Группа Лоренца: представления и их классификация

Когда физик говорит «электрон описывается спинором, а фотон - вектором», за этими словами стоит одна и та же математическая машина: теория представлений группы Лоренца. Сама группа задаёт, как преобразуются координаты при переходе между инерциальными системами отсчёта, а её представления отвечают на вопрос, как при том же преобразовании ведут себя величины - скаляр, поле скоростей, спинорная волновая функция. Разобравшись в классификации представлений, вы перестанете заучивать «у этого поля столько-то компонент» и начнёте выводить это из спинов. Ниже можно сразу собрать запрос по своей задаче и получить разбор, а дальше - сама теория.

Что такое группа Лоренца

Группа Лоренца $O(1,3)$ - это множество линейных преобразований четырёхмерного пространства-времени, сохраняющих интервал $s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2$. Формально это матрицы $\Lambda$, для которых выполнено условие сохранения метрики:

$$\Lambda^{T} \eta\, \Lambda = \eta, \qquad \eta = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1).$$

В физике почти всегда работают с её связной компонентой - собственной ортохронной группой Лоренца $SO^{+}(1,3)$, которая включает обычные пространственные вращения и бусты (преобразования к движущейся системе отсчёта), но не включает отражение времени и чётность. Именно её непрерывная структура и порождает богатый набор представлений.

Группа шестипараметрическая: три параметра задают вращения вокруг осей, ещё три - бусты вдоль осей. Соответственно у её алгебры Ли шесть генераторов - три генератора вращений $J_i$ и три генератора бустов $K_i$.

Рассчитать для своей задачи

Представление группы: основная идея

Представление группы - это сопоставление каждому элементу группы линейного оператора (матрицы) так, чтобы произведению элементов отвечало произведение операторов: $\rho(\Lambda_1 \Lambda_2) = \rho(\Lambda_1)\rho(\Lambda_2)$. Грубо говоря, представление - это способ «дать группе подействовать» на некоторое векторное пространство состояний. Сама связь симметрии с законами сохранения - это уже теорема Нётер, а здесь нас интересует более тонкий вопрос: на каких объектах группа Лоренца вообще может действовать.

Для физики это центральный инструмент. Любая величина, имеющая смысл в релятивистской теории, должна преобразовываться по какому-то представлению группы Лоренца - иначе её закон преобразования не был бы согласован между системами отсчёта. Поэтому вопрос «какие бывают поля» сводится к вопросу «какие бывают представления».

Нас интересуют прежде всего конечномерные представления (они описывают поля с конечным числом компонент) и неприводимые - те, что нельзя разложить на меньшие инвариантные подпространства. Любое представление собирается из неприводимых, поэтому достаточно классифицировать кирпичики.

Ключевой приём: расцепление алгебры

Прямая работа с алгеброй Лоренца неудобна, потому что бусты $K_i$ не образуют замкнутой подалгебры (коммутатор двух бустов даёт вращение). Стандартный трюк - перейти к комплексным комбинациям генераторов:

$$A_i = \tfrac{1}{2}\,(J_i + i K_i), \qquad B_i = \tfrac{1}{2}\,(J_i - i K_i).$$

После этой замены коммутационные соотношения распадаются на два независимых блока:

$$\begin{aligned} [A_i, A_j] &= i\,\varepsilon_{ijk} A_k, \\ [B_i, B_j] &= i\,\varepsilon_{ijk} B_k, \\ [A_i, B_j] &= 0. \end{aligned}$$

Каждый блок - это в точности алгебра углового момента $\mathfrak{su}(2)$, та самая, что классифицирует спин в квантовой механике. Значит, комплексифицированная алгебра Лоренца разваливается на две независимые копии $\mathfrak{su}(2)$, а её представления нумеруются парой полуцелых чисел.

Рассчитать для своей задачи

Классификация: пары спинов (j1, j2)

Поскольку каждая копия $\mathfrak{su}(2)$ даёт представления, помеченные неотрицательным полуцелым числом (спином) $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$, неприводимое представление группы Лоренца помечается парой таких чисел:

$$\left(j_1, j_2\right), \qquad j_1, j_2 \in \left\{0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots\right\}.$$

Размерность такого представления равна $(2j_1 + 1)(2j_2 + 1)$. Обычный (нерелятивистский) спин системы, который видит наблюдатель, складывается из двух меток по правилу сложения угловых моментов: он пробегает значения от $|j_1 - j_2|$ до $j_1 + j_2$.

Эта классификация исчерпывающая: любое конечномерное неприводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца - это ровно одно из $(j_1, j_2)$. Дальше остаётся разобрать, какие физические объекты прячутся за конкретными парами.

Спинорные представления и SL(2,C)

Самый тонкий момент: группа Лоренца неодносвязна, и её «истинные» спинорные представления реализуются не на ней самой, а на её универсальной накрывающей - группе $SL(2, \mathbb{C})$ (комплексные матрицы $2\times 2$ с единичным определителем). Накрытие двулистное: две разные матрицы из $SL(2,\mathbb{C})$ отвечают одному преобразованию Лоренца, отличаясь знаком.

Именно поэтому существуют объекты со спином $\tfrac12$, меняющие знак при повороте на $360^{\circ}$, - обычная группа Лоренца такого «не разрешает», а её накрытие разрешает. Два базовых спинорных представления:

• $\left(\tfrac12, 0\right)$ - левый (левокиральный) спинор $\psi_L$, преобразуется матрицей $S$ из $SL(2,\mathbb{C})$;
• $\left(0, \tfrac12\right)$ - правый (правокиральный) спинор $\psi_R$, преобразуется матрицей $(S^{\dagger})^{-1}$.

Это вейлевские спиноры - двухкомпонентные объекты, из которых строится вся теория фермионов. Их существование напрямую вытекает из того, что физическая группа симметрий - это $SL(2,\mathbb{C})$, а не голая группа Лоренца.

Главные представления и их поля

Соберём словарь - какие физические поля соответствуют малым парам $(j_1, j_2)$:

• $(0, 0)$ - скаляр: одна компонента, не меняется при преобразованиях. Поле Хиггса, температура, плотность.
• $\left(\tfrac12, 0\right)$ и $\left(0, \tfrac12\right)$ - вейлевские спиноры: по две компоненты, базис фермионов.
• $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ - четырёхвектор: размерность $2 \times 2 = 4$. Это потенциал электромагнитного поля $A^{\mu}$, четырёхскорость, четырёхимпульс.
• $\left(\tfrac12, 0\right) \oplus \left(0, \tfrac12\right)$ - дираковский биспинор: прямая сумма левого и правого, четыре компоненты, описывает электрон с учётом чётности.
• $(1, 0)$ и $(0, 1)$ - самодуальная и антисамодуальная части тензора напряжённости поля $F_{\mu\nu}$.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: четырёхвектор - это $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$, а не $(1,0)$. Привычный «спин 1» как полный угловой момент действительно получается ($j_1 + j_2 = 1$), но устроен вектор именно как тензорное произведение двух спиноров. Это и объясняет, почему из двух спиноров $\psi_L$ и $\bar\psi_R$ можно «склеить» векторный ток $\bar\psi \gamma^{\mu} \psi$.

Почему представления неунитарны

Важная оговорка: все конечномерные неприводимые представления группы Лоренца (кроме тривиального) неунитарны. Причина в том, что группа некомпактна - бусты уводят на бесконечность, и нет конечномерного скалярного произведения, инвариантного относительно них.

Для квантовой механики это принципиально: вероятности должны сохраняться, а значит, нужны унитарные представления. Они у группы Лоренца есть, но все бесконечномерные - это предмет классификации Баргмана и Вигнера, где состояния частиц нумеруются массой и спином уже через представления группы Пуанкаре (Лоренц плюс трансляции). Конечномерные $(j_1, j_2)$ описывают, как преобразуются поля (классические или операторные), а не как устроено гильбертово пространство состояний.

Частые ошибки

• Путают спин поля с парой $(j_1, j_2)$. Видимый спин - это $j_1 + j_2$ (точнее, разложение от $|j_1 - j_2|$ до $j_1 + j_2$), а не одно из чисел. Вектор - это $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$, хотя спин у него 1.
• Думают, что спиноры живут на самой группе Лоренца. Они живут на накрытии $SL(2,\mathbb{C})$; именно двулистность накрытия даёт знак минус при повороте на полный оборот.
• Считают конечномерные представления унитарными. Из-за некомпактности группы это не так; унитарные представления бесконечномерны.
• Забывают про чётность. Собственная ортохронная группа не включает P; добавление отражения меняет $(j_1,j_2)$ на $(j_2,j_1)$ и заставляет объединять левые и правые спиноры в биспинор.
• Смешивают $SU(2)$-метки с реальными генераторами. Комбинации $A_i, B_i$ комплексны; «два независимых $SU(2)$» - это про комплексификацию алгебры, физические бусты остаются вещественными.

FAQ

Чем отличается группа Лоренца от группы Пуанкаре? Группа Лоренца - это вращения и бусты, сохраняющие интервал относительно начала координат. Группа Пуанкаре добавляет к ней ещё и трансляции (сдвиги в пространстве-времени). Классификация частиц по массе и спину (Вигнер) - это про представления именно группы Пуанкаре; конечномерные $(j_1, j_2)$ - про лоренцеву часть.

Почему именно $SL(2,\mathbb{C})$, а не $SU(2)$? $SU(2)$ накрывает группу вращений $SO(3)$ - это нерелятивистский случай. Полная группа Лоренца с бустами накрывается комплексной группой $SL(2,\mathbb{C})$: бусты соответствуют «мнимым углам поворота», поэтому матрицы перестают быть унитарными и становятся произвольными комплексными с детерминантом 1.

Как связаны представление и число компонент поля? Число компонент равно размерности представления - $(2j_1+1)(2j_2+1)$ для неприводимого или сумме размерностей для прямой суммы. Скаляр - 1, вейлевский спинор - 2, вектор и биспинор - по 4.

Коротко

Представления группы Лоренца классифицируются парой полуцелых спинов $(j_1, j_2)$ - это следствие того, что комплексифицированная алгебра распадается на две независимые копии $\mathfrak{su}(2)$ через комбинации $A_i = \tfrac12(J_i + iK_i)$ и $B_i = \tfrac12(J_i - iK_i)$. Размерность представления равна $(2j_1+1)(2j_2+1)$, а видимый спин складывается из меток. Спинорные представления реализуются на двулистной накрывающей $SL(2,\mathbb{C})$: $\left(\tfrac12,0\right)$ и $\left(0,\tfrac12\right)$ - левый и правый вейлевские спиноры. Скаляр - это $(0,0)$, четырёхвектор - $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$, дираковский биспинор - прямая сумма двух спиноров. Все конечномерные представления неунитарны из-за некомпактности группы - унитарные бесконечномерны и относятся уже к группе Пуанкаре.