра как решение

При каждом целом $n \ge 0$ полиномиальное решение уравнения Лежандра, нормированное условием $P_n(1) = 1$, называют многочленом Лежандра $P_n(x)$. Первые из них выглядят так:

$P_0 = 1,\quad P_1 = x,\quad P_2 = \tfrac{1}{2}(3x^2-1),\quad P_3 = \tfrac{1}{2}(5x^3-3x),\quad P_4 = \tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3).$

Видно общее правило: $P_n$ - многочлен ровно степени $n$, причём при чётном $n$ он содержит только чётные степени $x$, а при нечётном - только нечётные. Это значит, что $P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)$: чётные многочлены симметричны, нечётные антисимметричны. На анимации ниже хорошо видно, как с ростом степени многочлен набирает всё больше «волн», но всегда приходит в одну и ту же точку $P_n(1) = 1$.

Рассчитать для своей задачи

Формула Родрига и рекуррентная формула Бонне

Выписывать многочлены Лежандра один за другим из решения уравнения неудобно. На практике их строят двумя короткими способами. Первый - компактная формула Родрига, которая даёт $P_n(x)$ сразу через $n$-ю производную:

$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\,\frac{d^n}{dx^n}\bigl(x^2-1\bigr)^n.$

Она удобна для вывода свойств, но дифференцировать высокие степени вручную утомительно. Поэтому для счёта используют второй способ - трёхчленную рекуррентную формулу Бонне, которая выражает следующий многочлен через два предыдущих:

$(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)\,x\,P_n(x) - n\,P_{n-1}(x).$

Стартуя с $P_0 = 1$ и $P_1 = x$, по этой формуле можно за пару строк получить $P_2, P_3, P_4$ и далее. Например, при $n=1$: $2P_2 = 3x\cdot x - 1\cdot 1 = 3x^2 - 1$, откуда $P_2 = (3x^2-1)/2$. Калькулятор в начале статьи считает значения именно по формуле Бонне - она численно устойчива и не накапливает ошибок округления даже для больших $n$.

Есть и третий, очень изящный способ получить сразу все многочлены - через производящую функцию. Если разложить выражение $\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}}$ в степенной ряд по малому параметру $t$, то коэффициентами при $t^n$ окажутся ровно многочлены Лежандра:

$\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)\,t^n.$

Именно в таком виде многочлены Лежандра впервые и появились - при разложении потенциала точечного заряда по расстоянию. Из производящей функции одной строкой выводятся и формула Бонне, и значения на концах $P_n(1)=1$, $P_n(-1)=(-1)^n$.

Корни многочленов Лежандра

У многочлена Лежандра $P_n(x)$ ровно $n$ простых корней, и все они лежат строго внутри интервала $(-1, 1)$. Это не случайность, а следствие ортогональности: каждый следующий многочлен «прошивает» ось ровно $n$ раз. На статичном снимке ниже хорошо видно расположение корней для $P_4$.

Рассчитать для своей задачи

Эти корни играют важную роль за пределами самой теории: они служат узлами квадратуры Гаусса - самого точного способа приближённо вычислять интегралы по фиксированному числу точек. Квадратура Гаусса с $n$ узлами точно интегрирует любой многочлен степени до $2n-1$ именно потому, что узлы выбраны в нулях $P_n$. Поэтому таблицы корней многочленов Лежандра встречаются в любом справочнике по численным методам. Подвигайте степень $n$ в калькуляторе: число золотых точек на оси всегда совпадает со степенью.

Ортогональность на отрезке

Главное свойство, которое делает многочлены Лежандра полезными, - их ортогональность на отрезке $[-1,1]$ с единичным весом:

$\int_{-1}^{1} P_m(x)\,P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n+1}\,\delta_{mn},$

где $\delta_{mn}$ - символ Кронекера (равен единице при $m=n$ и нулю при $m \ne n$). Это значит, что интеграл произведения двух разных многочленов Лежандра по отрезку равен нулю: положительные и отрицательные части площади под произведением взаимно гасятся.

Рассчитать для своей задачи

Из ортогональности следует, что любую достаточно гладкую функцию на $[-1,1]$ можно разложить в ряд по многочленам Лежандра - так же, как функцию раскладывают в ряд Фурье по синусам и косинусам. Эти ряды Фурье–Лежандра дают наилучшее в среднеквадратичном смысле приближение и широко применяются в физике и численном анализе. По духу это близко к разложению функции в ряд по ортогональной системе, только базис здесь не тригонометрический, а полиномиальный.

Как проверить, что многочлен - решение

Частая учебная задача - убедиться, что конкретный многочлен удовлетворяет уравнению Лежандра. Делается это прямой подстановкой. Возьмём $P_2(x) = (3x^2-1)/2$ и $n=2$. Сначала находим производные: $P_2' = 3x$ и $P_2'' = 3$. Подставляем в левую часть уравнения:

$(1-x^2)\cdot 3 - 2x\cdot 3x + 2\cdot 3\cdot \frac{3x^2-1}{2}.$

Раскрываем скобки: $3 - 3x^2 - 6x^2 + 3(3x^2-1) = 3 - 9x^2 + 9x^2 - 3 = 0$. Левая часть тождественно обращается в ноль, значит, $P_2$ действительно решает уравнение Лежандра при $n=2$. Точно так же проверяется любой $P_n$: выписали $y$, $y'$, $y''$, подставили - и слагаемые с $x^2$ должны сократиться. Если у вас не сокращается, ищите ошибку в производных или в коэффициенте $n(n+1)$.

Частые ошибки

• Путаница в коэффициенте $n(n+1)$. В уравнении стоит именно произведение $n(n+1)$, а не $n^2$ или $n$. При $n=3$ это $3\cdot 4 = 12$, а не $9$. С неверным коэффициентом проверка решения не сойдётся.
• Потеря знака во втором слагаемом. Член $-2xy'$ идёт со знаком минус. Если записать его с плюсом, уравнение перестанет совпадать с тем, которому удовлетворяют многочлены Лежандра.
• Ожидание корней вне отрезка. Все $n$ корней $P_n$ лежат строго внутри $(-1, 1)$. Искать их за пределами отрезка бессмысленно: там многочлен в нуль не обращается.
• Неверная нормировка. Многочлены Лежандра нормированы условием $P_n(1)=1$, а не требованием единичной нормы. Не путайте их с нормированными ортогональными многочленами, у которых интеграл квадрата равен единице.
• Применение формулы Родрига к нецелому $n$. Формула Родрига и полиномиальные решения существуют только при целом $n \ge 0$. При других $n$ решения уравнения Лежандра не являются многочленами.

FAQ

Чему равны первые многочлены Лежандра? $P_0 = 1$, $P_1 = x$, $P_2 = (3x^2-1)/2$, $P_3 = (5x^3-3x)/2$, $P_4 = (35x^4-30x^2+3)/8$. Каждый следующий получается из двух предыдущих по рекуррентной формуле Бонне $(n+1)P_{n+1} = (2n+1)xP_n - nP_{n-1}$.

Почему у многочлена Лежандра ровно $n$ корней? Это следствие ортогональности на $[-1,1]$. Ортогональный к единице и ко всем многочленам меньшей степени, $P_n$ обязан менять знак не менее $n$ раз внутри отрезка, а так как его степень равна $n$, корней ровно $n$, и все они простые и лежат в $(-1,1)$.

Чем уравнение Лежандра отличается от присоединённого уравнения Лежандра? Обычное уравнение Лежандра описывает осесимметричный случай и даёт многочлены $P_n(x)$. Присоединённое уравнение содержит дополнительный член с параметром $m$ и решается присоединёнными функциями Лежандра $P_n^m(x)$; вместе с экспонентой по азимуту они образуют сферические гармоники.

Коротко

Уравнение Лежандра $(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$ возникает при разделении переменных в сферических координатах, и при целом $n$ его полиномиальное решение - многочлен Лежандра $P_n(x)$. Строят такие многочлены по формуле Родрига $P_n = \tfrac{1}{2^n n!}\tfrac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ или по рекуррентной формуле Бонне. У каждого $P_n$ ровно $n$ корней внутри $(-1,1)$ - они служат узлами квадратуры Гаусса, - а сами многочлены ортогональны на отрезке и потому образуют базис для разложения функций в ряд Фурье–Лежандра.