Устойчивость по Ляпунову: первая теорема (по первому приближению)

Под «первой теоремой Ляпунова» в курсах теории устойчивости и дифференциальных уравнений почти всегда понимают теорему об устойчивости по первому приближению: чтобы судить об устойчивости положения равновесия нелинейной системы, достаточно посмотреть на линеаризацию - отбросить нелинейные слагаемые и проанализировать собственные значения матрицы линейной части. Это первый (и исторически более ранний) из двух методов Ляпунова; второй - прямой метод функций Ляпунова. Первая теорема привлекательна тем, что сводит вопрос об устойчивости нелинейной системы к чисто алгебраической задаче о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения.

Постановка задачи: устойчивость положения равновесия

Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

$\dot{x} = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,$

у которой есть положение равновесия $x_0$: точка, где $f(x_0) = 0$, так что система, попав в неё, остаётся там навсегда. Перенесём начало координат в эту точку (заменой $y = x - x_0$), и пусть равновесие будет в нуле. Устойчивость по Ляпунову означает: для любой окрестности нуля найдётся такая малая начальная окрестность, что траектория, стартовавшая в ней, никогда из большой окрестности не выйдет. Если вдобавок траектория стремится к нулю при $t \to \infty$, равновесие асимптотически устойчиво. Первая теорема Ляпунова отвечает на вопрос: когда эти свойства можно установить по линейной части системы, не интегрируя её.

Прежде чем разбирать формулировку, полезно один раз увидеть весь алгоритм на конкретной системе. Соберите запрос ниже - и получите пошаговый разбор: линеаризацию, якобиан, собственные значения и вывод об устойчивости.

Линеаризация и матрица первого приближения

Разложим правую часть в ряд Тейлора в окрестности равновесия $x = 0$:

$f(x) = A x + g(x), \quad A = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=0}, \quad g(x) = o(\|x\|).$

Здесь $A$ - матрица Якоби (якобиан) системы, вычисленная в точке равновесия; её элементы $A_{ij} = \partial f_i / \partial x_j$. Линейная система $\dot{y} = A y$ называется системой первого приближения, а слагаемое $g(x)$ собирает все нелинейные члены и по предположению мало по сравнению с $x$ вблизи нуля. Идея Ляпунова: если линейная часть «достаточно устойчива», то малая добавка $g(x)$ не способна испортить картину, и нелинейная система ведёт себя так же, как её линеаризация.

Формулировка первой теоремы Ляпунова

Поведение линейной системы $\dot{y} = A y$ полностью определяется собственными значениями матрицы $A$ - корнями характеристического уравнения $\det(A - \lambda E) = 0$. Первая теорема Ляпунова формулируется так.

Теорема (об устойчивости по первому приближению). Пусть $x = 0$ - положение равновесия системы $\dot{x} = Ax + g(x)$, где $g(x) = o(\|x\|)$.

1. Если все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательную вещественную часть ($\operatorname{Re}\lambda_i < 0$ для всех $i$), то равновесие асимптотически устойчиво.
2. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть ($\operatorname{Re}\lambda_k > 0$), то равновесие неустойчиво.

В обоих случаях устойчивость нелинейной системы определяется устойчивостью её первого приближения. Проверка сводится к расположению собственных значений в комплексной плоскости относительно мнимой оси.

Критический случай: когда первое приближение не работает

Остаётся «зазор» между пунктами теоремы - критический случай, когда вещественные части всех собственных значений неположительны, но хотя бы одно из них лежит ровно на мнимой оси ($\operatorname{Re}\lambda = 0$), а остальные - в левой полуплоскости. Сюда попадают, например, пара чисто мнимых корней $\pm i\omega$ или нулевой корень $\lambda = 0$.

В этом случае первая теорема Ляпунова не даёт ответа: устойчивость нелинейной системы определяется отброшенными членами $g(x)$, и линейная часть бессильна. Один и тот же якобиан с парой мнимых корней может отвечать как устойчивому центру, так и неустойчивому фокусу - всё решают нелинейные слагаемые. Здесь нужен второй (прямой) метод Ляпунова с построением функции Ляпунова либо более тонкий анализ нормальных форм.

Пример: маятник с трением

Уравнение маятника с затуханием $\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + \sin\theta = 0$ ($b > 0$) перепишем как систему первого порядка, введя $x_1 = \theta$, $x_2 = \dot{\theta}$:

$\dot{x}_1 = x_2, \qquad \dot{x}_2 = -\sin x_1 - b x_2.$

Нижнее положение равновесия - $x_1 = 0, x_2 = 0$. Якобиан в нуле (учитывая $\partial(-\sin x_1)/\partial x_1 = -\cos x_1 = -1$ при $x_1 = 0$):

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -b \end{pmatrix}.$

Характеристическое уравнение $\lambda^2 + b\lambda + 1 = 0$ при $b > 0$ имеет корни с отрицательной вещественной частью, поэтому по первой теореме нижнее равновесие асимптотически устойчиво - маятник с трением возвращается в нижнюю точку. Если же взять верхнее равновесие $x_1 = \pi$, то $\partial(-\sin x_1)/\partial x_1 = -\cos\pi = +1$, и одно собственное значение положительно: равновесие неустойчиво, как и подсказывает интуиция.

Связь с устойчивостью линейных систем

Первая теорема опирается на классический результат об устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами: нулевое решение $\dot{y} = Ay$ асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные значения $A$ лежат в открытой левой полуплоскости. Для $n \ge 5$ найти корни характеристического полинома в радикалах нельзя (теорема Абеля-Руффини), поэтому на практике расположение корней проверяют алгебраически - критерием Рауса-Гурвица или через таблицу Рауса. Таким образом, исследование устойчивости по первому приближению естественно стыкуется с критериями устойчивости полинома: сначала строят якобиан, затем его характеристический полином, затем проверяют знаки. Важно, что теорема Ляпунова делает этот переход от линейной системы к нелинейной строгим: малое нелинейное возмущение $g(x) = o(\|x\|)$ не меняет вывода об асимптотической устойчивости или неустойчивости, пока вещественные части собственных значений отделены от нуля. Именно поэтому метод первого приближения так широко применяется в теории автоматического управления, динамике популяций и анализе фазовых портретов: грубая оценка по якобиану даёт верный качественный ответ почти всегда - за исключением узкого критического случая.

Частые ошибки

• Считают якобиан не в точке равновесия. Матрицу $A = \partial f / \partial x$ вычисляют именно в исследуемой точке $x_0$; в других точках линеаризация описывает другое равновесие.
• Делают вывод об устойчивости в критическом случае. Если есть корень на мнимой оси, первая теорема молчит - нужен прямой метод Ляпунова, а не линеаризация.
• Путают устойчивость и асимптотическую устойчивость. Чисто мнимые корни линейной системы дают устойчивость без асимптотической; добавление нелинейности может сломать даже её.
• Забывают перенести равновесие в нуль. Разложение Тейлора и условие $g(x) = o(\|x\|)$ записаны для равновесия в начале координат.
• Анализируют не ту точку равновесия. У нелинейной системы их несколько; каждую исследуют отдельно со своим якобианом (нижнее и верхнее положения маятника).

FAQ

Чем первая теорема Ляпунова отличается от второй? Первая (по первому приближению) сводит задачу к линеаризации и собственным значениям якобиана. Вторая (прямой метод) строит функцию Ляпунова $V(x) > 0$ с $\dot{V} \le 0$ и работает даже в критическом случае, когда первая бессильна.

Можно ли по первому приближению доказать неустойчивость? Да: если хотя бы одно собственное значение якобиана имеет положительную вещественную часть, равновесие неустойчиво независимо от нелинейных членов. Это второй пункт теоремы.

Что делать, если все корни на мнимой оси? Это критический случай: первая теорема ответа не даёт. Исследуют нелинейные члены - строят функцию Ляпунова или приводят систему к нормальной форме, чтобы понять, устойчиво ли равновесие.

Коротко

Первая теорема Ляпунова (об устойчивости по первому приближению) сводит исследование устойчивости положения равновесия нелинейной системы к анализу её линеаризации: строят якобиан $A = \partial f / \partial x$ в точке равновесия и смотрят на собственные значения. Если все они в левой полуплоскости ($\operatorname{Re}\lambda < 0$) - равновесие асимптотически устойчиво; если хоть одно в правой - неустойчиво. Граничный (критический) случай с корнями на мнимой оси теорема не разрешает - там нужен прямой метод Ляпунова. Знаки вещественных частей удобно проверять критерием Рауса-Гурвица, не вычисляя сами корни.