Как найти след матрицы: пример 3x3 и проверка

Дано: матрица $A$ со строками 5, $-1$, 4; 3, 1, 3; $-3$, 3, 6. Найти: след матрицы, сумму её собственных значений и след квадрата $A^2$.

След - это сумма элементов главной диагонали, поэтому первое число получается в одну строку: $5 + 1 + 6 = 12$. Ровно столько же дают собственные значения 3, 4 и 5, а след квадрата матрицы равен 50. Ответ: $\operatorname{tr} A = 12$, $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 12$, $\operatorname{tr} A^2 = 50$.

Калькулятор сверху пересчитывает все три величины для любой матрицы 3x3 и рисует их одним графиком: три столбца набраны из разных слагаемых, а высота у них одинаковая.

Решение по шагам

Дано. Матрица третьего порядка

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 3 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}.$$

Найти: $\operatorname{tr} A$, сумму собственных значений и $\operatorname{tr} A^2$.

Шаг 1. Выписываем главную диагональ. Главная диагональ идёт из левого верхнего угла в правый нижний, на ней стоят элементы с одинаковыми индексами: $a_{11} = 5$, $a_{22} = 1$, $a_{33} = 6$. Больше ничего искать не нужно - определитель, ранг и обратная матрица тут ни при чём.

$$\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 5 + 1 + 6 = 12.$$

Остальные шесть чисел в ответ не входят вообще. Их можно менять как угодно - след останется равным 12, и это первое, что стоит запомнить про эту характеристику.

Шаг 2. Составляем характеристический многочлен. Чтобы проверить ответ через спектр, нужны собственные значения. Они находятся из уравнения $\det(A - \lambda E) = 0$; подробный разбор самой процедуры есть в задаче про характеристическое уравнение, здесь достаточно результата раскрытия определителя:

$$\det(A - \lambda E) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 47\lambda + 60.$$

Умножим на $-1$ и получим привычную запись $\lambda^3 - 12\lambda^2 + 47\lambda - 60 = 0$. Стоит присмотреться к коэффициенту при $\lambda^2$: он равен следу со знаком минус, и это не совпадение.

Шаг 3. Находим корни. Целые корни ищем среди делителей свободного члена 60. Подстановка $\lambda = 3$ даёт $27 - 108 + 141 - 60 = 0$, значит тройка подходит. Делим многочлен на $(\lambda - 3)$:

$$\lambda^3 - 12\lambda^2 + 47\lambda - 60 = (\lambda - 3)(\lambda^2 - 9\lambda + 20) = (\lambda - 3)(\lambda - 4)(\lambda - 5).$$

Собственные значения $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = 5$. Их сумма равна $3 + 4 + 5 = 12$ и совпадает со следом, а произведение $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ совпадает с определителем. Две независимые проверки сошлись. Как искать собственные векторы к этим числам, разобрано в соседней задаче.

Шаг 4. Считаем след квадрата. Перемножать матрицы целиком не нужно: для следа хватит трёх диагональных элементов произведения, каждый из которых равен скалярному произведению строки на одноимённый столбец.

$$\begin{aligned} (A^2)_{11} &= 5 \cdot 5 + (-1) \cdot 3 + 4 \cdot (-3) = 25 - 3 - 12 = 10, \\ (A^2)_{22} &= 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = -3 + 1 + 9 = 7, \\ (A^2)_{33} &= (-3) \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 6 \cdot 6 = -12 + 9 + 36 = 33. \end{aligned}$$ $$\operatorname{tr} A^2 = 10 + 7 + 33 = 50.$$

Контроль через спектр: $3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$. Сходится.

Ответ: $\operatorname{tr} A = 12$; собственные значения 3, 4, 5 в сумме дают те же 12; $\operatorname{tr} A^2 = 50$.

Формула и откуда она берётся

Для квадратной матрицы порядка $n$ след определяется как сумма диагональных элементов:

$$\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \ldots + a_{nn}.$$

Обозначение $\operatorname{tr}$ пришло из английского trace, в русских учебниках встречается и немецкое $\operatorname{Sp}$ от Spur - это одно и то же. Для прямоугольной матрицы след не определён: диагональ есть, но сумма по ней не обладает ни одним из полезных свойств.

Связь с собственными значениями видна прямо из характеристического многочлена. При раскрытии определителя $\det(A - \lambda E)$ старший член получается перемножением всей диагонали $(a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda)(a_{33} - \lambda)$, и только этот член даёт степень $\lambda^2$. Коэффициент при ней равен сумме диагональных элементов, то есть следу. С другой стороны, по теореме Виета сумма корней приведённого кубического уравнения тоже равна коэффициенту при $\lambda^2$ со знаком минус. Отсюда и равенство

$$\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3.$$

Рассуждение работает для любого порядка и для любых корней, включая комплексные и кратные. Комплексные корни приходят сопряжёнными парами, их мнимые части взаимно уничтожаются, поэтому сумма остаётся вещественной, как и сам след. Кратный корень входит в сумму столько раз, какова его кратность, - именно алгебраическая, а не геометрическая.

Свойства следа: линейность, перестановка и подобие

Возьмём вторую матрицу

$$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{tr} B = 2 + 3 + 5 = 10,$$

и проверим основные свойства на числах.

Линейность очевидна: сложение матриц поэлементное, диагональ складывается с диагональю. А вот равенство следов произведений выглядит неожиданно, потому что сами произведения разные. Здесь диагональ $AB$ состоит из чисел 10, $-3$ и 39, диагональ $BA$ - из 13, 5 и 28, но суммы совпадают: $10 - 3 + 39 = 46$ и $13 + 5 + 28 = 46$. Причина в том, что обе суммы раскрываются в одну и ту же двойную сумму $\sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$, просто слагаемые в ней сгруппированы по-разному.

Из перестановочности мгновенно следует инвариантность при подобии. Достаточно посмотреть на $P^{-1}AP$ как на произведение двух множителей $P^{-1}$ и $AP$ и переставить их:

$$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr}(A \cdot E) = \operatorname{tr} A.$$

Это и есть главный смысл следа: он не зависит от выбора базиса. Ползунок в калькуляторе поворачивает базис на угол $\varphi$ и показывает диагональ подобной матрицы. При $\varphi = 30^{\circ}$ на диагонали стоят уже не целые 5, 1 и 6, а примерно 4,87, 4,38 и 2,75 - но сумма по-прежнему равна 12. Тот же эффект в чистом виде виден при приведении матрицы к диагональному виду: на диагонали остаются собственные значения, и их сумма совпадает со следом исходной матрицы.

Чего у следа нет, так это мультипликативности. Равенство $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr} A \cdot \operatorname{tr} B$ неверно: здесь слева 46, а справа $12 \cdot 10 = 120$. Произведение сохраняет определитель, а не след.

Проверка ответа: степени матрицы и нулевой след

Кроме суммы собственных значений есть ещё одна быстрая проверка - по степеням. Возведение в степень не меняет собственных векторов и возводит в ту же степень собственные значения, поэтому

$$\operatorname{tr} A^{k} = \lambda_1^{k} + \lambda_2^{k} + \lambda_3^{k}.$$

Для нашей матрицы $\operatorname{tr} A^3 = 27 + 64 + 125 = 216$, и прямой подсчёт диагонали куба даёт то же значение. Эти равенства называют формулами Ньютона; они удобны, когда спектр известен, а саму матрицу считать долго. Обратный ход тоже работает: по трём числам $\operatorname{tr} A$, $\operatorname{tr} A^2$ и $\det A$ восстанавливается весь характеристический многочлен, а вместе с ним и собственные значения. Как устроено само возведение в степень, разобрано в задаче про степень матрицы.

Отдельно стоит разобрать случай нулевого следа. Нулевой след не означает ни нулевой матрицы, ни вырожденности. У матрицы со строками 0, 2, $-1$; 3, $-4$, 5; 1, 0, 4 диагональ даёт $0 - 4 + 4 = 0$, при этом матрица ненулевая и невырожденная. Нулевой след говорит лишь о том, что собственные значения в сумме гасят друг друга: например, у матрицы поворота на $90^{\circ}$ в плоскости след равен нулю, а спектр состоит из пары $\pm i$.

Частые ошибки

• Складывают побочную диагональ. В след входят элементы $a_{ii}$, то есть диагональ из левого верхнего угла в правый нижний. Побочная диагональ никакого инварианта не даёт.
• Считают след прямоугольной матрицы. Для матрицы 3x4 след не определён, хотя формально диагональные элементы выписать можно. Если в условии матрица неквадратная, задача поставлена некорректно.
• Путают след с определителем. След - это сумма собственных значений, определитель - их произведение. Соответственно $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, но $\operatorname{tr}(AB) \ne \operatorname{tr} A \cdot \operatorname{tr} B$, а для определителя всё наоборот.
• Теряют знак у отрицательного элемента. В матрицах с отрицательными числами на диагонали самая частая арифметическая ошибка - сложить модули. Здесь $5 + 1 + 6$ читается легко, но в примере с нулевым следом $0 - 4 + 4$ знак решает всё.
• Считают кратный корень один раз. Если характеристическое уравнение имеет корень кратности два, в сумму он входит дважды. Иначе проверка по следу не сойдётся, и появится ложное ощущение ошибки в спектре.
• Перемножают матрицы целиком ради следа произведения. Для $\operatorname{tr}(AB)$ нужны только три диагональных элемента, то есть три скалярных произведения вместо девяти. На матрицах 3x3 экономия заметна уже на контрольной.

FAQ

Что означает обозначение Sp вместо tr? Это тот же след, только в немецкой традиции: Spur переводится как «след». В отечественных учебниках встречаются оба варианта, иногда пишут просто $\operatorname{sp} A$. Никакой разницы в определении нет.

Можно ли найти след, не вычисляя собственные значения? Да, и это обычный порядок действий: след считается за одно сложение по диагонали, тогда как спектр требует раскрытия определителя и решения кубического уравнения. Обратная задача тоже встречается: если собственные значения даны в условии, след получается их сложением, а матрицу восстанавливать не нужно.

Зачем след нужен на практике? Это простейший инвариант линейного оператора, не зависящий от базиса. В механике след тензора напряжений даёт гидростатическое давление, в статистике след ковариационной матрицы равен суммарной дисперсии, в численных методах через след и определитель быстро оценивают обусловленность и устойчивость. В контрольных чаще всего он служит проверкой найденного спектра.

Что будет со следом, если поменять местами две строки матрицы? След изменится, и никакого простого правила тут нет: перестановка строк - это умножение слева на матрицу перестановки, а не преобразование подобия. Инвариантность гарантирована только для $P^{-1}AP$, то есть когда справа и слева стоят взаимно обратные множители.

Коротко

1. След квадратной матрицы - сумма элементов главной диагонали: $\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22} + \ldots + a_{nn}$. Внедиагональные элементы в ответ не входят.
2. Для матрицы со строками 5, $-1$, 4; 3, 1, 3; $-3$, 3, 6 получаем $\operatorname{tr} A = 5 + 1 + 6 = 12$.
3. Проверка через спектр: характеристическое уравнение $\lambda^3 - 12\lambda^2 + 47\lambda - 60 = 0$ даёт корни 3, 4 и 5, их сумма равна 12, а произведение 60 совпадает с определителем.
4. След квадрата равен 50 и сходится с суммой квадратов собственных значений $9 + 16 + 25$; для куба получается 216.
5. Свойства: линейность, $\operatorname{tr}(A^{T}) = \operatorname{tr} A$, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ и инвариантность при подобии $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr} A$. Мультипликативности нет.