Как составить структурную схему САУ и свернуть её

Дано: апериодическое звено $W_1(p) = \dfrac{5}{0{,}5p + 1}$ соединено последовательно с интегрирующим $W_2(p) = \dfrac{2}{p}$, параллельно этой паре включена ветвь $W_3 = 1$, а весь узел охвачен жёсткой отрицательной обратной связью $W_{\text{ос}} = 0{,}25$. Найти: передаточную функцию замкнутой системы.

Схема собирается из трёх типовых соединений, и каждое сворачивается своей формулой: последовательное - перемножением, параллельное - сложением, охват обратной связью - дробью $W / (1 + W W_{\text{ос}})$. Ответ: $W_{\text{з}}(p) = \dfrac{0{,}2p^2 + 0{,}4p + 4}{0{,}25p^2 + 0{,}5p + 1}$ - колебательное звено со статическим коэффициентом 4, постоянной времени 0,5 с и коэффициентом демпфирования 0,5. Калькулятор сверху пересчитает свёртку под другие звенья и сразу покажет переходную характеристику того, что получилось.

Решение по шагам

Дано. Четыре элемента схемы:

Найти: $W_{\text{з}}(p)$ - передаточную функцию замкнутой системы по задающему воздействию.

Шаг 1. Нарисовать схему и разметить сигналы. Слева ставим сумматор: на его плюсовой вход приходит задание, на минусовой - сигнал из цепи обратной связи. С выхода сумматора сигнал ошибки идёт в узел: одна линия ведёт в цепочку $W_1 \to W_2$, вторая уходит в параллельную ветвь $W_3$. Обе линии сходятся во втором сумматоре, и уже с него сигнал идёт на выход системы и одновременно в звено $W_{\text{ос}}$, которое возвращает его на первый сумматор. Пока схема не размечена так, что у каждого блока видно, откуда пришёл вход и куда ушёл выход, сворачивать нечего.

Шаг 2. Свернуть последовательное соединение. У $W_1$ и $W_2$ выход первого служит входом второго, значит передаточные функции перемножаются:

$$W_{12}(p) = W_1(p) \, W_2(p) = \frac{5}{0{,}5p + 1} \cdot \frac{2}{p} = \frac{10}{p\,(0{,}5p + 1)} = \frac{10}{0{,}5p^2 + p}.$$

Знаменатель сразу раскрываем: дальше придётся приводить дроби к общему знаменателю, и в развёрнутом виде это делать удобнее.

Шаг 3. Свернуть параллельное соединение. У $W_{12}$ и $W_3$ общий вход, а выходы сходятся в сумматоре со знаком плюс, поэтому передаточные функции складываются:

$$W_{\text{пр}}(p) = W_{12}(p) + W_3 = \frac{10}{0{,}5p^2 + p} + 1 = \frac{10 + 0{,}5p^2 + p}{0{,}5p^2 + p} = \frac{0{,}5p^2 + p + 10}{0{,}5p^2 + p}.$$

Здесь чаще всего и ломается расчёт: единицу нужно домножить на весь знаменатель, а не приписать к числителю.

Шаг 4. Свернуть охват обратной связью. Теперь вся прямая ветвь - это одно звено $W_{\text{пр}}$, охваченное отрицательной обратной связью $W_{\text{ос}} = 0{,}25$:

$$W_{\text{з}}(p) = \frac{W_{\text{пр}}}{1 + W_{\text{пр}} W_{\text{ос}}} = \frac{0{,}5p^2 + p + 10}{0{,}5p^2 + p + 0{,}25\,(0{,}5p^2 + p + 10)}.$$

Числитель и знаменатель дроби $W_{\text{пр}}$ сократились, потому что единица в знаменателе формулы тоже приводится к тому же общему знаменателю. Приводим подобные:

$$W_{\text{з}}(p) = \frac{0{,}5p^2 + p + 10}{0{,}625p^2 + 1{,}25p + 2{,}5}.$$

Шаг 5. Привести к стандартному виду. Делим числитель и знаменатель на свободный член знаменателя, то есть на 2,5, чтобы в знаменателе осталась единица:

$$W_{\text{з}}(p) = \frac{0{,}2p^2 + 0{,}4p + 4}{0{,}25p^2 + 0{,}5p + 1}.$$

Из знаменателя читаются параметры: $T^2 = 0{,}25$, откуда $T = 0{,}5$ с, и $2\xi T = 0{,}5$, откуда $\xi = 0{,}5$. Демпфирование меньше единицы - корни комплексные, значит переходный процесс колебательный.

Шаг 6. Проверить ответ. Статический коэффициент считаем подстановкой $p = 0$: получается $4/1 = 4$, и это ровно $1/W_{\text{ос}} = 1/0{,}25$. Совпадение не случайно: интегратор в прямой ветви делает её коэффициент бесконечным на нулевой частоте, и установившееся значение задаёт только обратная связь. Второй контроль - по $p \to \infty$: отношение старших коэффициентов равно $0{,}2/0{,}25 = 0{,}8$, столько же даёт мгновенный расчёт по ветви $W_3$, ведь $1/(1 + 1 \cdot 0{,}25) = 0{,}8$. Калькулятор с этими же числами показывает перерегулирование 13,0 % и время регулирования 2,57 с.

Ответ: $W_{\text{з}}(p) = \dfrac{0{,}2p^2 + 0{,}4p + 4}{0{,}25p^2 + 0{,}5p + 1}$, статический коэффициент 4, $T = 0{,}5$ с, $\xi = 0{,}5$.

Формула и откуда она берётся

Все три правила выводятся из одного факта: передаточная функция - это отношение изображения выхода к изображению входа по Лапласу при нулевых начальных условиях, поэтому с ней можно обращаться как с обычным множителем. Подробнее про сам инструмент - в разборе свойств преобразования Лапласа, здесь важно лишь то, что операция линейна и допускает алгебру дробей.

Последовательное соединение: $y_1 = W_1 x$, $y = W_2 y_1 = W_2 W_1 x$, значит $W = W_1 W_2$. Порядок множителей роли не играет, но только в линейной модели: реальные звенья с насыщением так переставлять нельзя.

Параллельное соединение: на оба звена подан один и тот же сигнал, а выходы складываются, поэтому $y = W_1 x + W_2 x$ и $W = W_1 + W_2$. Если в сумматор ветвь входит со знаком минус, она входит и в сумму со знаком минус.

Охват обратной связью выводится за три строки. Обозначим сигнал ошибки $\varepsilon$, тогда

$$\begin{aligned} y &= W \varepsilon, \\ \varepsilon &= x - W_{\text{ос}} \, y. \end{aligned}$$

Подставляем второе в первое: $y = W x - W W_{\text{ос}} y$, переносим и выносим $y$ за скобку: $y\,(1 + W W_{\text{ос}}) = W x$. Отсюда $W_{\text{з}} = W / (1 + W W_{\text{ос}})$. Знак в знаменателе противоположен знаку на входе сумматора: при отрицательной обратной связи в знаменателе плюс, при положительной - минус.

Как составить схему по уравнениям объекта

Чаще задача формулируется иначе: дана система дифференциальных уравнений элемента, а схему надо построить самому. Порядок такой. Сначала все уравнения переводят в операторную форму, заменяя производную умножением на $p$. Затем каждое уравнение разрешают относительно своей выходной переменной - той, которая для этого элемента является результатом, а не причиной.

Дальше работает простое соответствие: одно уравнение - один блок, левая часть уравнения становится выходом блока, правая часть собирается из входов. Одинаковые переменные в разных уравнениях соединяются линией, разности превращаются в сумматоры, а переменная, входящая сразу в несколько уравнений, отмечается узлом разветвления.

Классический пример - двигатель постоянного тока. Уравнение якорной цепи, разрешённое относительно тока, даёт апериодическое звено с входом «напряжение минус противо-ЭДС». Уравнение движения ротора, разрешённое относительно скорости, даёт интегрирующее звено с входом «момент двигателя минус момент сопротивления». Противо-ЭДС пропорциональна скорости, поэтому она замыкается с выхода второго блока на вход первого - так внутри двигателя сама собой появляется внутренняя отрицательная обратная связь, которую потом придётся сворачивать. Дальше схему обычно достраивают регулятором, и следующей задачей становится расчёт коэффициентов ПИД.

Перекрёстные связи: перенос узла и сумматора

Формулы свёртки работают только для непересекающихся соединений. Если узел стоит внутри одного контура, а сигнал из него заводится в сумматор другого, контуры пересекаются, и напрямую свернуть схему нельзя. Тогда узел или сумматор переносят через звено, компенсируя перенос дополнительным блоком, чтобы сигналы в схеме не изменились.

Проверка после переноса всегда одна: выписать выражение для сигнала в контрольной точке до и после преобразования и убедиться, что они совпадают. Сворачивают схему изнутри наружу - сначала внутренние контуры, затем внешние, и после каждого шага схему перерисовывают, заменив свёрнутый кусок одним блоком. Если контуров много и переносов получается больше двух-трёх, быстрее выходит формула Мейсона, которая даёт передаточную функцию сразу по путям и контурам графа.

Свёрнутая передаточная функция - это ещё не ответ на вопрос об устойчивости. Дальше по ней строят логарифмическую амплитудную характеристику и снимают запасы по амплитуде и фазе.

Частые ошибки

• Складывают передаточные функции последовательных звеньев или перемножают параллельные. Правило запоминается через смысл: последовательно сигнал проходит два преобразования подряд, поэтому коэффициенты умножаются.
• При сложении параллельных ветвей забывают привести к общему знаменателю: в шаге 3 единицу нужно домножить на $0{,}5p^2 + p$, иначе числитель получится неверным.
• Теряют знак в знаменателе формулы обратной связи. Быстрая проверка: отрицательная обратная связь уменьшает общий коэффициент передачи, и если после свёртки он вырос, знак перепутан.
• Подставляют в формулу $W / (1 + W W_{\text{ос}})$ только одно звено вместо всей прямой ветви между сумматором и точкой съёма сигнала.
• Начинают свёртку с внешнего контура, не разобравшись с перекрёстной связью, и получают формулу, которая к схеме отношения не имеет.
• Не приводят результат к стандартному виду и потому не могут назвать ни постоянную времени, ни коэффициент демпфирования, хотя дробь уже получена.

FAQ

Чем структурная схема отличается от функциональной? Функциональная схема показывает устройства и их назначение: датчик, усилитель, исполнительный механизм. Структурная показывает математические операции над сигналами, и один прибор на ней может распасться на два-три звена, а два разных устройства с одинаковой динамикой изобразятся одинаковыми блоками.

Чем структурная схема САУ отличается от структурной схемы надёжности? Совпадает только название. В схеме надёжности блок означает «элемент работает или отказал», а соединения показывают, отказ какой комбинации элементов губит систему, и там считают вероятности, а не передаточные функции. Разбор такого расчёта - в статье про структурную схему надёжности.

Можно ли свернуть схему с пересекающимися контурами? Да, но сначала контуры нужно развязать переносом узла или сумматора через звено с добавлением компенсирующего блока. После этого схема сворачивается обычными правилами изнутри наружу. Альтернатива - формула Мейсона, она не требует перерисовки.

Меняется ли передаточная функция от того, где стоит точка съёма выхода? Да, и сильно. Одна и та же схема даёт разные передаточные функции по задающему воздействию, по возмущению и по ошибке. Прежде чем сворачивать, надо чётко назвать вход и выход, для которых ищется $W(p)$.

Коротко

1. Размечаем схему: сумматоры, узлы, направления сигналов, вход и выход, для которых ищется передаточная функция.
2. Последовательное соединение сворачиваем перемножением: $W_{12} = 10/(0{,}5p^2 + p)$.
3. Параллельное соединение сворачиваем сложением с приведением к общему знаменателю: $W_{\text{пр}} = (0{,}5p^2 + p + 10)/(0{,}5p^2 + p)$.
4. Охват обратной связью сворачиваем по формуле $W/(1 + W W_{\text{ос}})$ и приводим подобные.
5. Ответ приводим к стандартному виду: $W_{\text{з}}(p) = (0{,}2p^2 + 0{,}4p + 4)/(0{,}25p^2 + 0{,}5p + 1)$, статический коэффициент 4, $T = 0{,}5$ с, $\xi = 0{,}5$, и проверяем его подстановкой $p = 0$.