Как составить характеристическое уравнение замкнутой САУ

Дано: разомкнутая система с передаточной функцией $W(p) = \dfrac{4}{p(0{,}5p + 1)(0{,}1p + 1)}$, замкнутая единичной отрицательной обратной связью. Найти: характеристическое уравнение замкнутой системы, его корни и вывод об устойчивости.

Составить характеристическое уравнение в ТАУ означает одно конкретное действие: взять знаменатель передаточной функции замкнутой системы и приравнять его к нулю. Числитель, вид входного сигнала и начальные условия на него не влияют. Ответ: $0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4 = 0$; корни $p_{1,2} = -0{,}58 \pm j2{,}65$ и $p_3 = -10{,}84$; все определители Гурвица положительны, система устойчива с трёхкратным запасом по коэффициенту передачи. Калькулятор сверху собирает полином, считает определители и корни для любых $K$, $T_1$, $T_2$ и показывает, по какую сторону мнимой оси они стоят.

Решение по шагам

Шаг 1. Передаточная функция замкнутой системы. При единичной отрицательной обратной связи контур сворачивается в одну дробь:

$$\Phi(p) = \frac{W(p)}{1 + W(p)}.$$

Подставляем сюда данное $W(p)$ и избавляемся от четырёхэтажной дроби, умножив числитель и знаменатель на $p(0{,}5p+1)(0{,}1p+1)$:

$$\Phi(p) = \frac{4}{p(0{,}5p + 1)(0{,}1p + 1) + 4}.$$

Шаг 2. Приравниваем знаменатель к нулю. Это и есть характеристическое уравнение, пока в непричёсанном виде:

$$p(0{,}5p + 1)(0{,}1p + 1) + 4 = 0.$$

Шаг 3. Приводим к стандартному виду. Сначала перемножаем скобки, потом умножаем на $p$:

$$\begin{aligned} (0{,}5p + 1)(0{,}1p + 1) &= 0{,}05p^2 + 0{,}6p + 1, \\ p(0{,}05p^2 + 0{,}6p + 1) + 4 &= 0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4. \end{aligned}$$

Уравнение готово: $0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4 = 0$. Выписываем коэффициенты по убыванию степеней: $a_0 = 0{,}05$, $a_1 = 0{,}6$, $a_2 = 1$, $a_3 = 4$. Порядок системы третий, значит и корней будет три.

Шаг 4. Необходимое условие. Все четыре коэффициента положительны - уже неплохо: при отрицательном или нулевом коэффициенте система была бы неустойчива без всяких вычислений. Но начиная с третьего порядка одной положительности мало, нужен полноценный критерий.

Шаг 5. Определители Гурвица. Матрица составляется по коэффициентам: по главной диагонали идут $a_1, a_2, a_3$, вверх по столбцу индексы убывают, вниз растут, всё, что вышло за диапазон $0 \ldots n$, обнуляется:

$$H = \begin{pmatrix} a_1 & a_0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}05 & 0 \\ 4 & 1 & 0{,}6 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$$

Считаем главные диагональные миноры:

$$\Delta_1 = a_1 = 0{,}6 > 0, \qquad \Delta_2 = a_1 a_2 - a_0 a_3 = 0{,}6 \cdot 1 - 0{,}05 \cdot 4 = 0{,}4 > 0, \qquad \Delta_3 = a_3 \Delta_2 = 1{,}6 > 0.$$

Все три положительны, поэтому вывод об устойчивости можно сделать уже здесь, не находя корней.

Шаг 6. Корни. Кубическое уравнение удобнее решать в приведённом виде: делим всё на $a_0 = 0{,}05$ и получаем $p^3 + 12p^2 + 20p + 80 = 0$. Вещественный корень ищем численно (подбором по знаку левой части: при $p = -10$ она равна $80$, при $p = -11$ равна $-19$), он лежит между $-11$ и $-10{,}8$ и равен $p_3 = -10{,}84$. Делим полином на $(p + 10{,}84)$:

$$p^3 + 12p^2 + 20p + 80 = (p + 10{,}84)(p^2 + 1{,}16p + 7{,}38).$$

Оставшийся квадратный трёхчлен даёт комплексно-сопряжённую пару:

$$p_{1,2} = \frac{-1{,}16 \pm \sqrt{1{,}35 - 29{,}52}}{2} = -0{,}58 \pm j2{,}65.$$

Шаг 7. Проверка по теореме Виета. Сумма корней обязана равняться $-a_1 / a_0 = -12$, произведение - $-a_3 / a_0 = -80$. Считаем по неокруглённым значениям $p_{1,2} = -0{,}582 \pm j2{,}654$ и $p_3 = -10{,}836$: сумма даёт $-0{,}582 - 0{,}582 - 10{,}836 = -12{,}00$, а произведение $(0{,}582^2 + 2{,}654^2) \cdot (-10{,}836) = 7{,}382 \cdot (-10{,}836) = -80{,}0$. Сходится, арифметика верна.

Ответ: характеристическое уравнение $0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4 = 0$, корни $p_{1,2} = -0{,}58 \pm j2{,}65$ и $p_3 = -10{,}84$. Все корни лежат в левой полуплоскости, все определители Гурвица положительны - замкнутая система устойчива. Степень устойчивости, то есть расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, равна $\eta = 0{,}58$ 1/с, отсюда время затухания около $3/\eta \approx 5$ с. Колебательность $\mu = 2{,}65 / 0{,}58 = 4{,}6$ великовата: доминирующая пара стоит близко к оси, и процесс несколько раз качнётся, прежде чем успокоится.

Формула и откуда она берётся

Пусть передаточная функция разомкнутого контура записана как отношение полиномов $W(p) = A(p) / B(p)$. Тогда у замкнутой системы $\Phi(p) = \dfrac{A}{B + A}$, и характеристическое уравнение - это $B(p) + A(p) = 0$. Ровно то же самое даёт запись $1 + W(p) = 0$: её левая часть равна $(B + A)/B$, а дробь равна нулю, когда числитель нулевой. Обе формулировки в учебниках встречаются наравне.

Физический смысл прячется в переходе от изображений к оригиналам. Знаменатель $\Phi(p)$ - это операторная запись однородного дифференциального уравнения свободного движения, где $p$ заменяет $d/dt$. Свободная составляющая складывается из слагаемых вида $C_i e^{p_i t}$, и каждое из них затухает только при $\mathrm{Re}\, p_i < 0$. Поэтому весь вопрос устойчивости сводится к расположению корней относительно мнимой оси, а не к их конкретным значениям. Комплексная пара даёт затухающие колебания с частотой, равной мнимой части, и огибающей $e^{\mathrm{Re}\, p \cdot t}$; техника разбора самих корней та же, что в характеристическом уравнении ОДУ.

Отсюда же понятно, почему числитель не участвует: он влияет на форму реакции и на статическую точность, но не на то, затухает свободное движение или расходится.

Критический коэффициент и граница устойчивости

В нашей задаче единственный «свободный» параметр - коэффициент передачи $K$, и он входит только в последний коэффициент $a_3$. Условие устойчивости для третьего порядка сворачивается в одно неравенство $a_1 a_2 > a_0 a_3$, то есть

$$T_1 + T_2 > T_1 T_2 K \quad \Rightarrow \quad K < K_{\text{кр}} = \frac{T_1 + T_2}{T_1 T_2} = \frac{0{,}6}{0{,}05} = 12.$$

Заданное $K = 4$ втрое меньше критического - это и есть запас по коэффициенту передачи. При $K = 12$ определитель $\Delta_2$ обращается в ноль, пара корней садится точно на мнимую ось, и в системе устанавливаются незатухающие колебания частотой $\omega = \sqrt{a_2 / a_0} = \sqrt{20} = 4{,}47$ рад/с, то есть с периодом 1,4 с. При $K = 20$ определитель уже отрицателен, корни $0{,}43 \pm j5{,}56$ уходят вправо, процесс расходится. Подвигай ползунок $K$ в калькуляторе сверху: видно, как пара корней ползёт к оси и пересекает её.

Сам критерий Гурвица со всеми условиями для произвольного порядка разобран отдельно в теореме Гурвица, а оценить устойчивость по частотным характеристикам того же контура можно через построение ЛАЧХ - там запас считается в децибелах и градусах, а не в корнях.

Если задана схема, матрица или система без интегратора

Когда в условии не готовая $W(p)$, а структурная схема, порядок действий другой только вначале: сперва схему нужно свернуть к одной передаточной функции, а дальше всё повторяется дословно - знаменатель к нулю, коэффициенты, Гурвиц.

Если объект описан в пространстве состояний матрицей $A$, характеристическое уравнение получается из определителя:

$$\det(pE - A) = 0,$$

где $E$ - единичная матрица. Его корни называются собственными значениями матрицы и означают ровно то же самое, что корни знаменателя.

Отдельно стоит случай без интегратора: если $W(p) = \dfrac{K}{(0{,}5p+1)(0{,}1p+1)}$, то уравнение становится квадратным, $0{,}05p^2 + 0{,}6p + 5 = 0$, с корнями $-6 \pm j8$. Для второго порядка положительности всех коэффициентов уже достаточно, поэтому такая статическая система устойчива при любом $K > 0$, сколько его ни поднимай. Переключатель структуры в калькуляторе показывает разницу наглядно.

Частые ошибки

• Приравнивают к нулю знаменатель разомкнутой системы. Тогда получится $p(0{,}5p+1)(0{,}1p+1) = 0$ с корнями 0, $-2$ и $-10$ - это полюсы разомкнутого контура, они к устойчивости замкнутой системы отношения не имеют.
• Забывают прибавить числитель. Слагаемое $+K$ в конце и есть след обратной связи; без него уравнение описывает совсем другую систему.
• Считают, что положительности коэффициентов достаточно. Для $n \le 2$ достаточно, для $n \ge 3$ это только необходимое условие: при $K = 20$ все коэффициенты положительны, а система неустойчива.
• Путают порядок индексов в матрице Гурвица и получают $\Delta_2 = a_1 a_2 - a_3$ вместо $a_1 a_2 - a_0 a_3$. Контроль простой: в произведении обе пары индексов дают одинаковую сумму, $1 + 2 = 0 + 3$.
• Теряют размерность и делят полином на $a_0$, но забывают, что после деления коэффициенты уже другие. Проверять Виета нужно по тем коэффициентам, с которыми работаешь.
• Округляют вещественный корень до целого. При $p_3 = -11$ вместо $-10{,}84$ проверка по произведению корней разъедется на несколько процентов, и это первый признак ошибки в делении полинома.

FAQ

Чем характеристическое уравнение отличается от характеристического полинома? Полином - это левая часть, выражение $0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4$. Уравнение - тот же полином, приравненный к нулю. В критерии Гурвица работают с коэффициентами полинома, поэтому формулировки часто смешивают, и ошибкой это не считается.

Можно ли обойтись без корней? Да, в этом и смысл алгебраических критериев. Гурвиц отвечает на вопрос «устойчива или нет» по коэффициентам, а корни нужны, когда требуется не факт устойчивости, а качество: степень устойчивости, колебательность, оценка времени переходного процесса.

Что означает нулевой коэффициент при какой-то степени? Пропуск степени сразу говорит о неустойчивости или о границе: необходимое условие требует, чтобы все коэффициенты были строго положительны. Например, у уравнения $p^3 + 20p + 80 = 0$ нет члена с $p^2$, и оно заведомо имеет корень в правой полуплоскости.

Обозначать оператор буквой $p$ или $s$? Это одно и то же. В отечественных курсах ТАУ традиционно пишут $p$, в англоязычной литературе и в пакетах моделирования - $s$. На вид уравнения и на выводы замена буквы не влияет.

Коротко

1. Свернуть схему к передаточной функции замкнутой системы $\Phi(p) = W / (1 + W)$; при единичной обратной связи знаменатель равен $B(p) + A(p)$.
2. Приравнять знаменатель к нулю и привести к стандартному виду по убыванию степеней: $0{,}05p^3 + 0{,}6p^2 + p + 4 = 0$.
3. Проверить необходимое условие: все коэффициенты положительны и ни один не пропущен.
4. Посчитать определители Гурвица: $\Delta_1 = 0{,}6$, $\Delta_2 = 0{,}4$, $\Delta_3 = 1{,}6$ - все больше нуля, система устойчива.
5. Найти корни $p_{1,2} = -0{,}58 \pm j2{,}65$, $p_3 = -10{,}84$, проверить их по Виета и оценить запас: $K_{\text{кр}} = 12$ против рабочего $K = 4$.