Уравнение Клеро: общее и особое решение

Уравнение Клеро - особый класс дифференциальных уравнений первого порядка, в котором функция выражается через аргумент, производную и некоторую функцию от производной. Отличительная черта: наряду с общим решением (семейство прямых) всегда существует особое решение, которое не получается из общего подстановкой никакого конкретного значения константы. Именно это делает уравнение Клеро ключевым объектом при изучении огибающих в курсе дифференциальных уравнений. Поверните ползунки в калькуляторе ниже - и вы сразу увидите, как прямые общего решения касаются параболы особого решения.

Что такое уравнение Клеро и его стандартная форма

Уравнение Клеро имеет вид:

$y = x\,y' + f(y'),$

где $f$ - заданная дифференцируемая функция, а $y' = p$ обозначает производную. В каноническом виде с заменой $p = y'$:

$y = xp + f(p).$

Уравнение названо в честь французского математика Алексиса Клеро, опубликовавшего его в 1734 году. Оно встречается в задачах о семействах прямых, их огибающих, а также в вариационных задачах механики.

Важно не путать уравнение Клеро с уравнением Лагранжа $y = x\,\varphi(y') + f(y')$: у Лагранжа перед $x$ стоит функция от $y'$, тогда как у Клеро - ровно коэффициент $1$. Это формально небольшое отличие кардинально меняет структуру решений.

Метод решения: дифференцирование по x

Рассчитать для своей задачи

Стандартный метод решения уравнения Клеро - дифференцировать обе части по $x$. Для $y = xp + f(p)$ получаем:

$p = p + x\,\frac{dp}{dx} + f'(p)\,\frac{dp}{dx},$

что упрощается до:

$(x + f'(p))\,\frac{dp}{dx} = 0.$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $\dfrac{dp}{dx} = 0$, то есть $p = C = \mathrm{const}$. Подстановка в исходное уравнение даёт общее решение - семейство прямых:

$y = Cx + f(C).$

1. $x + f'(p) = 0$, то есть $x = -f'(p)$. Вместе с $y = xp + f(p)$ это параметрическое представление особого решения - огибающей семейства прямых.

Канонический пример: $y = xy' + (y')^2$

Возьмём $f(p) = p^2$. Общее решение - семейство прямых:

$y = Cx + C^2.$

Каждая прямая задаётся своим значением константы $C$: при $C = 1$ прямая $y = x + 1$, при $C = -1$ прямая $y = -x + 1$ и т.д.

Для особого решения из $x + f'(p) = 0$ получаем $x + 2p = 0$, откуда $p = -x/2$. Подставляем в общее уравнение:

$y = x\cdot\left(-\frac{x}{2}\right) + \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} = -\frac{x^2}{4}.$

Особое решение: $y = -\dfrac{x^2}{4}$ - парабола.

Рассчитать для своей задачи

Проверим: прямая $y = Cx + C^2$ касается параболы $y = -x^2/4$ в точке $x_0 = -2C$. В этой точке $y_0 = -(4C^2)/4 = -C^2$. Значение прямой: $y = C(-2C) + C^2 = -2C^2 + C^2 = -C^2$. Значения совпадают. Наклон прямой: $k = C$. Наклон параболы: $y' = -x/2 = -(-2C)/2 = C$. Производные совпадают. Касание подтверждено.

Геометрический смысл: огибающая семейства кривых

Особое решение уравнения Клеро - это огибающая семейства прямых общего решения. Огибающая - кривая, которая в каждой своей точке касается ровно одной кривой из семейства и нигде эти кривые не пересекает.

Формальное определение: кривая $\Gamma$ является огибающей семейства $F(x, y, C) = 0$, если она удовлетворяет системе:

$\begin{aligned} F(x, y, C) &= 0,\\ \frac{\partial F}{\partial C}(x, y, C) &= 0. \end{aligned}$

Для нашего примера $F = y - Cx - C^2 = 0$ и $\partial F/\partial C = -x - 2C = 0$. Из второго уравнения $C = -x/2$, подстановка в первое снова даёт $y = -x^2/4$.

Огибающая обладает важным свойством: через каждую её точку проходит ровно одна прямая из семейства, и они касаются. Именно поэтому особое решение не получается из общего подстановкой фиксированного $C$: нужное значение $C$ меняется от точки к точке по закону $C = -x/2$.

Особое решение: отличие от общего

Особое решение уравнения удовлетворяет самому уравнению, но не получается из общего решения ни при каком конкретном $C$. Это принципиальное отличие от частного решения, которое получается из общего при подстановке конкретного числа вместо $C$.

Проверим, что $y = -x^2/4$ удовлетворяет исходному уравнению $y = xy' + (y')^2$:

• $y' = -x/2$;
• $xy' + (y')^2 = x(-x/2) + (-x/2)^2 = -x^2/2 + x^2/4 = -x^2/4 = y$. Верно.

При этом уравнение $-x^2/4 = Cx + C^2$ должно выполняться тождественно по $x$ для некоторого $C$, но это невозможно: левая часть - квадратичная функция $x$, правая - линейная при фиксированном $C$.

Пример с f(p) = 1/p

Рассмотрим $y = xy' + 1/y'$. Общее решение:

$y = Cx + \frac{1}{C}, \quad C \neq 0.$

Для особого решения: $x + f'(p) = 0$, где $f'(p) = -1/p^2$, откуда $x = 1/p^2$, то есть $p = \pm 1/\sqrt{x}$. Подстановка $p = 1/\sqrt{x}$ (для $x > 0$):

$y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} = \sqrt{x} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}.$

Особое решение: $y = 2\sqrt{x}$ при $x > 0$ - ветвь параболы $y^2 = 4x$.

Рассчитать для своей задачи

Аналогично, при $p = -1/\sqrt{x}$: $y = -2\sqrt{x}$. Обе ветви параболы $y^2 = 4x$ являются особыми решениями.

Геометрически прямые $y = Cx + 1/C$ - это касательные к параболе $y^2 = 4x$, что типично для уравнений Клеро: общее решение всегда задаёт семейство касательных к огибающей.

Частые ошибки

• Путаница «особое vs. частное решение». Частное решение получается из общего при конкретном $C$; особое - нет. Особое решение следует проверять подстановкой в исходное уравнение отдельно.
• Пропуск случая $dp/dx = 0$. При дифференцировании уравнения Клеро студенты иногда переходят сразу к $x + f'(p) = 0$, игнорируя ветвь $p = C$, которая даёт общее решение.
• Неверное дифференцирование $f(p)$. Производная берётся по $x$ по цепному правилу: $\dfrac{d}{dx}f(p) = f'(p)\,\dfrac{dp}{dx}$. Ошибка - записать просто $f'(p)$ без множителя $dp/dx$.
• Потеря ограничений на область. В примере с $f(p) = 1/p$ особое решение $y = 2\sqrt{x}$ определено только при $x > 0$. Записывать $y = 2\sqrt{x}$ без оговорки области - ошибка.
• Отождествление огибающей с решением без проверки. Из $\partial F/\partial C = 0$ и $F = 0$ получается кандидат в огибающие; его нужно подставить в исходное уравнение и убедиться, что оно выполняется.

FAQ

Чем уравнение Клеро отличается от уравнения Лагранжа? В уравнении Клеро $y = xy' + f(y')$ коэффициент при $x$ равен $1$. В уравнении Лагранжа $y = x\,\varphi(y') + f(y')$ этот коэффициент - произвольная функция от $y'$. При $\varphi(y') \equiv y'$ уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро. Общее решение уравнения Лагранжа задаётся параметрически и, как правило, не является семейством прямых.

Всегда ли у уравнения Клеро существует особое решение? Нет. Особое решение существует тогда и только тогда, когда уравнение $x + f'(p) = 0$ задаёт нетривиальную связь между $x$ и $p$, а полученная кривая удовлетворяет исходному уравнению. Если $f'$ - константа (например, $f(p) = ap + b$, тогда $f'(p) = a$), условие $x + a = 0$ задаёт лишь вертикальную прямую, а не гладкую огибающую.

Как убедиться, что найденная кривая - именно огибающая, а не посторонняя кривая? Нужно проверить два условия: (1) кривая удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению; (2) в каждой точке кривой выполняется касание с одной из кривых семейства - производные совпадают. Иногда операция устранения $C$ даёт «лишние» кривые (например, граничные точки существования), которые первое условие не проходят - их исключают.

Коротко

Уравнение Клеро $y = xy' + f(y')$ решается дифференцированием по $x$: ветвь $p = C = \mathrm{const}$ даёт общее решение - семейство прямых $y = Cx + f(C)$; ветвь $x + f'(p) = 0$ параметрически задаёт особое решение - огибающую этого семейства. Особое решение удовлетворяет уравнению, но не получается из общего ни при каком фиксированном $C$. Геометрический смысл общего решения - пучок касательных к огибающей, которую и представляет особое решение.