Затухающие колебания: уравнение и декремент

Когда маятник качается в воздухе, его амплитуда постепенно уменьшается - кинетическая энергия рассеивается на трение. Такой режим называется затухающими колебаниями и описывается конкретным уравнением движения с двумя параметрами: собственной частотой и коэффициентом затухания. Умея читать это уравнение, можно сразу назвать период, логарифмический декремент, добротность и время, за которое амплитуда упадёт в заданное число раз. Покрутите калькулятор ниже, чтобы почувствовать, как меняется форма осцилляции при разных значениях затухания, а затем разберём каждую формулу строго.

Уравнение затухающих колебаний

Рассмотрим тело массой $m$, прикреплённое к пружине жёсткостью $k$ и движущееся в среде с силой сопротивления $F_r = -r\dot{x}$, пропорциональной скорости. Второй закон Ньютона даёт:

$$m\ddot{x} + r\dot{x} + kx = 0.$$

Делим на $m$ и вводим два параметра:

$$\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = 0,$$

где $\beta = r/(2m)$ - коэффициент затухания (с$^{-1}$), а $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ - собственная угловая частота незатухающего осциллятора (рад/с). Именно это уравнение встречается в большинстве задач на затухающие колебания.

Решение при $\beta < \omega_0$ (режим недодемпфирования):

$$x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \varphi_0),$$

где $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$ - частота затухающих колебаний. Она всегда меньше $\omega_0$: присутствие трения «растягивает» период. Начальная амплитуда $A_0$ и начальная фаза $\varphi_0$ определяются из начальных условий задачи.

Рассчитать для своей задачи

Логарифмический декремент затухания

Возьмём два последовательных максимума $x_n$ и $x_{n+1}$, разделённых периодом $T_d = 2\pi/\omega_d$. Из формулы решения:

$$x_n = A_0 e^{-\beta t_n}, \qquad x_{n+1} = A_0 e^{-\beta(t_n + T_d)}.$$

Отношение амплитуд соседних колебаний постоянно:

$$\frac{x_n}{x_{n+1}} = e^{\beta T_d}.$$

Логарифм этого отношения и есть логарифмический декремент затухания:

$$\Theta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \beta T_d = \frac{2\pi\beta}{\omega_d}.$$

На практике удобнее измерять амплитуды через $N$ периодов и усреднять:

$$\Theta = \frac{1}{N} \ln\frac{x_0}{x_N}.$$

Декремент - безразмерная характеристика: чем он больше, тем быстрее гаснут колебания. При $\Theta \ll 1$ затухание слабое; при $\Theta \sim 1$ за один период амплитуда падает в $e \approx 2{,}72$ раза.

Рассчитать для своей задачи

Добротность колебательной системы

Добротность $Q$ связана с декрементом обратной зависимостью:

$$Q = \frac{\pi}{\Theta} = \frac{\pi}{\beta T_d} = \frac{\omega_0}{2\beta},$$

где последнее равенство точно при малом затухании ($\beta \ll \omega_0$). Физический смысл: $Q$ - это во сколько раз $\pi$ раз энергия, запасённая в системе, превышает энергию, рассеиваемую за один период. Эквивалентно, за $Q/\pi$ периодов амплитуда падает в $e$ раз.

В технике добротность задаётся конструкцией. Колебательный контур хорошего LC-генератора имеет $Q \sim 10^3$–$10^5$; кварцевый резонатор - $10^4$–$10^6$; механический маятник в воздухе - $Q \sim 10^2$. Чем выше $Q$, тем уже пик резонанса и тем более «чистый» тон у системы.

Три режима затухания

В зависимости от соотношения $\beta$ и $\omega_0$ уравнение $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ имеет три класса решений.

Недодемпфирование ($\beta < \omega_0$): решение - затухающая косинусоида. Система совершает колебания с убывающей амплитудой. Это самый распространённый случай в задачниках.

Критическое затухание ($\beta = \omega_0$): решение $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\beta t}$ - система возвращается в равновесие кратчайшим апериодическим путём без перехода через ноль. В технике этот режим идеален для демпферов (автомобильные амортизаторы, дверные доводчики): нет «пружинного отскока», но возврат максимально быстрый.

Передемпфирование ($\beta > \omega_0$): решение - сумма двух убывающих экспонент без колебаний. Возврат к равновесию медленнее, чем при критическом затухании. Шкала добротности здесь не применима.

Связь декремента с временем релаксации

Время релаксации $\tau = 1/\beta$ - характерное время, за которое амплитуда огибающей $A_0 e^{-\beta t}$ уменьшается в $e \approx 2{,}72$ раза. Через него:

$$\Theta = \frac{T_d}{\tau}, \qquad Q = \frac{\pi \tau}{T_d}.$$

Связь проста: за время $\tau$ успевает пройти ровно $\tau/T_d = Q/\pi$ колебаний. Если задача говорит «амплитуда за 10 с упала в $e^3$ раза», это означает $3\tau = 10$ с, то есть $\tau = 10/3$ с и $\beta = 0{,}3$ с$^{-1}$.

Пример решения типовой задачи

Разберём характерную формулировку: пружинный маятник массой $m = 0{,}1$ кг на пружине жёсткостью $k = 39{,}5$ Н/м колеблется в вязкой среде с коэффициентом сопротивления $r = 0{,}4$ Н·с/м. Начальная амплитуда $A_0 = 0{,}05$ м. Найти коэффициент затухания $\beta$, собственную частоту $\omega_0$, частоту затухающих колебаний $\omega_d$, логарифмический декремент $\Theta$ и добротность $Q$.

Шаг 1. Вычислим основные параметры.

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{39{,}5}{0{,}1}} = \sqrt{395} \approx 19{,}87\ \text{рад/с}, \qquad \beta = \frac{r}{2m} = \frac{0{,}4}{2 \cdot 0{,}1} = 2\ \text{с}^{-1}.$$

Шаг 2. Проверяем условие недодемпфирования: $\beta = 2 < \omega_0 \approx 19{,}87$ - выполнено, система совершает колебания.

Шаг 3. Находим частоту затухающих колебаний:

$$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = \sqrt{395 - 4} = \sqrt{391} \approx 19{,}77\ \text{рад/с}.$$

Период: $T_d = 2\pi/\omega_d \approx 0{,}318$ с.

Шаг 4. Логарифмический декремент:

$$\Theta = \frac{2\pi\beta}{\omega_d} = \frac{2\pi \cdot 2}{19{,}77} \approx 0{,}636.$$

Шаг 5. Добротность:

$$Q = \frac{\pi}{\Theta} \approx \frac{3{,}14}{0{,}636} \approx 4{,}94.$$

Это умеренная добротность: за $Q/\pi \approx 1{,}57$ периода амплитуда упадёт в $e$ раз. Такая система ни быстрого успокоения, ни долгих плавных колебаний не даёт - типичный случай для механических конструкций с резиновыми демпферами.

Измерение декремента на практике

В лабораторной работе по механике и акустике декремент измеряют двумя способами.

Метод соседних максимумов: записывают осциллограмму и вычисляют $\Theta = \ln(x_n/x_{n+1})$ для нескольких пар подряд. Результаты усредняют. Метод прост, но чувствителен к шуму датчика.

Метод усреднения по $N$ периодам ($\Theta = \frac{1}{N}\ln\frac{x_0}{x_N}$) даёт существенно меньшую погрешность: случайные ошибки отдельных измерений делятся на $N$. При $N = 10$ стандартное отклонение $\Theta$ уменьшается в $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ раза по сравнению с $N = 1$.

В электрических цепях декремент эквивалентен затуханию LC-контура: вместо смещения $x(t)$ измеряют напряжение $U(t)$ на конденсаторе. Формулы те же; вместо $\beta = r/(2m)$ подставляют $\beta = R/(2L)$, где $R$ - активное сопротивление контура, $L$ - индуктивность.

Вынужденные колебания и резонанс в контексте затухания

Уравнение свободных затухающих колебаний тесно связано с задачей о вынужденных колебаниях под действием периодической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$. Полное уравнение принимает вид:

$$\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t).$$

Установившаяся амплитуда вынужденных колебаний:

$$a(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}.$$

Резонансная частота ($da/d\omega = 0$) для амплитуды смещения оказывается ниже $\omega_0$:

$$\omega_{\text{рез}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}.$$

При высокой добротности $\omega_{\text{рез}} \approx \omega_0$ и резонансный пик очень острый. Ширина пика на уровне $a_{\max}/\sqrt{2}$ - это полоса $\Delta\omega = 2\beta$, которую называют полосой пропускания. Таким образом, $Q = \omega_0 / (2\beta) = \omega_0 / \Delta\omega$: добротность - отношение резонансной частоты к ширине пика. Это определение добротности используется в радиотехнике и акустике наравне с формулой через декремент.

Частые ошибки

• Путают $\omega_0$ и $\omega_d$. Уравнение содержит $\omega_0$, а реальный период определяется $\omega_d$. При $\beta = 0{,}5\omega_0$ разница уже около 13 %.
• Измеряют декремент по одной паре максимумов. Из-за шума результат нестабилен. Правильно: находить $\Theta = \frac{1}{N}\ln(x_0/x_N)$ по нескольким периодам.
• Используют формулу $Q = \omega_0/(2\beta)$ при сильном затухании. Это приближение работает при $Q \gtrsim 5$; при меньших значениях $Q$ нужно считать точно через $\Theta$.
• Не проверяют режим. Перед подстановкой в формулу для $\omega_d$ нужно убедиться, что $\beta < \omega_0$, иначе корень отрицательный.
• Смешивают коэффициент затухания и коэффициент сопротивления. В уравнении $r$ - коэффициент сопротивления среды (Н·с/м), а $\beta = r/(2m)$ - коэффициент затухания (с$^{-1}$).

FAQ

Как найти логарифмический декремент экспериментально? Запишите колебания датчиком или по видео. Отметьте амплитуды $x_0$ и $x_N$ через $N$ полных периодов. Тогда $\Theta = \frac{1}{N}\ln(x_0/x_N)$. Чем больше $N$, тем точнее результат: случайные ошибки измерения усредняются.

Чем отличаются «декремент затухания» и «логарифмический декремент»? Это одно и то же - исторически сложившиеся синонимы. В русскоязычных учебниках физики используется обозначение $\Theta$ или $\delta$; в электротехнике иногда пишут $d$. Суть везде одна: натуральный логарифм отношения соседних амплитуд.

Почему добротность растёт при уменьшении затухания? Добротность $Q = \pi/\Theta$ обратно пропорциональна декременту. При меньшем $\beta$ амплитуда убывает медленнее, соседние максимумы почти равны, логарифм их отношения мал - значит, $\Theta$ мала и $Q$ велика. Физически: меньше потерь за цикл - система «помнит» своё колебание дольше.

Коротко

Затухающие колебания описываются уравнением $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$, решение которого при $\beta < \omega_0$ - произведение убывающей экспоненты на косинус с частотой $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$. Логарифмический декремент $\Theta = \beta T_d$ характеризует скорость убывания амплитуды за один период; добротность $Q = \pi/\Theta$ показывает, насколько «остро» настроена система. Три режима - недодемпфирование, критическое и передемпфирование - определяются сравнением $\beta$ и $\omega_0$. Умение быстро перейти от параметров задачи к декременту и обратно - ключевой навык для задач по механическим и электрическим колебательным системам.