Как построить ЛАЧХ по передаточной функции: пример

Дано: разомкнутая система с передаточной функцией $W(s) = \dfrac{20}{s(0{,}1s + 1)(0{,}01s + 1)}$. Найти: асимптотическую ЛАЧХ, частоту среза и запасы устойчивости.

Всё построение держится на трёх числах: коэффициент $K = 20$ задаёт высоту низкочастотной асимптоты, постоянные времени $T_1 = 0{,}1$ с и $T_2 = 0{,}01$ с дают сопрягающие частоты, а множитель $s$ в знаменателе задаёт стартовый наклон. Ответ: наклоны участков $-20$, $-40$ и $-60$ дБ/дек с изломами на частотах 10 и 100 рад/с, частота среза $\omega_{\text{ср}} = 14{,}1$ рад/с, запас по фазе $27^\circ$, запас по амплитуде 14,8 дБ. Калькулятор сверху строит ту же пару характеристик для любых $K$, $T_1$, $T_2$ и числа интеграторов.

Решение по шагам

Дано. Передаточная функция разложена на типовые звенья, каждое из которых вносит в ЛАЧХ свой участок:

Найти: ломаную $L(\omega)$, частоту среза $\omega_{\text{ср}}$, запас по амплитуде $\Delta L$ и запас по фазе $\Delta\varphi$.

Шаг 1. Сопрягающие частоты. Каждое апериодическое звено ломает характеристику на частоте, обратной его постоянной времени:

$$\omega_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{0{,}1} = 10 \text{ рад/с}, \qquad \omega_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{0{,}01} = 100 \text{ рад/с}.$$

Отложи их на оси частот в логарифмическом масштабе: между 10 и 100 ровно одна декада.

Шаг 2. Низкочастотная асимптота. До первой сопрягающей частоты оба апериодических звена «спят», и остаётся только $K/s$. Её уравнение

$$L(\omega) = 20\lg K - 20\lg\omega = 26 - 20\lg\omega,$$

то есть прямая с наклоном $-20$ дБ/дек, проходящая через точку $\omega = 1$ рад/с, $L = 26$ дБ. Эта точка и наклон полностью задают первый участок: проводи прямую влево и вправо до частоты 10 рад/с.

Шаг 3. Изломы наклона. На каждой сопрягающей частоте наклон уменьшается ещё на 20 дБ/дек. Значения на границах участков считаются последовательно, дописыванием наклона за декаду:

Ломаная из трёх отрезков и есть асимптотическая ЛАЧХ.

Шаг 4. Частота среза. Это точка пересечения ЛАЧХ с осью нуля децибел. Ноль лежит на втором участке (при $\omega = 10$ характеристика ещё выше нуля, при $\omega = 100$ уже ниже), поэтому пишем уравнение именно этого отрезка:

$$L(\omega) = 26 - 20\lg\omega - 20\lg(0{,}1\,\omega) = 46 - 40\lg\omega = 0 \;\Rightarrow\; \lg\omega = 1{,}15,$$ $$\omega_{\text{ср}} = 10^{1{,}15} = 14{,}1 \text{ рад/с}.$$

Тот же результат даёт короткая формула для среза на участке с наклоном $-40$: $\omega_{\text{ср}} = \sqrt{K/T_1} = \sqrt{200} = 14{,}1$ рад/с.

Шаг 5. Запас по фазе. ЛФЧХ считается точно, без всяких асимптот: интегратор даёт постоянные $-90^\circ$, каждое апериодическое звено - арктангенс.

$$\varphi(\omega) = -90^\circ - \operatorname{arctg}(T_1\omega) - \operatorname{arctg}(T_2\omega).$$

Подставляем частоту среза: $\varphi(14{,}1) = -90^\circ - \operatorname{arctg}(1{,}41) - \operatorname{arctg}(0{,}141) = -90^\circ - 54{,}7^\circ - 8{,}0^\circ = -152{,}8^\circ$. Отсюда

$$\Delta\varphi = 180^\circ + \varphi(\omega_{\text{ср}}) = 180^\circ - 152{,}8^\circ = 27{,}2^\circ.$$

Шаг 6. Запас по амплитуде. Сначала нужна частота $\omega_\pi$, где фаза равна $-180^\circ$. Для двух апериодических звеньев с интегратором она находится в явном виде:

$$\omega_\pi = \frac{1}{\sqrt{T_1 T_2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}1 \cdot 0{,}01}} = 31{,}6 \text{ рад/с}.$$

Запас по амплитуде - это расстояние от ЛАЧХ до оси нуля на этой частоте, взятое со знаком плюс, если характеристика ниже нуля. По точной формуле $L(31{,}6) = -14{,}8$ дБ, значит $\Delta L = 14{,}8$ дБ (по ломаной вышло бы 14,0 дБ - расхождение в пределах погрешности асимптот).

Ответ: наклоны $-20$, $-40$, $-60$ дБ/дек, $\omega_{\text{ср}} = 14{,}1$ рад/с, $\Delta\varphi = 27^\circ$, $\Delta L = 14{,}8$ дБ. Запас по амплитуде с большим запасом перекрывает норму в 6 дБ, а вот запас по фазе чуть ниже рекомендуемых $30\ldots60^\circ$: замкнутая система устойчива, но переходный процесс будет колебательным.

Почему наклон меняется ровно на 20 дБ на декаду

ЛАЧХ - это модуль частотной передаточной функции, выраженный в децибелах: $L(\omega) = 20\lg|W(j\omega)|$. Логарифм превращает произведение звеньев в сумму их характеристик, поэтому характеристики звеньев не перемножаются, а просто складываются - ради этого ЛАЧХ и придумали.

Возьми апериодическое звено $1/(Ts + 1)$. На низких частотах, где $T\omega \ll 1$, знаменатель почти равен единице и $L \approx 0$. На высоких, где $T\omega \gg 1$, модуль стремится к $1/(T\omega)$, и

$$L(\omega) \approx -20\lg(T\omega).$$

Увеличение частоты в десять раз (на декаду) добавляет к логарифму единицу, то есть отнимает от $L$ ровно 20 дБ. Точка $T\omega = 1$, где сходятся оба приближения, и называется сопрягающей частотой. Интегратор $1/s$ работает так же, но без всякого перелома: его наклон $-20$ дБ/дек тянется по всей оси. Форсирующее звено $(Ts + 1)$ в числителе даёт зеркальный излом на $+20$ дБ/дек. Сами передаточные функции при этом получаются из дифференциальных уравнений через преобразование Лапласа.

Асимптота и точная кривая: где ломаная врёт

Ломаная всегда лежит выше настоящей характеристики, и максимум расхождения приходится на сопрягающую частоту. Для нашего первого излома: асимптота даёт 6,0 дБ, точный расчёт - 3,0 дБ, разница ровно 3 дБ. Это стандартная поправка: у одиночного апериодического звена при $\omega = 1/T$ модуль равен $1/\sqrt{2}$, а $20\lg(1/\sqrt{2}) = -3$ дБ.

На частоте среза это заметно: точная ЛАЧХ пересекает ноль не на 14,1, а на 12,4 рад/с, и запас по фазе там уже $31{,}7^\circ$. То есть асимптотическая оценка запаса оказалась пессимистичной почти на пять градусов. Для курсовой этого достаточно: асимптоту строят как быструю оценку, а уточняют только в спорных случаях, когда запас балансирует у нуля. Переключение между ломаной и точной кривой видно в калькуляторе сверху.

Как поднять запас по фазе

Коэффициент $K$ входит в ЛАЧХ слагаемым $20\lg K$, то есть двигает всю характеристику вверх-вниз, не меняя её формы. Опустишь ЛАЧХ - частота среза сдвинется влево, туда, где фаза ещё не успела отстать, и запас вырастет. Проверим: при $K = 10$ срез уходит на 10 рад/с, фаза там равна $-140{,}7^\circ$, запас по фазе становится $39^\circ$, а запас по амплитуде растёт до 20,8 дБ. Цена вопроса - вдвое меньший коэффициент усиления и, значит, вдвое большая статическая ошибка по возмущению.

Второй путь - не трогать усиление, а добавить форсирующее звено, которое поднимет фазу в районе среза. Именно этим занимается дифференциальная составляющая при настройке ПИД-регулятора: она добавляет к фазе положительный вклад ровно там, где его не хватает.

Передаточная функция разомкнутой системы редко дана готовой: обычно её получают свёрткой структурной схемы - последовательные звенья перемножают, обратную связь сворачивают по своей формуле.

Частые ошибки

• Сопрягающую частоту считают равной постоянной времени, а не обратной ей: получают 0,1 рад/с вместо 10 и рисуют характеристику зеркально.
• Забывают про наклон интегратора и начинают низкочастотную асимптоту горизонталью на уровне 26 дБ. Стартовый наклон равен $-20\nu$ дБ/дек, где $\nu$ - число интеграторов, и при $\nu = 0$ он действительно нулевой, но здесь $\nu = 1$.
• Берут для точки $\omega = 1$ значение $K$, а не $20\lg K$: на графике вместо 26 дБ появляется отметка 20.
• Ищут частоту среза по уравнению не того участка. Сначала проверь по значениям на границах, между какими сопрягающими частотами ЛАЧХ пересекает ноль, и только потом пиши уравнение отрезка.
• Считают запас по фазе как $|{-}180^\circ - \varphi|$ вместо $180^\circ + \varphi$: у отрицательной фазы это даёт другое число.
• Определяют запас по амплитуде на частоте среза, а не на $\omega_\pi$. Это две разные частоты: на срезе ЛАЧХ равна нулю по определению.

FAQ

Чем ЛАЧХ отличается от ЛФЧХ и зачем их строят вместе? ЛАЧХ показывает, во сколько раз система меняет амплитуду сигнала на каждой частоте, ЛФЧХ - на сколько градусов сдвигает его по фазе. Порознь они бесполезны для оценки устойчивости: критерий Найквиста в логарифмической форме требует сравнить обе характеристики в двух особых точках - на частоте среза и на частоте, где фаза равна $-180^\circ$.

Какие запасы считаются нормальными? В курсах ТАУ ориентируются на $\Delta\varphi = 30\ldots60^\circ$ и $\Delta L \ge 6$ дБ, для ответственных систем берут 10 дБ и больше. Слишком большие запасы тоже плохи: система становится вялой, время регулирования растёт.

Нужно ли уточнять асимптотическую ЛАЧХ по всем изломам? Обычно нет. Поправку $-3$ дБ имеет смысл ставить только в окрестности сопрягающих частот и только если через эту зону проходит ось нуля. Если срез далеко от изломов, ломаная и точная кривая совпадают с точностью до долей децибела.

Что делать, если в передаточной функции есть колебательное звено? У звена второго порядка излом тоже один, на частоте $1/T$, но наклон меняется сразу на $-40$ дБ/дек, а вблизи сопрягающей частоты возможен резонансный горб высотой до $-20\lg(2\xi)$ дБ. При коэффициенте демпфирования $\xi < 0{,}4$ этот горб обязательно нужно дорисовывать поверх ломаной.

Коротко

1. Разложи $W(s)$ на типовые звенья и найди сопрягающие частоты $\omega_i = 1/T_i$: здесь 10 и 100 рад/с.
2. Проведи низкочастотную асимптоту с наклоном $-20\nu$ дБ/дек через точку $\omega = 1$, $L = 20\lg K = 26$ дБ.
3. На каждой сопрягающей частоте уменьшай наклон на 20 дБ/дек: получилась ломаная $-20$, $-40$, $-60$ дБ/дек.
4. Найди частоту среза из уравнения того участка, где ломаная пересекает ноль: $\omega_{\text{ср}} = 14{,}1$ рад/с.
5. Посчитай фазу на срезе и получи $\Delta\varphi = 27^\circ$, затем найди $\omega_\pi = 31{,}6$ рад/с и запас по амплитуде $\Delta L = 14{,}8$ дБ.