Нули функции Бесселя: значения, формула и свойства

Нули функции Бесселя - это положительные значения аргумента, в которых функция $J_\nu(x)$ обращается в ноль. Их обозначают $j_{\nu,k}$: это $k$-й по счёту положительный корень уравнения $J_\nu(x) = 0$. На первый взгляд это просто точки пересечения колеблющейся кривой с осью, но именно они задают собственные частоты круглой мембраны, моды цилиндрического волновода и узлы во многих краевых задачах с цилиндрической симметрией. Ниже разберём, что такое нули функции Бесселя, где находятся первые из них, как оценить любой ноль по асимптотической формуле Мак-Магона, почему нули соседних порядков чередуются и какие ошибки чаще всего встречаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать, как порядок $\nu$ и номер $k$ влияют на положение нулей, покрутите калькулятор ниже: он рисует кривую с отмеченными нулями и сравнивает их с асимптотической оценкой.

Что такое нули функции Бесселя

Функция Бесселя первого рода $J_\nu(x)$ - это решение уравнения Бесселя

$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0,$

конечное в начале координат. При больших $x$ она ведёт себя как затухающая косинусоида, поэтому бесконечно много раз пересекает ось абсцисс. Каждое такое пересечение - это ноль функции Бесселя. Положительные нули нумеруют по возрастанию: $j_{\nu,1} < j_{\nu,2} < j_{\nu,3} < \dots$, где $j_{\nu,k}$ - $k$-й положительный ноль функции $J_\nu$.

Важная деталь: при $\nu = 0$ функция $J_0(0) = 1$, то есть точка $x = 0$ нулём не считается - нули начинаются правее. А вот при $\nu > 0$ выполнено $J_\nu(0) = 0$, но этот ноль в начале координат к набору $j_{\nu,k}$ не относят: считают только строго положительные корни. Это первая ловушка, в которую попадают при счёте.

Рассчитать для своей задачи

Анимация показывает главное свойство нулей: с ростом номера $k$ кривая всё больше похожа на чистую косинусоиду, поэтому соседние нули отстоят друг от друга почти на $\pi$. Это и есть ключ к асимптотической формуле, которую мы разберём ниже.

Где находятся первые нули

Первые нули проще всего запомнить численно. Для нулевого порядка ($\nu = 0$):

$j_{0,1} \approx 2{,}4048, \quad j_{0,2} \approx 5{,}5201, \quad j_{0,3} \approx 8{,}6537.$

Для первого порядка ($\nu = 1$):

$j_{1,1} \approx 3{,}8317, \quad j_{1,2} \approx 7{,}0156, \quad j_{1,3} \approx 10{,}1735.$

Эти значения - справочные константы, их приводят почти во всех таблицах специальных функций. Обратите внимание на два факта. Во-первых, первый ноль $j_{1,1} = 3{,}8317$ больше, чем $j_{0,1} = 2{,}4048$: с ростом порядка $\nu$ все нули смещаются вправо. Во-вторых, разности соседних нулей уже близки к $\pi \approx 3{,}1416$: например, $j_{0,3} - j_{0,2} = 3{,}1336$. Именно поэтому первый ноль $j_{0,1}$ выпадает из этой закономерности - на малых $x$ функция ещё не вышла на асимптотический режим.

Рассчитать для своей задачи

Асимптотическая формула Мак-Магона

Для больших номеров $k$ нули вычисляют по асимптотической формуле Мак-Магона. Введём вспомогательную величину

$\beta = \left(k + \frac{\nu}{2} - \frac14\right)\pi,$

тогда $k$-й ноль приближённо равен

$j_{\nu,k} \approx \beta - \frac{4\nu^2 - 1}{8\beta} - \frac{(4\nu^2 - 1)(28\nu^2 - 31)}{384\,\beta^3} - \dots$

Первое слагаемое $\beta$ отражает ту самую косинусоидальную асимптотику: нули идут с шагом $\pi$. Поправочные члены убывают как $1/\beta$ и быстро становятся пренебрежимо малыми. Уже для $\nu = 0$ и $k = 2$ формула даёт $5{,}5201$ против точного $5{,}5201$ - совпадение до четвёртого знака. Для первого нуля ($k = 1$) точность хуже, поэтому на практике формулу Мак-Магона применяют, начиная со второго-третьего нуля, а первый берут из таблицы или находят численно.

Калькулятор выше как раз сравнивает точное значение каждого нуля с оценкой по формуле Мак-Магона - видно, как стремительно сходятся обе колонки с ростом $k$.

Почему нули чередуются

Одно из красивых свойств - переплетение нулей. Между двумя соседними нулями функции $J_\nu$ лежит ровно один ноль функции $J_{\nu+1}$, и наоборот. Это свойство называют чередованием (или переплетением) нулей соседних порядков. Формально:

$j_{\nu,k} < j_{\nu+1,k} < j_{\nu,k+1}.$

Чередование - следствие рекуррентных соотношений между функциями Бесселя: производная $J_\nu'$ выражается через $J_{\nu-1}$ и $J_{\nu+1}$, а между нулями функции всегда лежит ноль её производной (теорема Ролля). Из этого же вытекает, что нули $J_\nu$ и $J_\nu'$ тоже чередуются - а нули производной важны для задач со свободным (ненагруженным) краем мембраны.

Рассчитать для своей задачи

Зачем нужны нули: мембрана и волновод

Самое известное приложение - колебания круглой мембраны (барабана) радиуса $R$ с закреплённым краем. Собственные функции имеют вид $J_\nu(\lambda r)\cos(\nu\varphi)$, а граничное условие «край неподвижен» означает $J_\nu(\lambda R) = 0$. Отсюда $\lambda R = j_{\nu,k}$, и собственные частоты получаются прямо из нулей:

$f_{\nu k} = \frac{c}{2\pi R}\, j_{\nu,k},$

где $c$ - скорость волны в мембране. Основной тон задаёт самый маленький ноль $j_{0,1} = 2{,}4048$, а отношения частот определяются отношениями нулей. Именно поэтому барабан звучит не так «музыкально», как струна: у струны частоты относятся как целые числа, а у мембраны - как нули функции Бесселя, которые целыми кратными не являются.

Рассчитать для своей задачи

Узловые окружности на мембране - это места, которые не движутся; они лежат на радиусах $r_k = R\, j_{0,k}/j_{0,K}$ для $K$-й моды. То же самое работает в цилиндрическом волноводе: частоты отсечки мод $\mathrm{TM}$ задаются нулями $j_{\nu,k}$, а мод $\mathrm{TE}$ - нулями производной $J_\nu'$. Поэтому таблицы нулей функции Бесселя - рабочий инструмент в акустике, электродинамике и теплопроводности цилиндрических тел. Подробнее о самом уравнении и его решениях можно посмотреть в разборе уравнения Бесселя и его решения.

Как находят нули численно

Если под рукой нет таблицы, нули ищут стандартными численными методами. Алгоритм прост: на сетке по $x$ отслеживают смену знака $J_\nu$ (произведение значений в соседних узлах становится отрицательным - значит, между ними корень), а затем уточняют корень делением отрезка пополам или методом Ньютона. Хорошая стартовая сетка - с шагом меньше $\pi$, чтобы не перепрыгнуть через два нуля сразу. В большинстве математических пакетов есть готовые функции: в Python это scipy.special.jn_zeros(n, k), которая сразу возвращает первые $k$ нулей $J_n$. Именно её результат лежит в основе калькулятора выше и анимаций в этой статье - поэтому числа в них совпадают с точностью до знаков.

Частые ошибки

• Счёт нуля в начале координат. При $\nu > 0$ значение $J_\nu(0) = 0$, но это не первый ноль $j_{\nu,1}$. В набор $j_{\nu,k}$ входят только строго положительные корни.
• Применение формулы Мак-Магона к первому нулю. Для $k = 1$ асимптотика даёт заметную погрешность. Первый ноль берут из таблицы или находят численно, а формулу применяют со второго-третьего.
• Путаница нулей функции и нулей её производной. Закреплённый край мембраны даёт условие $J_\nu = 0$, свободный край и моды $\mathrm{TE}$ волновода - условие $J_\nu' = 0$. Это разные наборы чисел.
• Слишком крупная сетка при численном поиске. Если шаг сетки больше расстояния между нулями (а оно близко к $\pi$), смену знака можно пропустить. Шаг берут заведомо меньше $\pi$.
• Перенос нулей $J_\nu$ на функцию второго рода. Нули $J_\nu$ и $Y_\nu$ различны и тоже чередуются, но это не одни и те же числа.

FAQ

Чему равен первый ноль функции Бесселя $J_0$? Первый положительный ноль $j_{0,1} \approx 2{,}4048$. Это самое маленькое значение $x > 0$, при котором $J_0(x) = 0$; оно задаёт основной тон колебаний круглой мембраны с закреплённым краем.

Сколько нулей у функции Бесселя? Бесконечно много. Функция $J_\nu(x)$ при больших $x$ ведёт себя как затухающая косинусоида и пересекает ось абсцисс бесконечное число раз, поэтому положительных нулей $j_{\nu,k}$ счётное бесконечное множество, с шагом, стремящимся к $\pi$.

Как нули функции Бесселя связаны с собственными частотами? Через граничное условие. Для круглой мембраны радиуса $R$ с закреплённым краем условие $J_\nu(\lambda R) = 0$ даёт $\lambda R = j_{\nu,k}$, поэтому собственные частоты $f_{\nu k} = \dfrac{c}{2\pi R} j_{\nu,k}$ прямо пропорциональны нулям.

Коротко

Нули функции Бесселя $j_{\nu,k}$ - это положительные корни уравнения $J_\nu(x) = 0$, занумерованные по возрастанию. Первые из них ($j_{0,1} \approx 2{,}4048$, $j_{1,1} \approx 3{,}8317$) берут из таблиц, а для больших номеров оценивают по асимптотической формуле Мак-Магона $j_{\nu,k} \approx \beta - \frac{4\nu^2-1}{8\beta}$ с $\beta = (k + \nu/2 - 1/4)\pi$. Нули соседних порядков чередуются, а расстояние между соседними нулями стремится к $\pi$. На практике они задают собственные частоты круглой мембраны и моды цилиндрического волновода, поэтому таблицы нулей - рабочий инструмент в акустике и электродинамике.