Как привести матрицу к диагональному виду: пример 3x3

Дано: матрица $A$ со строками 2 1 1; 1 2 $-1$; 1 1 2. Найти: матрицу перехода $P$ и диагональную матрицу $D$, для которых $A = PDP^{-1}$.

Привести матрицу к диагональному виду значит найти базис из её собственных векторов и переписать то же преобразование в этом базисе. Характеристическое уравнение даёт три разных корня 1, 2 и 3, поэтому базис существует и ответ такой: $D$ с числами 1, 2, 3 на диагонали, а столбцы $P$ это векторы $(1;\,-1;\,0)$, $(1;\,-1;\,1)$ и $(1;\,0;\,1)$. Калькулятор сверху проделывает те же шаги для любой матрицы 3x3 и на графике сравнивает кратности корней: это сравнение и решает, соберётся базис или нет.

Решение по шагам

Дано. Матрица третьего порядка

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Найти: невырожденную $P$ и диагональную $D$ со связью $A = PDP^{-1}$.

Шаг 1. Находим собственные значения. Вычитаем $\lambda$ из главной диагонали и приравниваем определитель нулю. След равен 6, сумма трёх главных миноров второго порядка равна 11, определитель равен 6, значит характеристическое уравнение такое:

$$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 .$$

Корни $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$ различны, и этого уже достаточно для диагонализации. Техника поиска корней подробно разобрана в задаче про собственные значения матрицы, здесь она нужна как готовый инструмент.

Шаг 2. Находим собственные векторы. Для каждого корня решаем однородную систему $(A - \lambda E)x = 0$. При $\lambda_1 = 1$ матрица системы имеет строки 1 1 1; 1 1 $-1$; 1 1 1. Первая и третья строки совпадают, остаются условия $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ и $x_1 + x_2 - x_3 = 0$. Их разность даёт $x_3 = 0$, после чего $x_2 = -x_1$, и получается $v_1 = (1;\,-1;\,0)$.

При $\lambda_2 = 2$ строки матрицы $A - 2E$ такие: 0 1 1; 1 0 $-1$; 1 1 0. Третья строка равна сумме первых двух и потому лишняя. Из первой строки $x_2 = -x_3$, из второй $x_1 = x_3$; положив $x_3 = 1$, получаем $v_2 = (1;\,-1;\,1)$.

При $\lambda_3 = 3$ матрица $A - 3E$ имеет строки $-1$ 1 1; 1 $-1$ $-1$; 1 1 $-1$. Вторая строка противоположна первой, независимых уравнений снова два. Сложив первое и третье, получаем $x_2 = 0$ и $x_3 = x_1$, то есть $v_3 = (1;\,0;\,1)$.

Шаг 3. Собираем $P$ и $D$. Собственные векторы становятся столбцами $P$, а собственные значения идут по диагонали $D$ в том же порядке: первому столбцу отвечает первый диагональный элемент.

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Определитель $\det P = -1$ отличен от нуля, значит столбцы линейно независимы и образуют базис. Проверка обязательна: при нулевом определителе векторы в базис не годятся и диагонализация невозможна.

Шаг 4. Находим обратную матрицу. Для $P$ с определителем $-1$ обратная получается целочисленной:

$$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Убедиться в этом стоит одним умножением: $PP^{-1}$ обязано дать единичную матрицу. Поиск обратной через союзную матрицу разобран в задаче про матричное уравнение, а нужные для неё определители второго порядка - в разборе про миноры матрицы.

Шаг 5. Проверяем ответ. Считать произведение трёх матриц необязательно. Умножим $A = PDP^{-1}$ справа на $P$ и получим форму без обратной матрицы: $AP = PD$. Слева каждый столбец это $Av_i$, справа $\lambda_i v_i$, так что проверка сводится к трём умножениям матрицы на вектор:

$$AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} = PD .$$

Столбцы сошлись: $Av_1 = (1;\,-1;\,0)$ равно $1 \cdot v_1$, $Av_2 = (2;\,-2;\,2)$ равно $2 \cdot v_2$, $Av_3 = (3;\,0;\,3)$ равно $3 \cdot v_3$. Есть и косвенная проверка: сумма диагонали $D$ равна $1 + 2 + 3 = 6$, то есть следу исходной матрицы, а произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ совпадает с её определителем.

Ответ: $D$ содержит 1, 2, 3 на главной диагонали, столбцы $P$ равны $(1;\,-1;\,0)$, $(1;\,-1;\,1)$, $(1;\,0;\,1)$, и равенство $A = PDP^{-1}$ выполнено.

Формула и откуда она берётся

Равенство $A = PDP^{-1}$ удобнее читать в перевёрнутом виде: $D = P^{-1}AP$. Матрица $P$, составленная из столбцов-векторов, это матрица перехода к новому базису, а формула $P^{-1}AP$ описывает одно и то же линейное преобразование в новых координатах. Диагонализация не меняет преобразование, она меняет систему координат, в которой мы на него смотрим.

Почему в таком базисе матрица становится диагональной, видно из определения. Собственный вектор не поворачивается под действием $A$, он только растягивается: $Av_i = \lambda_i v_i$. Значит образ $i$-го базисного вектора раскладывается по базису с единственным ненулевым коэффициентом $\lambda_i$ на $i$-м месте. А столбцы матрицы линейного оператора это и есть координаты образов базисных векторов, поэтому вне диагонали остаются нули.

Отсюда же видно, почему ответ не единственный. Переставь местами два столбца $P$ вместе с двумя числами на диагонали $D$ - получится другая, но столь же верная пара. Умножь любой столбец на ненулевое число - равенство сохранится. Нельзя менять только соответствие между номером столбца и номером диагонального элемента.

Практическая выгода диагонального вида в том, что действия с матрицей становятся поэлементными: степень считается как $A^n = PD^nP^{-1}$, и этот приём разобран в задаче про возведение матрицы в степень.

Критерий: когда матрица приводится к диагональному виду

Матрица порядка $n$ диагонализуема тогда и только тогда, когда у неё есть $n$ линейно независимых собственных векторов. Сформулировать это через корни характеристического уравнения можно так: для каждого собственного значения геометрическая кратность должна совпасть с алгебраической.

Алгебраическая кратность - это кратность корня в характеристическом уравнении. Геометрическая - размерность собственного подпространства, то есть число свободных переменных в системе $(A - \lambda E)x = 0$. Она считается через ранг матрицы по формуле $n - r(A - \lambda E)$ и никогда не превышает алгебраическую. Если хотя бы у одного корня она меньше, независимых векторов не хватит.

Из критерия следует удобное достаточное условие: если все $n$ корней различны, матрица диагонализуема всегда. Каждому простому корню отвечает ровно один независимый вектор, а векторы разных собственных значений независимы автоматически. Это и есть случай из условия, поэтому выше мы не считали ранги.

Отдельно стоит случай комплексных корней. У матрицы поворота их пара, и над вещественными числами такая матрица к диагональному виду не приводится: вещественных собственных направлений у поворота нет. Над комплексным полем она диагонализуется, так что ответ зависит от того, где работает задача.

Кратный корень: два разных исхода

Кратный корень сам по себе ещё не приговор. Сравним две матрицы, у обеих есть двойной корень, но ведут они себя по-разному.

В первой матрице система для $\lambda = -1$ сводится к уравнению $x_1 + x_2 + x_3 = 0$: ранг равен единице, свободных переменных две. Подходят векторы $(1;\,-1;\,0)$ и $(1;\,0;\,-1)$, а третий столбец даёт корень $\lambda = 2$ с вектором $(1;\,1;\,1)$. Кратности совпали, базис собрался.

Во второй матрице для $\lambda = 2$ получается система со строками 1 2 $-3$; 1 2 $-3$; 1 $-1$ 0. Ранг равен двум, свободная переменная одна, и весь набор собственных векторов исчерпывается вектором $(1;\,1;\,1)$ с точностью до множителя. Двойному корню отвечает одно направление вместо двух, независимых векторов всего два на три измерения, и к диагональному виду матрица не приводится ни при каком выборе $P$. Максимум, чего можно добиться, - жорданова форма, где над диагональю появляется единица.

Проверять кратности удобно калькулятором сверху: на графике для каждого корня стоят два столбика, и пока они одинаковой высоты, базис собирается.

Симметричный случай и порядок столбцов

Для симметричной матрицы ответ известен заранее: она диагонализуема всегда, все её собственные значения вещественны, а собственные векторы разных корней ортогональны. Это содержание спектральной теоремы, разобранной в статье про самосопряжённые операторы. Выгода практическая: если нормировать столбцы на единичную длину, $P$ станет ортогональной и $P^{-1} = P^{\mathsf{T}}$, то есть обратную матрицу считать не нужно, достаточно транспонировать.

Возьмём симметричную матрицу со строками 2 1 1; 1 2 1; 1 1 2. Её корни равны 4 и 1, причём единица двойная с двумерным подпространством $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. Вектор $(1;\,1;\,1)$ отвечает четвёрке и ортогонален всей этой плоскости, а базис внутри плоскости ортогонализуют процессом Грама-Шмидта. На том же приёме построено приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием, только там результат читают как канонический вид формы.

Про порядок столбцов стоит сказать отдельно: он произволен, но обязан быть согласован. Если первым столбцом $P$ стоит вектор для $\lambda = 3$, то и в левом верхнем углу $D$ стоит тройка. Рассогласование видно сразу по проверке $AP = PD$: столбцы не совпадут, хотя сами векторы найдены верно.

Частые ошибки

• Ставят собственные векторы в строки $P$, а не в столбцы. Тогда вместо $A = PDP^{-1}$ получится равенство для транспонированной матрицы и проверка не сойдётся.
• Путают порядок сомножителей. Правильно $A = PDP^{-1}$ и $D = P^{-1}AP$; умножение матриц не коммутативно, $P^{-1}DP$ даст другой результат.
• Считают кратный корень один раз. Двойной корень даёт два столбца $P$ и два одинаковых числа на диагонали $D$, иначе размеры не сойдутся.
• Принимают кратный корень за приговор. Проверять надо не кратность, а ранг матрицы $A - \lambda E$.
• Рассогласовывают порядок столбцов и диагонали. Перестановка столбцов $P$ допустима только вместе с такой же перестановкой чисел в $D$.
• Не проверяют $\det P \neq 0$. При ошибке в вычислениях три вектора могут оказаться зависимыми, и тогда $P^{-1}$ не существует.

FAQ

Чем матрица $D$ отличается от жордановой формы? Диагональная форма - частный случай жордановой, где все клетки размера один на один. Если геометрическая кратность корня меньше алгебраической, появляются клетки большего размера с единицами над диагональю, и диагональной матрицы уже не получить.

Единственны ли $P$ и $D$? Нет. Набор диагональных элементов $D$ определён однозначно, но их порядок произволен, а столбцы $P$ заданы с точностью до множителя и, при кратных корнях, до выбора базиса в собственном подпространстве.

Можно ли обойтись без поиска $P^{-1}$? Для проверки ответа да: равенство $AP = PD$ эквивалентно исходному и обратной не требует. Но если нужно предъявить именно разложение $A = PDP^{-1}$, обратную придётся найти. Для симметричной матрицы с ортонормированными столбцами она равна транспонированной.

Что делать, если среди корней есть ноль? Ничего особенного: ноль на диагонали $D$ допустим и означает лишь, что исходная матрица вырождена. Собственные векторы для $\lambda = 0$ это ненулевые решения системы $Ax = 0$, то есть базис ядра. Нулевым не может быть сам вектор, а не собственное значение.

Коротко

1. Составить характеристическое уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$ и найти все его корни с учётом кратности.
2. Для каждого корня решить систему $(A - \lambda E)x = 0$ и выписать фундаментальную систему решений; число векторов равно $n - r(A - \lambda E)$.
3. Сравнить кратности: если у каждого корня число независимых векторов равно кратности корня, матрица диагонализуема, иначе нет.
4. Поставить векторы столбцами в $P$, соответствующие собственные значения - на диагональ $D$ в том же порядке, проверить $\det P \neq 0$.
5. Проверить результат равенством $AP = PD$. Для матрицы из условия $D$ содержит 1, 2, 3, а столбцы $P$ равны $(1;\,-1;\,0)$, $(1;\,-1;\,1)$, $(1;\,0;\,1)$.