Эксперимент Хафеле-Китинга: часы на самолёте и СТО с ОТО

В октябре 1971 года физик Джозеф Хафеле и астроном Ричард Китинг сделали то, что до них казалось мысленным экспериментом: взяли четверо атомных цезиевых часов, купили на них билеты на рейсовые самолёты и дважды облетели Землю - на восток и на запад. Вернувшись, они сравнили показания «летавших» часов с эталоном, оставшимся в Военно-морской обсерватории США. Часы разошлись на десятки наносекунд - и разошлись ровно так, как заранее предсказали специальная и общая теории относительности. Это был первый прямой эксперимент, где замедление времени измерили макроскопическими часами, а не косвенно. Ниже - как устроен расчёт и почему направление полёта меняет знак эффекта.

Чтобы сразу прикинуть, на сколько разойдутся часы на вашем рейсе, задайте высоту, скорость и длительность полёта в калькуляторе.

Идея эксперимента

К началу 1970-х замедление времени было надёжно установлено для элементарных частиц: быстрые мюоны живут дольше, чем покоящиеся, ровно во столько раз, во сколько предсказывает специальная теория относительности. Подъём на высоту добавляет ещё и гравитационное замедление времени, о котором ниже. Но прямого опыта с настоящими часами не было - слишком мал эффект.

Появление цезиевых атомных часов изменило ситуацию. Их относительная стабильность достигала $10^{-13}$, то есть за сутки они «врут» не больше чем на доли наносекунды. Этого хватало, чтобы зарегистрировать релятивистский эффект от обычного авиаперелёта. Хафеле прикинул бюджет эксперимента и получил, что коммерческого рейса вокруг Земли достаточно - нужно лишь аккуратно учесть два конкурирующих вклада.

Два эффекта, тянущие в разные стороны

Показания летающих часов смещают сразу два релятивистских эффекта, и они противоположны по знаку.

Кинематический эффект (СТО). Движущиеся часы идут медленнее. Чем выше скорость относительно невращающейся (инерциальной) системы отсчёта, связанной с центром Земли, тем сильнее замедление. Его величина за время полёта:

$$\Delta t_{\text{кин}} = -\frac{v^2}{2c^2}\, t$$

Знак минус означает отставание. Здесь $v$ - скорость часов в инерциальной системе, $c$ - скорость света, $t$ - длительность полёта.

Гравитационный эффект (ОТО). Часы в более слабом гравитационном поле идут быстрее. На высоте $h$ потенциал выше, поэтому летящие часы убегают вперёд относительно наземных:

$$\Delta t_{\text{грав}} = +\frac{g\,h}{c^2}\, t$$

где $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота полёта. Этот вклад всегда положителен: высота добавляет времени.

Рассчитать для своей задачи

Почему важно направление полёта

Самый красивый результат опыта - в том, что восточный и западный рейсы дали разный знак. Причина - вращение Земли.

Поверхность Земли на экваторе движется на восток со скоростью около 460 м/с. Скорость, входящая в кинематический член, считается относительно невращающейся системы, привязанной к оси Земли, а не относительно наземного наблюдателя. Поэтому:

• При полёте на восток скорость самолёта складывается со скоростью вращения поверхности - суммарная скорость в инерциальной системе велика, кинематическое замедление сильное. Восточные часы заметно отстают.
• При полёте на запад самолёт летит навстречу вращению - его скорость в инерциальной системе меньше, чем даже у точки на земле под ним. Кинематический эффект слабый, гравитационный выигрыш доминирует, и западные часы уходят вперёд.

Это прямое следствие того, что наземный наблюдатель сам движется, а значит, сам слегка «замедлен» - и служит не идеальной, а вращающейся точкой отсчёта.

Что предсказали и что измерили

Хафеле и Китинг опубликовали два числа для каждого направления: теоретический прогноз и измеренный результат (относительно наземного эталона, в наносекундах).

$$\begin{aligned} \text{Восток:}\quad &\text{прогноз } -40 \pm 23,\quad \text{измерено } -59 \pm 10 \\ \text{Запад:}\quad &\text{прогноз } +275 \pm 21,\quad \text{измерено } +273 \pm 7 \end{aligned}$$

Знак отрицательный - часы отстали, положительный - ушли вперёд. Восточные часы потеряли около 59 наносекунд, западные набрали 273. В пределах погрешностей прогноз и опыт совпали, причём для западного направления - практически идеально. Это подтвердило обе теории сразу: и кинематическое, и гравитационное замедление времени реальны и складываются.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся численная оценка

Прикинем порядок величины на пальцах для типичного рейса. Возьмём высоту $h \approx 10$ км и крейсерскую скорость $v \approx 250$ м/с при длительности кругосветки $t \approx 1{,}5 \cdot 10^5$ с (около 41 часа).

Гравитационный член:

$$\Delta t_{\text{грав}} = \frac{g\,h}{c^2}\, t \approx \frac{9{,}8 \cdot 10^4}{9 \cdot 10^{16}} \cdot 1{,}5 \cdot 10^5 \approx 160\ \text{нс}$$

Кинематический член (без поправки на вращение Земли, грубо):

$$\Delta t_{\text{кин}} = -\frac{v^2}{2c^2}\, t \approx -\frac{6{,}25 \cdot 10^4}{1{,}8 \cdot 10^{17}} \cdot 1{,}5 \cdot 10^5 \approx -52\ \text{нс}$$

Сумма даёт порядок десятков-сотен наносекунд - именно тот масштаб, что измерили. Точный расчёт в статье 1971 года добавляет поправку на скорость вращения Земли (которая и разводит восток с западом) и усреднение по реальному профилю полёта, но физика та же. Связь интервалов времени тут вытекает из преобразований группы Лоренца в пределе малых скоростей.

Значение для GPS и современной физики

Эксперимент Хафеле-Китинга - не музейный курьёз. Тот же расчёт лежит в основе работы спутниковой навигации. Часы на спутниках GPS летят на высоте 20 000 км со скоростью около 3,9 км/с. Гравитационный эффект там даёт выигрыш $+45$ мкс/сутки, кинематический - потерю $-7$ мкс/сутки, суммарно бортовые часы убегают на $+38$ микросекунд в сутки. Без этой поправки координаты «уплывали» бы на километры за несколько часов.

Опыт повторяли многократно с растущей точностью: эксперимент Алле в 1990-х, измерения NIST в 2010 году на оптических часах, где разницу хода фиксируют уже при подъёме на 33 сантиметра. Каждый раз результат согласуется с теорией относительности.

Частые ошибки

• «Замедляется только движущийся, наземные часы - абсолютный эталон». Нет. Земля вращается, поэтому наземный наблюдатель сам движется в инерциальной системе. Именно поэтому восток и запад дают разный результат.
• «Гравитационный и кинематический эффекты - это одно и то же». Нет, это разные эффекты из разных теорий (ОТО и СТО) и с разными знаками. Высота ускоряет часы, скорость замедляет.
• «Эффект слишком мал, чтобы его измерить часами». Был мал до атомных часов. Цезиевый стандарт с относительной стабильностью $10^{-13}$ как раз и сделал опыт возможным.
• «Парадокс близнецов опровергает результат». Нет парадокса: летящие часы движутся по замкнутому пути с ускорениями (взлёт, повороты), их ситуация физически отлична от наземных. Асимметрия реальна.
• «Все четверо часов показали одно и то же». Часы слегка дрейфовали по-разному; брали усреднённое показание ансамбля, что и заложено в погрешности $\pm 10$ и $\pm 7$ нс.

FAQ

Можно ли почувствовать этот эффект, летая на самолёте? Физически он реален, но ничтожен для человека: десятки наносекунд за кругосветный перелёт. Стареете вы относительно оставшихся на земле буквально на миллиардные доли секунды - заметить это без атомных часов невозможно.

Почему западные часы ушли вперёд, а восточные отстали? Из-за вращения Земли. На западном рейсе самолёт летит навстречу вращению, его скорость в инерциальной системе мала, и побеждает гравитационный выигрыш высоты. На восточном скорости складываются, кинематическое замедление сильнее и тянет часы назад.

Чем эксперимент Хафеле-Китинга отличается от опыта Паунда-Ребки? Паунд и Ребка в 1959 году измерили только гравитационное смещение частоты на башне высотой 22,5 метра. Хафеле и Китинг впервые объединили в одном опыте оба эффекта - гравитационный и кинематический - и проверили их сумму настоящими перемещающимися часами.

Коротко

Эксперимент Хафеле-Китинга (1971) - первая прямая проверка замедления времени макроскопическими часами. Четверо цезиевых атомных часов облетели Землю на самолётах на восток и на запад. На их ход влияют два противоположных эффекта: кинематический (СТО, скорость замедляет, $-\tfrac{v^2}{2c^2}t$) и гравитационный (ОТО, высота ускоряет, $+\tfrac{gh}{c^2}t$). Из-за вращения Земли восточные часы отстали примерно на 59 нс, западные ушли вперёд на 273 нс - в полном согласии с прогнозом теории относительности. Тот же расчёт обеспечивает точность системы GPS, где бортовые часы корректируют на +38 мкс/сутки.