Функция Бесселя комплексный аргумент: $J_{\nu }(z)$ в плоскости

Функция Бесселя естественнее всего живёт не на вещественной оси, а во всей комплексной плоскости. Степенной ряд для $J_\nu(z)$ сходится при любом комплексном $z$, поэтому функция Бесселя комплексного аргумента - это аналитическое (с точностью до точки ветвления при нецелом порядке) продолжение привычной осциллирующей кривой. Стоит сдвинуть аргумент в мнимое направление, как колебания превращаются в экспоненциальный рост или затухание - именно так из обычных $J_\nu$ и $Y_\nu$ рождаются модифицированные функции $I_\nu$, $K_\nu$ и функции Кельвина $\mathrm{ber}, \mathrm{bei}$. Ниже разберём, как ведёт себя функция Бесселя при комплексном аргументе, какие новые объекты при этом появляются и где это нужно на практике.

Степенной ряд и аналитичность $J_\nu(z)$

Определение функции Бесселя первого рода через ряд не привязано к вещественности аргумента:

$J_\nu(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}.$

Множитель $(z/2)^{2k+\nu}$ при целом $\nu$ оставляет ряд однозначной целой функцией: $J_n(z)$ аналитична во всей плоскости $\mathbb{C}$ и не имеет особенностей в конечной части. При нецелом $\nu$ из-за множителя $z^\nu$ появляется точка ветвления в $z = 0$, и функцию Бесселя комплексного аргумента рассматривают на разрезанной плоскости (обычно разрез вдоль отрицательной вещественной полуоси), фиксируя главную ветвь $\arg z \in (-\pi, \pi]$.

Радиус сходимости ряда бесконечен, поэтому численно $J_\nu(z)$ для умеренных $|z|$ считается прямым суммированием. Для больших $|z|$ ряд знакопеременный и теряет точность из-за катастрофического сокращения - там переходят на асимптотику или интегральные представления.

Если у вас на руках конкретный аргумент $z = x + iy$ и нужно понять, чему равна функция Бесселя или как она себя ведёт, соберите параметры в форме ниже - получите явное значение, нужное представление и асимптотику в одном ответе.

Поворот аргумента: модифицированные функции $I_\nu$, $K_\nu$

Самый важный частный случай комплексного аргумента - чисто мнимый поворот $z \to ix$. Подстановка в ряд даёт модифицированную функцию Бесселя первого рода:

$I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}.$

Знакочередование $(-1)^k$ исчезает, и вместо осцилляций получается монотонный экспоненциальный рост: $I_\nu(x) \sim e^x/\sqrt{2\pi x}$ при $x \to +\infty$. Вторым линейно независимым решением модифицированного уравнения служит функция Макдональда $K_\nu(x)$, экспоненциально затухающая: $K_\nu(x) \sim \sqrt{\pi/(2x)}\,e^{-x}$. Связь с обычными функциями Бесселя записывается через функцию Ганкеля:

$K_\nu(x) = \frac{\pi}{2}\, i^{\nu+1} H_\nu^{(1)}(ix).$

Итак, поворот аргумента на $90^\circ$ в комплексной плоскости превращает осциллирующее решение в экспоненциальное - это и есть ключевая идея, объясняющая, почему функция Бесселя комплексного аргумента сразу даёт две разные семьи функций. Подробный вывод обычного уравнения и пары $J_n, Y_n$ разобран в материале про решение уравнения Бесселя.

Функции Ганкеля $H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)}$

В комплексной плоскости удобнее работать не с парой $J_\nu, Y_\nu$, а с их комплексными комбинациями - функциями Ганкеля (Бесселя третьего рода):

$H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + i Y_\nu(z), \qquad H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - i Y_\nu(z).$

Их асимптотика - чистые экспоненты, а не косинус с синусом:

$H_\nu^{(1)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\, e^{\,i(z - \nu\pi/2 - \pi/4)}, \qquad H_\nu^{(2)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\, e^{-i(z - \nu\pi/2 - \pi/4)}.$

Поэтому $H_\nu^{(1)}$ описывает расходящуюся цилиндрическую волну $e^{i(kr - \omega t)}$, а $H_\nu^{(2)}$ - сходящуюся. В верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z > 0$ функция $H_\nu^{(1)}(z)$ экспоненциально мала, в нижней - $H_\nu^{(2)}$; это делает их незаменимыми при выборе физически правильного решения в задачах излучения и рассеяния.

Функции Кельвина: $\mathrm{ber}$ и $\mathrm{bei}$

Если аргумент повернуть не на $90^\circ$, а на $135^\circ$ - то есть взять $z = x\, e^{3\pi i/4}$, - функция Бесселя расщепляется на вещественную и мнимую части, которые называются функциями Кельвина:

$J_\nu\!\left(x\, e^{3\pi i/4}\right) = \mathrm{ber}_\nu(x) + i\,\mathrm{bei}_\nu(x).$

Аналогично из $K_\nu$ получаются $\mathrm{ker}_\nu(x)$ и $\mathrm{kei}_\nu(x)$. Эти функции - не экзотика: именно они описывают скин-эффект в круглом проводнике, где плотность тока подчиняется уравнению с множителем $\sqrt{-i\omega\mu\sigma}$, то есть с аргументом, повёрнутым на $45^\circ$ от мнимой оси. Импеданс провода на переменном токе выражается через отношение $\mathrm{ber}, \mathrm{bei}$ и их производных. Так комплексный аргумент функции Бесселя оказывается прямым языком электротехники высоких частот.

Асимптотика в комплексной плоскости и явление Стокса

Для больших $|z|$ функция Бесселя комплексного аргумента имеет асимптотическое разложение

$J_\nu(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\left[\cos\omega \sum_{k} \frac{(-1)^k a_{2k}}{z^{2k}} - \sin\omega \sum_k \frac{(-1)^k a_{2k+1}}{z^{2k+1}}\right], \qquad \omega = z - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4},$

но это разложение справедливо лишь в определённом секторе $|\arg z| < \pi$. При пересечении некоторых лучей в комплексной плоскости - линий Стокса и антистоксовых линий - относительный вклад двух экспонент $e^{\pm iz}$ скачком меняется: экспоненциально малое слагаемое внезапно становится сравнимым с главным. Это явление Стокса означает, что одно и то же асимптотическое представление нельзя наивно продолжать на всю плоскость. Практический вывод: при вычислении $J_\nu(z)$ для комплексного $z$ нужно выбирать представление (ряд, асимптотику $J$, асимптотику $H^{(1)}$ или $H^{(2)}$) в зависимости от того, в каком секторе плоскости лежит аргумент.

Нули $J_\nu(z)$ вне вещественной оси

Для вещественного порядка $\nu > -1$ все нули функции $J_\nu(z)$ вещественны - это классический результат. Но стоит сделать порядок $\nu$ комплексным или рассмотреть смешанные граничные условия, как появляются комплексные нули, симметричные относительно вещественной оси (так как $\overline{J_\nu(\bar z)} = J_{\bar\nu}(z)$). Локализация этих нулей важна в задачах устойчивости: например, спектр оператора в цилиндрической области с диссипацией задаётся комплексными нулями комбинации $J_\nu$ и её производной. Найти их аналитически нельзя - используют принцип аргумента и численный поиск по контуру в комплексной плоскости.

Соотношения симметрии и продолжение через разрез

Поведение функции Бесселя комплексного аргумента при отражениях задаётся формулами связи. При повороте аргумента на полный $\pi$:

$J_\nu(z\, e^{im\pi}) = e^{im\nu\pi} J_\nu(z), \qquad m \in \mathbb{Z}.$

Отсюда видно, почему при целом $\nu = n$ функция однозначна (множитель $e^{im n\pi} = (-1)^{mn}$ согласован с чётностью), а при нецелом $\nu$ значение зависит от того, с какой стороны разреза подойти к точке. Комплексное сопряжение даёт $\overline{J_\nu(z)} = J_{\bar\nu}(\bar z)$, что для вещественного $\nu$ упрощается до $\overline{J_\nu(z)} = J_\nu(\bar z)$ - функция вещественна на вещественной оси и обладает зеркальной симметрией. Эти соотношения позволяют вычислять значения в любой точке плоскости, зная их в одном секторе.

Частые ошибки

• Считать $J_\nu(z)$ однозначной при нецелом $\nu$. Множитель $z^\nu$ даёт точку ветвления в нуле; без фиксации разреза и ветви $\arg z$ ответ определён неоднозначно.
• Применять вещественную асимптотику к комплексному $z$ во всей плоскости. Из-за явления Стокса разложение $J_\nu(z)$ работает только в своём секторе; вне его нужны $H_\nu^{(1)}$ или $H_\nu^{(2)}$.
• Путать $I_\nu$ с $J_\nu$ от мнимого аргумента без множителя $i^{-\nu}$. Правильно $I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix)$; забыв фазовый множитель, получают комплексное значение там, где должно быть вещественное.
• Суммировать ряд при больших $|z|$. Знакопеременный ряд теряет значащие цифры из-за сокращения; для $|z| \gtrsim 20$ нужна асимптотика или интегральное представление.
• Ожидать комплексные нули у $J_\nu$ при вещественном $\nu > -1$. Все нули в этом случае вещественны - комплексные появляются только при комплексном порядке или специальных граничных условиях.

FAQ

Чем функция Бесселя комплексного аргумента отличается от вещественной? Это та же аналитическая функция, заданная тем же рядом, но рассматриваемая на всей плоскости $\mathbb{C}$. На вещественной оси она осциллирует и затухает как $1/\sqrt{x}$; при повороте аргумента в мнимую сторону осцилляции сменяются экспоненциальным ростом ($I_\nu$) или затуханием ($K_\nu$). Никакого нового определения не требуется - достаточно подставить комплексное $z$ в ряд или асимптотику.

Как связаны модифицированные функции Бесселя с комплексным аргументом? Модифицированные функции - это просто функция Бесселя от повёрнутого аргумента: $I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix)$, а $K_\nu$ выражается через функцию Ганкеля $H_\nu^{(1)}(ix)$. Поворот на $90^\circ$ убирает знакочередование в ряде, и осциллирующее решение становится экспоненциальным. Поэтому уравнения теплопроводности и диффузии, дающие модифицированное уравнение Бесселя, - это «бесселевские» задачи с мнимым волновым числом.

Зачем нужны функции Ганкеля, если есть $J_\nu$ и $Y_\nu$? Функции Ганкеля $H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)}$ имеют чисто экспоненциальную асимптотику $e^{\pm iz}$, тогда как $J_\nu, Y_\nu$ - это косинус и синус. В комплексной плоскости одна из экспонент экспоненциально мала, поэтому через Ганкеля удобнее писать условия излучения (уходящая или приходящая волна) и контролировать рост решения в верхней/нижней полуплоскости.

Коротко

Функция Бесселя комплексного аргумента - это аналитическое продолжение $J_\nu(z)$ на всю плоскость, заданное тем же степенным рядом (с точкой ветвления в нуле при нецелом $\nu$). Поворот аргумента в мнимую сторону превращает осцилляции в экспоненту и порождает модифицированные функции $I_\nu, K_\nu$, а повороты на промежуточные углы дают функции Кельвина $\mathrm{ber}, \mathrm{bei}$, описывающие скин-эффект. Для расчётов в плоскости вместо пары $J_\nu, Y_\nu$ удобны функции Ганкеля $H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)}$ с чисто экспоненциальной асимптотикой, а корректный выбор представления требует учёта секторов и явления Стокса.