Релятивистское сложение скоростей: формула и вывод

В классической механике скорости складываются просто: если человек идёт по вагону со скоростью $u$, а вагон едет со скоростью $v$, то относительно земли человек движется со скоростью $u + v$. Но эта галилеева арифметика перестаёт работать на скоростях, близких к скорости света: сложив две досветовые скорости по правилу $u + v$, легко получить число больше $c$, чего в природе не бывает. Специальная теория относительности (СТО) даёт другую, правильную формулу сложения скоростей, которая всегда держит результат ниже скорости света. Ниже разберём, как эта формула выводится из преобразований Лоренца, почему сумма двух досветовых скоростей всегда меньше $c$, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать разницу между классикой и релятивистской суммой, покрути калькулятор: он считает обе величины и показывает, как зелёная кривая прижимается к пределу $c$.

Формула релятивистского сложения скоростей

Пусть тело движется вдоль оси $x$ со скоростью $u$ в системе отсчёта $K'$, а сама система $K'$ движется со скоростью $v$ относительно неподвижной системы $K$ (тоже вдоль оси $x$). Тогда скорость тела $w$ относительно $K$ задаётся формулой релятивистского сложения скоростей:

$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{u\,v}{c^2}},$

где $c$ - скорость света в вакууме. Числитель здесь - это та самая классическая сумма $u + v$, а весь эффект СТО сидит в знаменателе $1 + uv/c^2$. Именно этот множитель «сжимает» результат и не даёт ему перевалить за $c$.

Рассчитать для своей задачи

Удобно записывать скорости в долях скорости света, вводя безразмерную величину $\beta = v/c$. Тогда формула становится совсем компактной:

$\beta_w = \frac{\beta_u + \beta_v}{1 + \beta_u\,\beta_v}.$

В таком виде видно главное: если обе скорости меньше $c$ (то есть $\beta_u < 1$ и $\beta_v < 1$), то $\beta_w$ тоже строго меньше единицы. Скорость света оказывается недостижимым пределом, к которому можно лишь приближаться.

Откуда берётся формула: преобразования Лоренца

Формулу сложения скоростей не нужно постулировать - она прямо следует из преобразований Лоренца, связывающих координаты и время в системах $K$ и $K'$. Скорость тела в системе $K$ - это отношение приращения координаты к приращению времени, $w = dx/dt$. Подставив дифференциалы лоренцевских преобразований

$dx = \gamma\,(dx' + v\,dt'), \qquad dt = \gamma\left(dt' + \frac{v\,dx'}{c^2}\right),$

и поделив одно на другое, получаем

$w = \frac{dx}{dt} = \frac{dx' + v\,dt'}{dt' + \dfrac{v\,dx'}{c^2}}.$

Осталось разделить числитель и знаменатель на $dt'$ и вспомнить, что $dx'/dt' = u$ - скорость тела в системе $K'$. Так появляется итоговое выражение $w = (u+v)/(1 + uv/c^2)$. Множитель Лоренца $\gamma$ при делении сократился, поэтому в самой формуле сложения скоростей его нет - он спрятан в выводе.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видна суть. При малых скоростях ($u, v \ll c$) знаменатель $1 + uv/c^2$ почти равен единице, и релятивистская сумма практически совпадает с классической прямой $u + v$. Но чем ближе скорости к $c$, тем сильнее знаменатель тормозит рост: зелёная кривая загибается и выходит на горизонтальную асимптоту $w = c$, тогда как синяя прямая классики беспрепятственно пробивает световой барьер.

Почему сумма не превышает скорость света

Самое важное свойство формулы - релятивистская сумма двух досветовых скоростей всегда остаётся меньше $c$. Проверим это на крайнем случае. Пусть тело испускает луч света, то есть $u = c$, а источник движется со скоростью $v$. Подставляем:

$w = \frac{c + v}{1 + \dfrac{c\,v}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \dfrac{v}{c}} = \frac{c\,(c + v)}{c + v} = c.$

Скорость света относительно неподвижного наблюдателя снова равна $c$ - независимо от того, как быстро движется источник. Это и есть второй постулат Эйнштейна: скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Формула сложения скоростей не противоречит ему, а является его прямым следствием.

Рассчитать для своей задачи

Аналогично, если сложить две скорости, каждая из которых меньше $c$, результат гарантированно меньше $c$. Это легко увидеть из неравенства: разность $c - w$ всегда положительна, когда $u < c$ и $v < c$. Поэтому никакой комбинацией досветовых скоростей нельзя «разогнаться» быстрее света - формула автоматически закрывает эту лазейку.

Пример решения типовой задачи

Разберём классическую постановку. Тело движется со скоростью $u = 0{,}6c$ относительно ракеты, а ракета летит со скоростью $v = 0{,}6c$ относительно Земли в том же направлении. Найдём скорость тела относительно Земли.

Если бы скорости складывались классически, мы получили бы $0{,}6c + 0{,}6c = 1{,}2c$, то есть скорость больше световой, что невозможно. Применяем релятивистскую формулу:

$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{u\,v}{c^2}} = \frac{0{,}6c + 0{,}6c}{1 + \dfrac{0{,}6c \cdot 0{,}6c}{c^2}} = \frac{1{,}2c}{1 + 0{,}36} = \frac{1{,}2c}{1{,}36}.$

Считаем результат:

$w = 0{,}882\,c \approx 2{,}65 \cdot 10^8\ \text{м/с}.$

Скорость получилась заметно меньше наивных $1{,}2c$ и, что важно, меньше скорости света. Чем ближе исходные скорости к $c$, тем сильнее это расхождение: сложив $0{,}9c$ и $0{,}9c$, получим не $1{,}8c$, а всего $0{,}994c$. Калькулятор выше собирает именно эту цепочку: подставь свои скорости, и он покажет и релятивистскую сумму, и классическую для сравнения.

Когда классическая формула всё-таки работает

Возникает резонный вопрос: почему же в обычной жизни прекрасно работает простое $u + v$? Ответ - в знаменателе. При бытовых скоростях произведение $uv$ ничтожно мало по сравнению с $c^2 \approx 9 \cdot 10^{16}\ \text{м}^2/\text{с}^2$, поэтому дробь $uv/c^2$ практически равна нулю, а знаменатель - единице. Формула сворачивается до $w \approx u + v$.

Например, для самолёта ($v \approx 250$ м/с) и идущего по нему пассажира ($u \approx 1$ м/с) поправка составляет порядка $10^{-15}$ - её невозможно заметить никакими приборами. Поэтому галилеево сложение скоростей - не «неправильная», а приближённая формула, верная в пределе малых скоростей. СТО не отменяет классику, а включает её в себя как частный случай, и это видно на графике калькулятора: у начала координат обе кривые сливаются.

Частые ошибки

• Складывают скорости классически на больших скоростях. Результат вроде $1{,}2c$ или $1{,}8c$ - верный признак того, что забыли про знаменатель $1 + uv/c^2$. На околосветовых скоростях работает только релятивистская формула.
• Путают, в каких системах заданы скорости. В формуле $u$ - скорость тела в подвижной системе $K'$, $v$ - скорость самой $K'$ относительно $K$. Если перепутать системы отсчёта, знак или величина результата окажутся неверными.
• Используют формулу для перпендикулярных скоростей. Выражение $w = (u+v)/(1+uv/c^2)$ верно только для скоростей вдоль одной прямой. Для поперечной составляющей формула другая, с множителем $\gamma$.
• Считают в км/ч или м/с, забывая про $c^2$. Удобнее сразу переходить к долям $c$: тогда $\beta_w = (\beta_u + \beta_v)/(1 + \beta_u\beta_v)$, и нет риска ошибиться на порядки в $c^2$.
• Ждут, что сумма превысит $c$. Если в ответе получилось больше скорости света, значит, где-то потерян знаменатель или перепутаны единицы. Релятивистская сумма досветовых скоростей всегда меньше $c$.

FAQ

Чему равна релятивистская сумма скоростей 0,8c и 0,8c? По формуле $w = (0{,}8c + 0{,}8c)/(1 + 0{,}64) = 1{,}6c/1{,}64 = 0{,}976c$. Классическая сумма дала бы $1{,}6c$, что невозможно, а релятивистская остаётся ниже скорости света.

Почему скорость света нельзя превысить сложением скоростей? Из-за знаменателя $1 + uv/c^2$, который растёт вместе со скоростями и «сжимает» результат. Математически разность $c - w$ остаётся положительной при любых $u < c$ и $v < c$, поэтому досветовые скорости не складываются в сверхсветовую.

Как формула связана с преобразованиями Лоренца? Она выводится из них напрямую: скорость $w = dx/dt$ выражается через дифференциалы лоренцевских преобразований координаты и времени. После деления числителя и знаменателя на $dt'$ множитель $\gamma$ сокращается и остаётся формула сложения скоростей.

Коротко

Релятивистское сложение скоростей описывается формулой $w = (u + v)/(1 + uv/c^2)$, которая следует из преобразований Лоренца. В отличие от классической суммы $u + v$, она никогда не даёт результат больше скорости света: сумма двух досветовых скоростей всегда меньше $c$, а если одна из скоростей равна $c$, результат тоже равен $c$. На малых скоростях знаменатель близок к единице, и формула переходит в привычное галилеево сложение, поэтому классическая механика оказывается частным случаем СТО.