Формула Родрига: поворот вектора вокруг оси

Формула Родрига - это компактный способ повернуть вектор $\mathbf{v}$ вокруг произвольной единичной оси $\mathbf{k}$ на угол $\theta$ без явного перебора координатных плоскостей. Её применяют в компьютерной графике, робототехнике, механике твёрдого тела и задачниках по линейной алгебре - везде, где нужно описать поворот в пространстве одной формулой. Попробуйте калькулятор ниже: задайте угол и вектор - и сразу увидите результат с разбивкой по трём слагаемым формулы.

Что такое формула Родрига

Формула Родрига записывается так:

$$\mathbf{v}' = \mathbf{v}\cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta + \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos\theta),$$

где $\mathbf{v}$ - исходный вектор, $\mathbf{k}$ - единичная ось вращения ($|\mathbf{k}| = 1$), $\theta$ - угол поворота, $\mathbf{v}'$ - результат.

У формулы три слагаемых, и каждое отвечает за свою часть поворота:

• $\mathbf{v}\cos\theta$ - проекция исходного вектора, «прижатая» к плоскости вращения, уменьшенная на $\cos\theta$;
• $(\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta$ - вращение на $90°$ в плоскости, ортогональной оси, умноженное на $\sin\theta$;
• $\mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos\theta)$ - компенсация проекции вектора на ось, которая не меняется при повороте.

Если $\mathbf{v}$ перпендикулярен оси $\mathbf{k}$, то $\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} = 0$ и третье слагаемое исчезает. Формула сводится к обычному повороту в плоскости: $\mathbf{v}\cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta$.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы

Разложим $\mathbf{v}$ на два ортогональных слагаемых: проекцию на ось $\mathbf{v}_\parallel = \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})$ и компоненту, перпендикулярную оси, $\mathbf{v}_\perp = \mathbf{v} - \mathbf{v}_\parallel$.

При повороте на угол $\theta$ вокруг $\mathbf{k}$:

• $\mathbf{v}_\parallel$ не меняется (она вдоль оси);
• $\mathbf{v}_\perp$ вращается в плоскости, перпендикулярной $\mathbf{k}$. В этой плоскости есть удобный ортонормированный базис: $\hat{\mathbf{e}}_1 = \mathbf{v}_\perp / |\mathbf{v}_\perp|$ и $\hat{\mathbf{e}}_2 = \mathbf{k} \times \hat{\mathbf{e}}_1$.

Поворот $\mathbf{v}_\perp$ даёт $\mathbf{v}_\perp \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}_\perp)\sin\theta$.

Заметим, что $\mathbf{k} \times \mathbf{v}_\perp = \mathbf{k} \times \mathbf{v}$ (параллельная компонента не даёт вклад в крест-произведение). Собирая всё вместе:

$$\mathbf{v}' = \mathbf{v}_\parallel + \mathbf{v}_\perp\cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta = \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{v} - \mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{v}))\cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta,$$

что после перегруппировки даёт исходную формулу.

Матрица поворота через формулу Родрига

Формула Родрига удобна не только для конкретного вектора, но и для построения матрицы поворота $R$. Если ось $\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)$, то:

$$R = I\cos\theta + (1-\cos\theta)\,\mathbf{k}\mathbf{k}^T + \sin\theta\,K,$$

где $I$ - единичная матрица, $\mathbf{k}\mathbf{k}^T$ - матрица проекции, $K$ - кососимметрическая матрица оси:

$$K = \begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{pmatrix}.$$

Эта запись - стандарт в компьютерной графике. Вместо того чтобы хранить три угла Эйлера и бороться с их порядком, достаточно хранить ось $\mathbf{k}$ и угол $\theta$ (так называемое представление ось-угол), а нужную матрицу строить по формуле выше.

Рассчитать для своей задачи

Частный случай: поворот вокруг координатных осей

Проверим формулу Родрига на простом примере: поворот вектора $\mathbf{v} = (1, 0, 0)$ вокруг оси $\mathbf{k} = (0, 0, 1)$ на угол $\theta = 90°$.

Вычислим слагаемые:

• $\mathbf{v}\cos 90° = (0, 0, 0)$;
• $\mathbf{k} \times \mathbf{v} = (0,0,1) \times (1,0,0) = (0\cdot0 - 1\cdot0,\ 1\cdot1 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot1) = (0, 1, 0)$; умноженное на $\sin 90° = 1$ даёт $(0, 1, 0)$;
• $\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} = 0$, третье слагаемое равно нулю.

Итог: $\mathbf{v}' = (0, 1, 0)$ - ось $x$ повернулась в ось $y$, что совпадает с матрицей поворота вокруг $z$ на $90°$.

Применение в задачах

Формула Родрига появляется в нескольких типах задач, и понимать её геометрический смысл важнее, чем заучивать наизусть.

Задачи на поворот в 3D. Дан вектор и произвольная ось - нужно найти координаты повёрнутого вектора. Алгоритм: нормировать ось ($\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k}/|\mathbf{k}|$), вычислить скалярное произведение $\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}$ и векторное $\mathbf{k} \times \mathbf{v}$, подставить в формулу. Проверить: длина $|\mathbf{v}'|$ должна совпасть с $|\mathbf{v}|$.

Составление матрицы поворота. Если угол и ось заданы, матрицу $R$ строят по формуле выше - это быстрее, чем перемножать три матрицы элементарных поворотов вокруг $x$, $y$, $z$ по очереди, и не требует выбора порядка следования осей (который в задачнике не всегда указан явно).

Проверка изометрии. Любой поворот сохраняет длину вектора: $|\mathbf{v}'| = |\mathbf{v}|$ и взаимные углы между векторами. Это хорошая проверка вычислений - если длина изменилась, где-то ошибка в знаке или подстановке. Второй полезный контроль: сумма квадратов элементов каждой строки матрицы $R$ должна быть равна единице.

Кватернионы. Формула Родрига - прямой предшественник кватернионного поворота. Единичный кватернион $q = \cos(\theta/2) + \mathbf{k}\sin(\theta/2)$ кодирует ту же самую ось-угол и действует на вектор через $\mathbf{v}' = q\mathbf{v}q^{-1}$. Это избегает «гимбального замка» углов Эйлера и упрощает интерполяцию поворотов (SLERP) при анимации.

Бесконечно малый поворот. При $\theta \to 0$: $\cos\theta \approx 1$, $\sin\theta \approx \theta$, и формула Родрига переходит в $\mathbf{v}' \approx \mathbf{v} + \theta(\mathbf{k} \times \mathbf{v})$ - линейное приближение, широко используемое в механике твёрдого тела при малых поворотах.

Рассчитать для своей задачи

Частые ошибки

• Ненормированная ось. Формула Родрига верна только для единичного $\mathbf{k}$. Если $|\mathbf{k}| \neq 1$, сначала нормируйте: $\mathbf{k} \leftarrow \mathbf{k} / |\mathbf{k}|$.
• Перепутан порядок в векторном произведении. $\mathbf{k} \times \mathbf{v}$ и $\mathbf{v} \times \mathbf{k}$ отличаются знаком. В формуле стоит именно $\mathbf{k} \times \mathbf{v}$ - ось «крест» вектор.
• Угол в градусах вместо радиан. В $\cos\theta$ и $\sin\theta$ подставляют радианы. Если угол дан в градусах, умножьте на $\pi/180$.
• Забытое третье слагаемое. Если вектор не перпендикулярен оси, $\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} \neq 0$ и третье слагаемое ненулевое - без него результат неверен.
• Применение к ненулевому $v_z$ при оси $k = z$. При $\mathbf{k} = (0,0,1)$ и произвольном $v_z$ компонента $v_z$ не меняется (она вдоль оси). Третье слагаемое как раз восстанавливает $\mathbf{k}\cdot v_z$ - не вычёркивайте его из формулы.

FAQ

Что делать, если ось вращения не единичная? Нормируйте её перед подстановкой: $\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k} / |\mathbf{k}|$. Формула Родрига требует $|\mathbf{k}| = 1$ - это единственное условие на ось.

Как связана формула Родрига с матрицей поворота? Она и есть матрица поворота, записанная через произведения ось-вектор. Подставляя последовательно $\mathbf{v} = \mathbf{e}_x$, $\mathbf{e}_y$, $\mathbf{e}_z$, получаем три столбца матрицы $R$. Развёрнутая запись: $R = I\cos\theta + (1-\cos\theta)\mathbf{k}\mathbf{k}^T + \sin\theta K$.

Можно ли составить поворот вокруг двух осей через формулу Родрига? Последовательное применение формулы Родрига дважды даёт корректный результат, но ось и угол составного поворота уже не складываются тривиально. Для цепочек поворотов удобнее кватернионное умножение, которое основано на той же формуле.

Коротко

Формула Родрига $\mathbf{v}' = \mathbf{v}\cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta + \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1-\cos\theta)$ поворачивает произвольный вектор $\mathbf{v}$ вокруг единичной оси $\mathbf{k}$ на угол $\theta$ за три арифметических слагаемых. Каждое из них имеет геометрический смысл: косинусная компонента в плоскости, синусная поперечная и сохранение проекции вдоль оси. Из той же формулы напрямую строится матрица поворота $R$ и кватернионное представление - ключевые инструменты трёхмерной геометрии.