Как настроить ПИД-регулятор: расчёт коэффициентов

Дано: объект с запаздыванием, снятый по кривой разгона: коэффициент передачи $K = 2{,}5$, постоянная времени $T = 40$ с, запаздывание $\tau = 8$ с. Найти: настройки ПИД-регулятора.

Задача решается первым методом Циглера-Николса: три числа с кривой разгона подставляются в готовые соотношения, никакого решения дифференциальных уравнений не требуется. Ответ: $K_{\text{п}} = 2{,}4$, $T_{\text{и}} = 16$ с, $T_{\text{д}} = 4$ с. Калькулятор сверху пересчитает настройки под другие параметры объекта и сразу промоделирует переходный процесс, который они дают.

Решение по шагам

Дано. Параметры объекта, снятые с кривой разгона:

Найти: коэффициент передачи регулятора $K_{\text{п}}$, время интегрирования $T_{\text{и}}$ и время дифференцирования $T_{\text{д}}$.

Шаг 1. Проверить, применим ли метод. Соотношения Циглера-Николса выведены для объектов, у которых запаздывание заметно, но не подавляет динамику. Рабочий признак - отношение запаздывания к постоянной времени:

$$\frac{\tau}{T} = \frac{8}{40} = 0{,}2.$$

Значение попадает в диапазон от 0,1 до 1, где формулы дают осмысленный результат. Если бы отношение оказалось больше единицы, настройку пришлось бы искать другими средствами.

Шаг 2. Коэффициент передачи регулятора. Основная формула метода связывает пропорциональную часть со всеми тремя параметрами объекта:

$$K_{\text{п}} = 1{,}2 \, \frac{T}{K \tau} = 1{,}2 \cdot \frac{40}{2{,}5 \cdot 8} = 1{,}2 \cdot \frac{40}{20} = 1{,}2 \cdot 2 = 2{,}4.$$

Величина безразмерная, если вход и выход регулятора приведены к одинаковым единицам (например, к процентам шкалы).

Шаг 3. Времена интегрирования и дифференцирования. Обе постоянные метод привязывает только к запаздыванию:

$$T_{\text{и}} = 2 \tau = 2 \cdot 8 = 16 \ \text{с}, \qquad T_{\text{д}} = 0{,}5 \tau = 0{,}5 \cdot 8 = 4 \ \text{с}.$$

Проверка соотношения: $T_{\text{и}} / T_{\text{д}} = 4$, и это не совпадение. У Циглера-Николса время интегрирования всегда вчетверо больше времени дифференцирования.

Шаг 4. Перевод в коэффициенты параллельной формы. Многие контроллеры принимают не времена, а коэффициенты $K_{\text{и}}$ и $K_{\text{д}}$:

$$K_{\text{и}} = \frac{K_{\text{п}}}{T_{\text{и}}} = \frac{2{,}4}{16} = 0{,}15 \ \text{с}^{-1}, \qquad K_{\text{д}} = K_{\text{п}} T_{\text{д}} = 2{,}4 \cdot 4 = 9{,}6 \ \text{с}.$$

Шаг 5. Проверка по переходному процессу. Настройку нельзя сдавать, не посмотрев, что она даёт в замкнутом контуре. Моделирование скачка задания с этими числами показывает перерегулирование около 61 процента и время регулирования по коридору 5 процентов примерно 46 секунд; статическая ошибка нулевая за счёт интегральной составляющей. Такой заброс для метода нормален: он рассчитан на затухание колебаний примерно вчетверо за период, а не на плавный выход.

Ответ. $K_{\text{п}} = 2{,}4$; $T_{\text{и}} = 16$ с; $T_{\text{д}} = 4$ с (в параллельной форме $K_{\text{и}} = 0{,}15$ с в минус первой степени, $K_{\text{д}} = 9{,}6$ с). Перерегулирование около 61 процента, время регулирования около 46 секунд.

Откуда берутся эти формулы

Кривая разгона снимается на реальном объекте: регулятор переводят в ручной режим, скачком меняют управляющее воздействие и записывают, как отзывается выход. Полученную кривую аппроксимируют простейшей моделью - апериодическим звеном первого порядка с запаздыванием:

$$W_{\text{об}}(p) = \frac{K \, e^{-\tau p}}{T p + 1}.$$

Три её параметра и снимают с графика. Коэффициент передачи $K$ - отношение установившегося приращения выхода к величине скачка входа. Запаздывание $\tau$ - время от момента скачка до начала реакции: его находят как точку пересечения касательной, проведённой в точке перегиба, с осью времени. Постоянная времени $T$ - отрезок от этой точки до пересечения касательной с уровнем нового установившегося значения. Такая графическая процедура и есть весь эксперимент. Понимание того, как экспонента выражается через изображение по Лапласу, здесь полезно, но не обязательно: разбор преобразования есть в статье про решение дифференциальных уравнений операторным методом.

Сам регулятор реализует закон

$$u(t) = K_{\text{п}} \left( e(t) + \frac{1}{T_{\text{и}}} \int\limits_{0}^{t} e(\theta) \, d\theta + T_{\text{д}} \frac{de(t)}{dt} \right),$$

где $e(t)$ - рассогласование между заданием и измеренным значением. Пропорциональная часть реагирует на текущую ошибку, интегральная накапливает её и убирает статическое смещение, дифференциальная работает на опережение и гасит раскачку. Коэффициенты Циглера и Николса подобраны не аналитически, а эмпирически: авторы перебрали множество объектов и нашли числа, дающие затухание колебаний примерно в четыре раза за период. Поэтому метод и работает на практически любом объекте, и почти никогда не даёт оптимума.

Второй метод: настройка по критическому усилению

Если кривую разгона снять нельзя, а поколебать систему допустимо, применяют второй метод. Интегральную и дифференциальную части отключают, оставляя чистый пропорциональный регулятор, и медленно поднимают его коэффициент, пока в контуре не установятся незатухающие колебания постоянной амплитуды. Запоминают критический коэффициент $K_{\text{кр}}$ и период колебаний $T_{\text{кр}}$, после чего считают:

$$K_{\text{п}} = 0{,}6 \, K_{\text{кр}}, \qquad T_{\text{и}} = 0{,}5 \, T_{\text{кр}}, \qquad T_{\text{д}} = 0{,}125 \, T_{\text{кр}}.$$

Для нашего объекта граница устойчивости наступает при $K_{\text{кр}} \approx 3{,}4$ и периоде $T_{\text{кр}} \approx 30$ с. Подстановка даёт $K_{\text{п}} \approx 2{,}0$, $T_{\text{и}} = 15$ с, $T_{\text{д}} \approx 3{,}7$ с - практически те же числа, что в шаге 3. Совпадение закономерно: оба метода описывают одну и ту же динамику, просто снимают её разными экспериментами. Второй метод точнее, но опаснее - колебания на границе устойчивости допустимы далеко не на всяком оборудовании, а рассуждения о самой границе смыкаются с классической теорией устойчивости, изложенной в разборе первой теоремы Ляпунова.

Как получить настройку помягче

Перерегулирование в 60 процентов терпимо для расхода и недопустимо для температуры печи или давления в аппарате. Смягчить настройку помогают формулы Чина, Хронеса и Ресвика, построенные на тех же трёх параметрах объекта. В апериодическом варианте, рассчитанном на отработку задания без заброса, берут

$$K_{\text{п}} = 0{,}6 \, \frac{T}{K \tau} = 1{,}2, \qquad T_{\text{и}} = T = 40 \ \text{с}, \qquad T_{\text{д}} = 0{,}5 \tau = 4 \ \text{с}.$$

Пропорциональная часть уменьшена вдвое, а время интегрирования растянуто с 16 до 40 секунд. Моделирование даёт перерегулирование около 5 процентов и время регулирования порядка 31 секунды - то есть процесс вышел не только спокойнее, но и быстрее. Это типичная ситуация: агрессивная настройка раскачивает контур, и на гашение колебаний уходит больше времени, чем сэкономлено на разгоне. Переключить метод в калькуляторе сверху и сравнить кривые - самый наглядный способ это увидеть; характер затухания колебаний описывается тем же декрементом, что и в задаче о затухающих колебаниях.

Правило ручной доводки после расчёта простое. Медленный выход на задание лечится увеличением $K_{\text{п}}$, длинный «хвост» остаточной ошибки - уменьшением $T_{\text{и}}$, раскачка и заброс - уменьшением $K_{\text{п}}$ или увеличением $T_{\text{д}}$. Менять больше одного параметра за раз бессмысленно: непонятно, что именно подействовало.

Частые ошибки

• Путают время интегрирования и коэффициент при интеграле. $T_{\text{и}} = 16$ с и $K_{\text{и}} = 0{,}15$ - это одна и та же настройка в разных формах записи, связанные соотношением $K_{\text{и}} = K_{\text{п}} / T_{\text{и}}$. Введённое в контроллер время вместо коэффициента отличается в сто раз и мгновенно раскачивает контур.
• Берут запаздывание как весь участок до выхода на новый уровень. Запаздывание - только отрезок до пересечения касательной с осью времени, а не до конца переходного процесса. Завышенное $\tau$ занижает $K_{\text{п}}$ и делает регулятор вялым.
• Не переводят коэффициент передачи объекта в безразмерный вид. Если выход измеряется в градусах, а вход в процентах хода клапана, у $K$ есть размерность, и подставлять её надо согласованно с единицами регулятора, иначе $K_{\text{п}}$ получится бессмысленным числом.
• Применяют метод к объекту без запаздывания. При $\tau \to 0$ формула даёт $K_{\text{п}} \to \infty$: делить на ноль нельзя, и настройка теряет смысл. Для таких объектов нужны другие методики.
• Останавливаются на расчёте и не смотрят переходный процесс. Циглер и Николс дают стартовую точку, а не готовый ответ; без проверки заброса и времени регулирования работа считается несделанной.
• Оставляют дифференциальную составляющую на шумном сигнале. Дифференцирование усиливает высокочастотный шум измерения, и клапан начинает дёргаться. На расходе и давлении $T_{\text{д}}$ обычно обнуляют, переходя к ПИ-закону.

FAQ

Чем ПИД отличается от ПИ и когда нужна третья составляющая? ПИ-регулятор реагирует на текущую и накопленную ошибку, ПИД добавляет реакцию на скорость её изменения. Дифференциальная часть окупается на инерционных объектах с большим запаздыванием: температура, уровень в крупных ёмкостях. На быстрых и шумных контурах вроде расхода её отключают.

Что делать, если запаздывание больше постоянной времени? Формулы по кривой разгона в этом случае работают плохо: они дают слишком высокий коэффициент передачи, и контур идёт вразнос. Практический выход - сильно загрубить пропорциональную часть или применить схему с предиктором, компенсирующим запаздывание.

Почему у метода Циглера-Николса такое большое перерегулирование? Потому что критерий, под который он подбирался, это затухание колебаний вчетверо за период, а не отсутствие заброса. Метод оптимизирует отработку возмущения, а не плавность выхода на задание, отсюда и колебательный характер процесса.

Можно ли настроить регулятор без снятия кривой разгона? Да, вторым методом по критическому усилению или подбором вручную от заведомо мягких настроек. Но любой из этих путей всё равно требует эксперимента на объекте: настроек, выведенных чисто из паспорта оборудования, не бывает.

Коротко

1. Снять с кривой разгона три параметра объекта: коэффициент передачи $K$, постоянную времени $T$ и запаздывание $\tau$; проверить, что $\tau / T$ лежит в диапазоне от 0,1 до 1.
2. Посчитать пропорциональную часть по формуле $K_{\text{п}} = 1{,}2 \, T / (K \tau)$.
3. Взять $T_{\text{и}} = 2 \tau$ и $T_{\text{д}} = 0{,}5 \tau$; при необходимости перевести в $K_{\text{и}} = K_{\text{п}} / T_{\text{и}}$ и $K_{\text{д}} = K_{\text{п}} T_{\text{д}}$.
4. Проверить настройку по переходному процессу: посмотреть перерегулирование и время регулирования, при слишком большом забросе перейти к формулам ЧХР.
5. Для примера с $K = 2{,}5$, $T = 40$ с и $\tau = 8$ с ответ: $K_{\text{п}} = 2{,}4$, $T_{\text{и}} = 16$ с, $T_{\text{д}} = 4$ с.