Уровень звукового давления в децибелах: формула

Уровень звукового давления в децибелах нужен потому, что ухо человека работает в гигантском диапазоне: от едва слышимого шороха до боли разница давлений составляет миллионы раз. Линейной шкалой в паскалях такое описывать неудобно, поэтому акустика переходит к логарифмической шкале и измеряет не само давление, а его уровень относительно опорного значения. Ниже разберём, что такое уровень звукового давления, как устроена формула с десятичным логарифмом, откуда берётся опорное давление 20 микропаскаль, почему при удалении от источника уровень падает на 6 децибел при каждом удвоении расстояния и как складывать несколько источников. Чтобы сразу почувствовать связь давления и децибел, покрути калькулятор ниже: он переводит давление в уровень, показывает затухание с расстоянием и сумму источников, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое уровень звукового давления

Звуковая волна в воздухе - это колебания давления около атмосферного. Когда говорят про «звуковое давление», имеют в виду действующее (среднеквадратичное) значение этих колебаний $p$, измеряемое в паскалях. Само по себе оно мало: при обычном разговоре действующее звуковое давление около 0,02 Па, тогда как атмосферное давление - примерно 100 000 Па. Поэтому абсолютные значения почти всегда заменяют относительной величиной - уровнем звукового давления (по-английски SPL, sound pressure level).

Уровень - это не давление, а его логарифмическое сравнение с опорным значением. Измеряется он в децибелах (дБ) - безразмерных единицах логарифмической шкалы. Один бел соответствует десятикратному изменению по интенсивности, децибел - это его десятая часть. Именно логарифм «сжимает» миллионнократный диапазон давлений в удобные числа от 0 до примерно 140.

Рассчитать для своей задачи

Формула уровня звукового давления

Уровень звукового давления определяется через десятичный логарифм отношения давлений:

$L_p = 20 \lg \frac{p}{p_0},$

где $p$ - действующее звуковое давление измеряемого звука, а $p_0$ - опорное звуковое давление. Множитель 20 появляется не случайно. Изначально уровень вводят по интенсивности (мощности на единицу площади):

$L = 10 \lg \frac{I}{I_0}.$

Интенсивность пропорциональна квадрату давления, $I \sim p^2$, поэтому

$L_p = 10 \lg \frac{p^2}{p_0^2} = 20 \lg \frac{p}{p_0}.$

Коэффициент 10 при логарифме отношения давлений превратился в 20 из-за квадрата под логарифмом - это и есть главная причина, по которой в формуле SPL стоит именно 20, а не 10. Запомнить просто: для энергетических величин (интенсивность, мощность) множитель 10, для амплитудных (давление, напряжение) - 20.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы видно ключевое свойство: каждое удесятерение давления ($p/p_0$ растёт в 10 раз) добавляет к уровню ровно 20 дБ, а удвоение давления - около 6 дБ ($20 \lg 2 \approx 6$). Обратный переход от уровня к давлению тоже полезен:

$p = p_0 \cdot 10^{L_p / 20}.$

Например, уровню 60 дБ соответствует давление $p = 2 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{3} = 0{,}02$ Па, а уровню 94 дБ - давление ровно 1 Па (этим уровнем калибруют шумомеры).

Опорное давление 20 микропаскаль

Опорное звуковое давление в воздухе принято равным

$p_0 = 20 \text{ мкПа} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Па}.$

Это не произвольное число: оно близко к порогу слышимости среднего человека на частоте 1 кГц. Поэтому уровень $L_p = 0$ дБ соответствует самому тихому различимому звуку, а не полной тишине: при $p = p_0$ логарифм отношения равен нулю. Отрицательные уровни существуют (звук тише порога), просто человек их не слышит.

Важно не путать это значение с опорным давлением в воде: в подводной акустике берут $p_0 = 1$ мкПа, поэтому одно и то же давление даёт там другой уровень в децибелах. Когда в задаче написано «уровень звукового давления в децибелах» без уточнений, почти всегда имеется в виду воздух и опорное значение 20 мкПа.

Несколько опорных точек, которые стоит держать в голове: шёпот - около 30 дБ, обычный разговор - 60 дБ, оживлённая улица - 80 дБ, отбойный молоток рядом - 100 дБ, болевой порог - около 120 дБ. Гигиеническая норма постоянного шума на рабочем месте за смену - 80 дБ, и калькулятор выше подсвечивает, в какую из этих зон попадает заданное давление.

Затухание уровня с расстоянием

Для точечного источника в свободном поле (без отражений) звуковое давление убывает обратно пропорционально расстоянию, $p \sim 1/r$. Подставив это в формулу уровня, получаем закон затухания:

$L_2 = L_1 - 20 \lg \frac{r_2}{r_1}.$

Отсюда главное практическое правило: при каждом удвоении расстояния уровень падает на

$20 \lg 2 \approx 6 \text{ дБ}.$

Если у источника на 1 м уровень 100 дБ, то на 2 м будет 94 дБ, на 4 м - 88 дБ, на 8 м - 82 дБ. Калькулятор показывает эту кривую на втором графике: уровень спадает быстро вблизи источника и всё медленнее вдали, потому что по логарифмической оси одинаковые шаги соответствуют не метрам, а кратному увеличению расстояния.

Важная оговорка: правило -6 дБ работает только для точечного источника и свободного поля. У протяжённой линии (поток машин на шоссе) давление падает как $1/\sqrt{r}$, и удвоение расстояния даёт лишь -3 дБ. В закрытом помещении отражения вообще не дают уровню падать ниже уровня реверберационного поля.

Сложение нескольких источников

Несколько независимых (некогерентных) источников складываются не по давлению, а по энергии: суммируются их интенсивности. Для $N$ одинаковых источников с уровнем $L_1$ каждый суммарный уровень равен

$L_{\text{сум}} = L_1 + 10 \lg N.$

Отсюда второе важное правило: удвоение числа одинаковых источников добавляет

$10 \lg 2 \approx 3 \text{ дБ}.$

Два одинаковых станка по 85 дБ дают не 170 и не 90, а 88 дБ; четыре - 91 дБ; восемь - 94 дБ. Контринтуитивно, но верно: чтобы стало вдвое «энергетически громче», источников нужно вдвое больше, а это всего +3 дБ к уровню. Складывать децибелы напрямую (85 + 85) - грубая ошибка, потому что шкала логарифмическая.

Если источники разные по уровню, складывают их интенсивности: переводят каждый уровень в относительную интенсивность $10^{L_i/10}$, суммируют и берут $10\lg$ от суммы. При большой разнице уровней слабый источник почти не влияет: добавление звука на 10 дБ тише поднимает суммарный уровень меньше чем на 0,5 дБ.

Частые ошибки

• Множитель 10 вместо 20. Для давления в формуле стоит коэффициент 20, потому что под логарифмом отношение квадратов. Множитель 10 - только для интенсивности или мощности.
• Складывают децибелы как обычные числа. Два источника по 80 дБ дают 83 дБ, а не 160 и не 80. Децибелы суммируются по энергии через формулу с $10 \lg N$.
• Путают опорное давление. В воздухе $p_0 = 20$ мкПа, в воде - 1 мкПа. С неверным опорным значением уровень получится совсем другим.
• Берут мгновенное давление вместо действующего. В формуле уровня используют среднеквадратичное (действующее) звуковое давление, а не амплитуду колебаний. Для синуса они отличаются в $\sqrt{2}$ раз.
• Применяют правило -6 дБ где попало. Оно верно лишь для точечного источника в свободном поле. Для линии источников это -3 дБ, в помещении затухание ещё медленнее.

FAQ

Почему в формуле SPL множитель 20, а не 10? Потому что уровень изначально определён по интенсивности с множителем 10, а интенсивность пропорциональна квадрату давления. Квадрат под логарифмом по свойству $\lg a^2 = 2 \lg a$ выносится множителем 2, и $10 \cdot 2 = 20$. Для давления (амплитудной величины) всегда 20, для интенсивности и мощности (энергетических) - 10.

Чему равен 0 дБ - это полная тишина? Нет. Уровень 0 дБ соответствует опорному давлению 20 мкПа, то есть порогу слышимости человека на 1 кГц, а не отсутствию звука. Звуки тише порога имеют отрицательный уровень в децибелах, просто ухо их не различает.

Как перевести децибелы обратно в паскали? По обратной формуле $p = p_0 \cdot 10^{L/20}$, где $p_0 = 2 \cdot 10^{-5}$ Па. Например, 94 дБ дают давление ровно 1 Па, а 60 дБ - 0,02 Па. Это удобно для проверки: подставьте полученное давление обратно в $L = 20 \lg(p/p_0)$ и сверьте уровень.

Коротко

Уровень звукового давления - это логарифмическое сравнение действующего давления с опорным: $L_p = 20 \lg(p/p_0)$, где $p_0 = 20$ мкПа в воздухе. Множитель 20 берётся из квадрата давления в интенсивности. Удесятерение давления добавляет 20 дБ, удвоение - 6 дБ. С расстоянием для точечного источника уровень падает на 6 дБ при каждом удвоении ($L_2 = L_1 - 20 \lg(r_2/r_1)$), а $N$ одинаковых источников дают $L_1 + 10 \lg N$, то есть +3 дБ на каждое удвоение их числа.