Как найти сдвиг фаз: по уравнениям и осциллограмме

Дано: напряжение $u = 311\sin(314t + 30^\circ)$ В и ток $i = 14{,}1\sin(314t - 15^\circ)$ А. Найти: угол сдвига фаз $\varphi$, какая из величин опережает и на сколько миллисекунд сдвинуты кривые на экране осциллографа.

Обе синусоиды имеют одну частоту, поэтому сдвиг фаз равен разности начальных фаз, а в миллисекунды он переводится через долю периода. Ответ: $\varphi = 45^\circ$ ($\pi/4$ рад), напряжение опережает ток, то есть ток отстаёт, нагрузка активно-индуктивная; на осциллограмме максимум тока запаздывает на $\Delta t = 2{,}5$ мс при периоде $20$ мс. Калькулятор сверху рисует эти же кривые и пересчитывает угол под любые свои уравнения или снятые с экрана деления.

Решение по шагам

Шаг 1. Проверить, что сдвиг вообще определён. Сравнивать фазы можно только у синусоид одной частоты. В обоих уравнениях при $t$ стоит одна и та же угловая частота $\omega = 314$ рад/с, значит частота и период у напряжения и тока общие:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{314}{2\pi} \approx 50\ \text{Гц}, \qquad T = \frac{1}{f} = 0{,}02\ \text{с} = 20\ \text{мс}.$$

Обе функции записаны через синус с положительной амплитудой, так что начальные фазы берутся прямо из скобок.

Шаг 2. Выписать начальные фазы. Начальная фаза - это слагаемое в скобке, которое остаётся при $t = 0$, и знак берётся вместе с ним. Сведём исходные данные в таблицу:

Амплитуды в расчёте угла не участвуют: сдвиг фаз говорит только о том, когда кривые проходят через нуль и максимум.

Шаг 3. Найти сдвиг фаз. В электротехнике угол сдвига фаз отсчитывают от тока к напряжению:

$$\varphi = \psi_u - \psi_i = 30^\circ - (-15^\circ) = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\ \text{рад} \approx 0{,}785\ \text{рад}.$$

Минус на минус даёт плюс, поэтому углы здесь фактически складываются.

Шаг 4. Определить, что опережает. Угол вышел положительным: начальная фаза напряжения больше, чем у тока. Значит, напряжение раньше проходит через каждую характерную точку периода, то есть опережает ток на $45^\circ$. Та же мысль с другой стороны: ток отстаёт от напряжения на $45^\circ$.

Такой знак дают цепи, где индуктивное сопротивление преобладает над ёмкостным. Угол при этом меньше $90^\circ$, значит в цепи есть и активное сопротивление: нагрузка активно-индуктивная.

Шаг 5. Перевести угол во время. За период фаза пробегает полный оборот $360^\circ$. Поэтому сдвиг во времени составляет такую же долю периода, какую угол составляет от полного оборота:

$$\Delta t = \frac{\varphi}{360^\circ}\,T = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot 20\ \text{мс} = 2{,}5\ \text{мс}.$$

Проверим через максимумы. Напряжение максимально, когда $314t + 30^\circ = 90^\circ$, то есть через $\tfrac{60}{360} \cdot 20 = 3{,}33$ мс. Ток максимален, когда $314t - 15^\circ = 90^\circ$, через $\tfrac{105}{360} \cdot 20 = 5{,}83$ мс. Разность $5{,}83 - 3{,}33 = 2{,}5$ мс сошлась.

Ответ. Сдвиг фаз $\varphi = 45^\circ$ ($\pi/4$ рад); напряжение опережает ток, ток отстаёт, нагрузка носит активно-индуктивный характер. На осциллограмме максимум тока наступает на $2{,}5$ мс позже максимума напряжения, это одна восьмая периода. Коэффициент мощности такой нагрузки $\cos 45^\circ = 0{,}707$; как по этому углу найти активную и реактивную мощность, показано в задаче про реактивную мощность.

Формула и откуда она берётся

Синусоида $u = U_m\sin(\omega t + \psi_u)$ задаётся тремя числами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. Всё выражение в скобках, $\omega t + \psi_u$, называют фазой. Она растёт со временем и показывает, в какой точке своего периода находится колебание, а начальная фаза - это её значение в момент $t = 0$.

Для двух колебаний одной частоты разность фаз от времени не зависит:

$$(\omega t + \psi_u) - (\omega t + \psi_i) = \psi_u - \psi_i = \varphi.$$

Слагаемые $\omega t$ сокращаются, поэтому отставание одной кривой от другой одинаково в любой момент и считается по начальным фазам. При разных частотах разность росла бы со временем, и постоянного сдвига нет.

Почему опережает величина с большей начальной фазой? В момент $t = 0$ напряжение уже прошло $30^\circ$ своего периода после перехода через нуль, а ток ещё не дошёл до нуля, ему осталось $15^\circ$. Все события периода напряжение переживает раньше.

Знак угла в ТОЭ выбран не случайно: $\varphi = \psi_u - \psi_i$ совпадает с аргументом комплексного сопротивления цепи, поэтому для RLC-цепи тот же угол получается из сопротивлений, как показано в разборе полного сопротивления RLC-цепи. У резистора $\varphi = 0$, у идеальной катушки $+90^\circ$, у идеального конденсатора $-90^\circ$. В школьных задачниках по физике иногда говорят о сдвиге тока относительно напряжения, и знак там противоположный. Поэтому в ответе полезно всегда писать словами, что именно отстаёт.

Связь угла и времени следует из того, что фаза нарастает равномерно со скоростью $\omega$:

$$\Delta t = \frac{\varphi_{\text{рад}}}{\omega} = \frac{\varphi^\circ}{360^\circ}\,T, \qquad \varphi^\circ = \frac{\Delta t}{T} \cdot 360^\circ.$$

В первую форму угол подставляется только в радианах: $0{,}785 / 314 = 2{,}5 \cdot 10^{-3}$ с, те же 2,5 мс.

Как найти сдвиг фаз по осциллограмме

На осциллограмме уравнений нет, и угол находят обратным ходом, через время. Измеряют два отрезка по горизонтали: период $T$ и сдвиг $\Delta t$ между ближайшими одинаковыми точками двух кривых. Удобнее брать переходы через нуль в сторону роста: они резкие, а вершина синусоиды пологая, и её положение глазом определяется хуже.

В нашей задаче развёртка 2 мс на деление, период занимает 10 делений, а ток пересекает нуль на 1,25 деления правее напряжения.

$$\varphi = \frac{\Delta t}{T} \cdot 360^\circ = \frac{1{,}25}{10} \cdot 360^\circ = 45^\circ.$$

Цена деления сократилась: для угла достаточно отношения делений, а развёртка нужна лишь затем, чтобы найти частоту. Кривая, которая правее, проходит те же точки позже и поэтому отстаёт; здесь это ток. Если сдвиг вышел больше половины периода, берут соседнюю пару точек: отставание на $300^\circ$ - это опережение на $60^\circ$. В калькуляторе сверху есть режим «Осциллограмма», и его дефолтные деления дают те же $45^\circ$.

Второй способ - фигура Лиссажу. Если подать напряжение на вход X, а ток через шунт на вход Y, луч рисует эллипс. Длину отрезка $2y_0$, который эллипс отсекает на вертикальной оси, делят на полную высоту эллипса $2y_{\max}$: получается $\sin|\varphi|$. При $45^\circ$ отношение равно $0{,}707$. Знак угла этот способ не показывает, его определяют по развёртке во времени.

Если уравнения записаны иначе

Разность начальных фаз работает, только когда обе функции записаны одинаково: синус, положительная амплитуда, углы в одних единицах. Иначе функции сначала приводят к общему виду.

Одна функция через косинус. Используют формулу $\cos x = \sin(x + 90^\circ)$. Например, ток $i = 14{,}1\cos(314t - 105^\circ)$ - это тот же ток, что в нашей задаче: $-105^\circ + 90^\circ = -15^\circ$. Без пересчёта ответ ошибётся ровно на $90^\circ$.

Отрицательная амплитуда. Минус перед синусом равносилен повороту на $180^\circ$: $-U_m\sin x = U_m\sin(x + 180^\circ)$. Так, запись $u = -311\sin(314t - 150^\circ)$ задаёт то же самое напряжение $311\sin(314t + 30^\circ)$.

Фазы в радианах. Если дано $\psi_u = \pi/6$ и $\psi_i = -15^\circ$, сначала переводят всё в одни единицы: $\pi/6 = 30^\circ$.

Разность вышла за $180^\circ$. Пусть $\psi_u = 150^\circ$ и $\psi_i = -120^\circ$, разность равна $270^\circ$. Её приводят к интервалу от $-180^\circ$ до $180^\circ$, вычитая $360^\circ$: $\varphi = -90^\circ$, то есть ток опережает напряжение на четверть периода, как у идеального конденсатора.

Дано в комплексной форме. Если записаны комплексные амплитуды $\dot U_m = 311e^{j30^\circ}$ и $\dot I_m = 14{,}1e^{-j15^\circ}$, угол равен разности аргументов. Отношение $\dot U_m / \dot I_m = 22e^{j45^\circ}$ Ом сразу даёт и сдвиг фаз, и модуль сопротивления. Как переходить от синусоид к комплексным амплитудам и обратно, разобрано в статье про метод комплексных амплитуд.

Частые ошибки

• Теряют знак начальной фазы. Пишут $30^\circ - 15^\circ = 15^\circ$ вместо $30^\circ - (-15^\circ) = 45^\circ$. Минус в скобке уравнения тока - часть начальной фазы, вычитается он вместе с числом.
• Вычитают фазу синуса из фазы косинуса. Без приведения к одной функции ответ сдвигается на $90^\circ$, и индуктивная нагрузка может превратиться в ёмкостную.
• Путают, что опережает, по осциллограмме. Кривая, чей максимум правее, достигает его позже и отстаёт.
• Меряют сдвиг между максимумом одной кривой и минимумом другой или между несоседними максимумами. Это добавляет к углу $180^\circ$ или целый период.
• Подставляют градусы в $\Delta t = \varphi/\omega$. При $\omega$ в рад/с угол нужен в радианах, иначе $45/314$ даст 143 мс вместо 2,5 мс.
• Оставляют угол вне интервала от $-180^\circ$ до $180^\circ$. Ответ «ток отстаёт на $270^\circ$» описывает то же положение кривых, но принятая форма - «ток опережает на $90^\circ$».

FAQ

Что такое сдвиг фаз простыми словами? Это то, насколько одна синусоида запаздывает относительно другой, выраженное в долях периода. Полный период принят за $360^\circ$, поэтому сдвиг на восьмую часть периода - это $45^\circ$, а на четверть - $90^\circ$.

Почему в катушке ток отстаёт, а в конденсаторе опережает? Напряжение на катушке пропорционально скорости изменения тока, $u_L = L\,di/dt$, а производная синуса - это синус, сдвинутый на $+90^\circ$. У конденсатора наоборот: ток пропорционален скорости изменения напряжения, $i_C = C\,du/dt$, поэтому вперёд уходит ток. Подробнее - в статье про реактивное сопротивление катушки и конденсатора.

Как найти сдвиг фаз, если даны R, L и C, а не уравнения? Тогда уравнения не нужны: угол определяется соотношением реактивного и активного сопротивлений. Этот путь разобран в статье про импеданс цепи переменного тока, а наглядно угол виден на векторной диаграмме.

Может ли сдвиг фаз быть больше 180 градусов? Как число может, но в ответе его приводят к интервалу от $-180^\circ$ до $180^\circ$: отставание на $270^\circ$ и опережение на $90^\circ$ означают одно и то же положение кривых. Для пассивной нагрузки из резисторов, катушек и конденсаторов модуль угла вообще не превышает $90^\circ$.

Коротко

1. Убедиться, что частоты одинаковы, и привести обе функции к синусу с положительной амплитудой и углами в одних единицах.
2. Найти $\varphi = \psi_u - \psi_i$; в примере $30^\circ - (-15^\circ) = 45^\circ$, результат держать в интервале от $-180^\circ$ до $180^\circ$.
3. При $\varphi > 0$ напряжение опережает, ток отстаёт (индуктивная нагрузка); при $\varphi < 0$ ток опережает (ёмкостная).
4. Перевести угол во время: $\Delta t = \frac{\varphi}{360^\circ}T = \frac{45}{360} \cdot 20 = 2{,}5$ мс.
5. По осциллограмме - обратный ход: $\varphi = \frac{\Delta t}{T} \cdot 360^\circ = \frac{1{,}25}{10} \cdot 360^\circ = 45^\circ$.