Как построить АФЧХ по передаточной функции: пример

Дано: разомкнутая система с передаточной функцией $W(s) = \dfrac{5}{(0{,}3s+1)(0{,}2s+1)(0{,}1s+1)}$. Найти: АФЧХ, точку пересечения вещественной оси и вывод об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ строится по одному правилу: подставить $s = j\omega$, разделить результат на вещественную и мнимую части и провести кривую по точкам от нулевой частоты до бесконечной. Ответ: годограф выходит из точки $(5;\,j0)$, при $\omega = 3{,}02$ рад/с пересекает мнимую ось в точке $-j3{,}04$, при $\omega_{\pi} = 10$ рад/с пересекает вещественную ось в точке $-0{,}5$ и стягивается в начало координат вдоль положительной мнимой полуоси. Точка $(-1;\,j0)$ остаётся вне годографа, значит замкнутая система устойчива; запас по модулю 2 раза (6 дБ), запас по фазе 25°. Калькулятор сверху чертит этот же годограф для любых $K$ и постоянных времени.

Решение по шагам

Шаг 1. Подставляем $s = j\omega$ и перемножаем знаменатель. Частотная передаточная функция получается формальной заменой оператора $s$ на $j\omega$:

$$W(j\omega) = \frac{5}{(1 + j0{,}3\omega)(1 + j0{,}2\omega)(1 + j0{,}1\omega)}.$$

Скобки перемножаются как обычные комплексные числа, с учётом $j^2 = -1$ и $j^3 = -j$:

$$\begin{aligned} D(j\omega) &= 1 + j\omega(0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1) + (j\omega)^2(0{,}06 + 0{,}03 + 0{,}02) + (j\omega)^3 \cdot 0{,}006 \\ &= \underbrace{1 - 0{,}11\omega^2}_{A(\omega)} + j\underbrace{(0{,}6\omega - 0{,}006\omega^3)}_{B(\omega)}. \end{aligned}$$

Шаг 2. Избавляемся от мнимости в знаменателе. Дробь домножается на число, сопряжённое знаменателю, после чего вещественная и мнимая части выписываются по отдельности:

$$W(j\omega) = \frac{5\,(A - jB)}{A^2 + B^2}, \qquad P(\omega) = \frac{5A}{A^2 + B^2}, \qquad Q(\omega) = -\,\frac{5B}{A^2 + B^2}.$$

Здесь $P$ - вещественная часть, её откладывают по горизонтальной оси, $Q$ - мнимая, она идёт по вертикальной. Пара чисел $(P;\,Q)$ при фиксированной частоте и есть одна точка годографа.

Шаг 3. Считаем крайние точки. При $\omega = 0$ обе поправки обнуляются: $A = 1$, $B = 0$, значит $W(0) = 5 + j0$. Годограф всегда стартует на вещественной оси в точке, равной коэффициенту передачи. При $\omega \to \infty$ знаменатель растёт как $-j\,0{,}006\omega^3$, поэтому $W \to +j\,\dfrac{5}{0{,}006\omega^3} \to 0$: кривая втягивается в начало координат, подходя к нему вдоль положительной мнимой полуоси. Фаза при этом стремится к $-270°$ - по $-90°$ на каждое из трёх апериодических звеньев.

Шаг 4. Находим пересечения осей - это опорные точки построения. Мнимую ось годограф пересекает там, где $P = 0$, то есть где $A(\omega) = 0$:

$$1 - 0{,}11\omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\tfrac{1}{0{,}11}} = 3{,}02\ \text{рад/с}, \qquad W = -j3{,}04.$$

Вещественную ось годограф пересекает там, где $Q = 0$, то есть где $B(\omega) = 0$:

$$0{,}6\omega - 0{,}006\omega^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_{\pi} = \sqrt{\tfrac{0{,}6}{0{,}006}} = 10\ \text{рад/с}.$$

Подставляем эту частоту обратно: $A(10) = 1 - 0{,}11 \cdot 100 = -10$, $B(10) = 0$, поэтому $W(j10) = \dfrac{5}{-10} = -0{,}5$. Это ключевое число всей задачи.

Шаг 5. Набираем промежуточные точки и чертим кривую. Достаточно пяти-шести частот, разбросанных по диапазону:

Точки соединяются плавной линией в порядке возрастания частоты. Кривая идёт из четвёртого квадранта в третий, затем во второй и закручивается к нулю - характерная «улитка» системы из трёх инерционных звеньев.

Шаг 6. Делаем вывод по критерию Найквиста. Разомкнутая система устойчива: все три постоянные времени положительны, полюсов в правой полуплоскости нет. Значит замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда годограф не охватывает точку $(-1;\,j0)$. Наш годограф пересекает отрицательную вещественную полуось в точке $-0{,}5$, то есть правее критической точки, и охватить её не может.

Ответ: АФЧХ выходит из точки $5 + j0$, пересекает мнимую ось при $\omega = 3{,}02$ рад/с и вещественную - при $\omega_{\pi} = 10$ рад/с в точке $-0{,}5$; точка $(-1;\,j0)$ не охвачена, замкнутая система устойчива.

Формула и откуда она берётся

Передаточная функция $W(s)$ - это отношение изображений выхода и входа по Лапласу. Подстановка $s = j\omega$ переводит её на мнимую ось, где оператор Лапласа совпадает с преобразованием Фурье. Физический смысл получается прямой: если на вход подать синусоиду частоты $\omega$, то на выходе установится синусоида той же частоты, увеличенная в $\lvert W(j\omega) \rvert$ раз и сдвинутая по фазе на $\varphi(\omega)$. Как считается такой сдвиг для отдельного звена, разобрано в задаче про сдвиг фаз.

Модуль и фазу почти всегда быстрее считать не через $P$ и $Q$, а прямо по сомножителям. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент - сумме аргументов, а при делении они вычитаются:

$$\lvert W(j\omega) \rvert = \frac{5}{\sqrt{1 + (0{,}3\omega)^2}\,\sqrt{1 + (0{,}2\omega)^2}\,\sqrt{1 + (0{,}1\omega)^2}}, \qquad \varphi(\omega) = -\sum_{k=1}^{3} \operatorname{arctg}(T_k\omega).$$

Отсюда видно всё поведение кривой сразу. Модуль монотонно падает от $K$ до нуля, фаза монотонно убывает от нуля до $-90°$ на каждое звено. Два звена дают предел $-180°$, который никогда не достигается, три звена этот рубеж проходят - и именно поэтому система из трёх инерционных звеньев вообще способна потерять устойчивость, а из двух - нет.

Запасы устойчивости прямо по годографу

Устойчивость по Найквисту - ответ «да или нет», а запасы показывают, насколько далеко система от границы. Запас по модулю измеряется в точке пересечения вещественной оси: у нас $\lvert W(j\omega_{\pi}) \rvert = 0{,}5$, значит коэффициент передачи можно увеличить в $1/0{,}5 = 2$ раза, прежде чем годограф упрётся в минус единицу. В логарифмической форме это $20\lg 2 = 6$ дБ - нижняя граница того, что обычно считают приемлемым.

Критический коэффициент передачи ищется из того же равенства: $K_{\text{кр}} = K / \lvert P(\omega_{\pi}) \rvert = 5/0{,}5 = 10$. Проверить его можно независимо, через алгебраический критерий: для трёх апериодических звеньев условие Гурвица даёт $K_{\text{кр}} = \dfrac{(T_1+T_2+T_3)(T_1T_2+T_1T_3+T_2T_3)}{T_1T_2T_3} - 1 = \dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}11}{0{,}006} - 1 = 10$. Совпадение двух методов - хорошая страховка от арифметической ошибки; как составляется само характеристическое уравнение, показано в разборе характеристического уравнения.

Запас по фазе снимается в другой точке - там, где годограф пересекает окружность единичного радиуса. Для нашей системы это $\omega_{\text{ср}} = 7{,}09$ рад/с, фаза на ней $-155°$, значит до критического луча $-180°$ остаётся $25°$. Это меньше рекомендуемых $30…60°$: система устойчива, но переходный процесс будет заметно колебательным. Те же две величины снимаются и с логарифмических характеристик - построение показано в разборе ЛАЧХ по передаточной функции, а способы поднять запас без потери точности разбираются при настройке ПИД-регулятора.

Если система задана иначе

Астатическая система с множителем $s$ в знаменателе строится так же, но её годограф начинается не на вещественной оси, а уходит в бесконечность: при $\omega \to 0$ модуль растёт неограниченно, а фаза стартует с $-90°$, поэтому ветвь приходит из бесконечности параллельно мнимой оси. Два интегратора дают старт с $-180°$ и ветвь из бесконечности вдоль вещественной оси.

Колебательное звено с $\xi < 0{,}707$ даёт на годографе резонансный выброс: модуль сначала растёт выше $K$ и только потом падает. Звено запаздывания $e^{-\tau s}$ модуль не меняет вовсе, зато добавляет к фазе $-\tau\omega$ радиан - годограф закручивается в спираль и пересекает вещественную ось бесконечно много раз, и смотреть нужно на первое пересечение. Если же разомкнутая система сама неустойчива, простого правила «не охватывать точку» уже мало: считают число оборотов годографа вокруг минус единицы и сравнивают с числом правых полюсов.

Частые ошибки

• Забывают, что $(j\omega)^2 = -\omega^2$, и оставляют знак плюс - вещественная часть тогда никогда не станет отрицательной, а годограф не уйдёт левее нуля.
• Делят на комплексный знаменатель «в лоб», не домножая на сопряжённое, и получают $P$ и $Q$ вперемешку.
• Ищут пересечение вещественной оси из условия $P = -1$ вместо $Q = 0$. Условие $Q = 0$ даёт частоту, а уже подстановка в $P$ - саму точку.
• Путают, какая точка критическая: это $(-1;\,j0)$, а не начало координат и не $(1;\,j0)$.
• Строят кривую по точкам с равномерным шагом частоты: в районе перегиба точек не хватает, и «улитка» превращается в ломаную. Шаг нужно сгущать возле характерных частот.
• Принимают близость годографа к минус единице за неустойчивость. Пока точка не охвачена, система устойчива, просто запас мал.
• Соединяют точки в произвольном порядке. Направление обхода задаёт рост частоты, и стрелка на кривой обязательна.

FAQ

Чем АФЧХ отличается от АЧХ и ФЧХ? АЧХ и ФЧХ - два отдельных графика, где по горизонтали отложена частота, а по вертикали модуль и фаза. АФЧХ объединяет их в одну кривую на комплексной плоскости: частота становится параметром вдоль кривой, а не осью. Информация та же самая, но охват критической точки виден сразу.

В каком диапазоне частот считать точки? Ориентир - обратные величины постоянных времени. У нас они дают 3,33, 5 и 10 рад/с, значит диапазон от нуля до примерно 30 рад/с описывает кривую полностью, а дальше годограф уже неотличим от точки в начале координат.

Что делать, если годограф проходит ровно через минус единицу? Это граница устойчивости: замкнутая система даёт незатухающие колебания частоты $\omega_{\pi}$. В нашем примере так будет при $K = 10$. Проектировать систему в этой точке нельзя - любой дрейф параметров уводит её в неустойчивость.

Нужно ли достраивать ветвь для отрицательных частот? В строгой формулировке критерия годограф замыкают зеркальным отражением относительно вещественной оси и считают обороты вокруг минус единицы. Для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, достаточно ветви $\omega \ge 0$ и проверки «правее или левее минус единицы».

Коротко

1. Подставь $s = j\omega$, перемножь скобки знаменателя и приведи его к виду $A(\omega) + jB(\omega)$.
2. Домножь дробь на сопряжённое: $P = 5A/(A^2+B^2)$, $Q = -5B/(A^2+B^2)$.
3. Отметь крайние точки: $W(0) = K = 5$ на вещественной оси и ноль при $\omega \to \infty$ с подходом под углом $-270°$.
4. Найди пересечения осей: $A = 0$ даёт $\omega = 3{,}02$ рад/с и точку $-j3{,}04$; $B = 0$ даёт $\omega_{\pi} = 10$ рад/с и точку $-0{,}5$.
5. Проведи кривую по точкам и сравни точку $-0{,}5$ с минус единицей: она правее, охвата нет, замкнутая система устойчива с запасом по модулю 2 раза (6 дБ) и по фазе 25°.