Как построить векторную диаграмму: пример расчёта

Дано: последовательная цепь R-L-C, $R = 30$ Ом, $L = 191$ мГн, $C = 159$ мкФ, напряжение сети $U = 220$ В, частота $f = 50$ Гц. Найти: ток, напряжения на элементах, угол сдвига фаз и построить векторную диаграмму.

Диаграмму строят от опорного вектора тока: в последовательной цепи он один на все элементы, поэтому от него удобно отсчитывать фазы напряжений. Ответ: $I = 4{,}4$ А, $U_R = 132$ В, $U_L = 264$ В, $U_C = 88$ В, угол $\varphi = 53{,}1^\circ$, характер цепи индуктивный. Калькулятор сверху перестраивает ту же диаграмму под любые параметры, ниже - решение по шагам с масштабом построения.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $I$, $U_R$, $U_L$, $U_C$, $\varphi$ и векторную диаграмму цепи.

Шаг 1. Угловая частота. Все формулы реактивных сопротивлений работают не с частотой в герцах, а с угловой частотой:

$$\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50 \approx 314\ \text{рад/с}.$$

Шаг 2. Реактивные сопротивления. Катушка и конденсатор сопротивляются переменному току по-разному: у катушки сопротивление растёт с частотой, у конденсатора падает. Индуктивность переводим в генри, ёмкость - в фарады:

$$X_L = \omega L = 314 \cdot 0{,}191 \approx 60\ \text{Ом}, \qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \cdot 159 \cdot 10^{-6}} \approx 20\ \text{Ом}.$$

Шаг 3. Полное сопротивление. Активное и реактивное сопротивления складываются не арифметически, а по теореме Пифагора, причём реактивные входят разностью:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (60 - 20)^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50\ \text{Ом}.$$

Шаг 4. Ток в цепи. Цепь последовательная, ток один и тот же во всех элементах:

$$I = \frac{U}{Z} = \frac{220}{50} = 4{,}4\ \text{А}.$$

Шаг 5. Напряжения на элементах - это и есть длины векторов. Каждое падение напряжения считается по закону Ома для своего участка:

$$U_R = I R = 4{,}4 \cdot 30 = 132\ \text{В}, \quad U_L = I X_L = 4{,}4 \cdot 60 = 264\ \text{В}, \quad U_C = I X_C = 4{,}4 \cdot 20 = 88\ \text{В}.$$

Шаг 6. Само построение. Горизонтально откладываем опорный вектор тока $I$. От начала координат вдоль него строим $U_R = 132$ В. От конца этого вектора вверх под прямым углом откладываем $U_L = 264$ В, а от конца $U_L$ вниз - $U_C = 88$ В. Замыкающий вектор из начала координат в конечную точку и есть напряжение сети $U$.

Шаг 7. Результат и угол. Вертикальный катет получившегося треугольника равен $U_L - U_C = 264 - 88 = 176$ В, горизонтальный - $U_R = 132$ В:

$$U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2} = \sqrt{132^2 + 176^2} = \sqrt{48400} = 220\ \text{В},$$ $$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{U_L - U_C}{U_R} = \operatorname{arctg}\frac{176}{132} = \operatorname{arctg} 1{,}33 \approx 53{,}1^\circ.$$

Полученные 220 В совпали с заданным напряжением сети - построение выполнено верно, ошибок в арифметике нет.

Ответ: $I = 4{,}4$ А, $U_R = 132$ В, $U_L = 264$ В, $U_C = 88$ В, угол сдвига фаз $\varphi \approx 53{,}1^\circ$, $\cos\varphi = 0{,}6$; напряжение сети опережает ток, характер цепи индуктивный.

Как выбрать масштаб и начертить диаграмму на бумаге

В контрольной диаграмму требуют не «примерно», а в масштабе, и именно на этом теряют баллы чаще, чем на формулах. Масштаб выбирают так, чтобы самый длинный вектор занял пять-семь сантиметров: меньше - не видно углов, больше - не помещается на листе.

У нас самый длинный вектор $U_L = 264$ В. Берём масштаб $m_U = 40$ В/см и переводим все напряжения в сантиметры делением на масштаб:

Для тока задают отдельный масштаб, потому что амперы и вольты на одном чертеже несопоставимы: при $m_I = 1$ А/см опорный вектор тока получается длиной 4,4 см. Масштабы обязательно подписывают рядом с диаграммой - без них чертёж считается незаконченным.

Порядок черчения простой. Проводим горизонтальную ось, откладываем на ней вектор тока. Из той же точки вдоль оси откладываем 3,3 см - это $U_R$. Из конца $U_R$ восставляем перпендикуляр вверх на 6,6 см - это $U_L$, из его конца вниз отмеряем 2,2 см - это $U_C$. Соединяем начало координат с последней точкой: замыкающая должна выйти 5,5 см, а транспортир должен показать между ней и осью тока около 53 градусов. Совпали расчёт и чертёж - диаграмма верна.

Формула и откуда она берётся

Углы в 90 градусов не выбраны произвольно: напряжение на катушке опережает ток на четверть периода, а на конденсаторе отстаёт на ту же четверть. Поэтому вектор $U_L$ поворачивают против часовой стрелки, а $U_C$ - по часовой, и они всегда направлены в противоположные стороны вдоль одной вертикали. Подробный вывод фазовых соотношений разобран в статье про построение векторной диаграммы цепи переменного тока - здесь важно, что из этих поворотов сразу получается прямоугольный треугольник.

Разделив все стороны треугольника напряжений на ток $I$, получим подобный ему треугольник сопротивлений с катетами $R$ и $X = X_L - X_C$ и гипотенузой $Z$. Переключатель в калькуляторе сверху показывает именно эту вторую форму: углы одинаковы, меняются только подписи и единицы. Отсюда и равенство двух способов найти сдвиг фаз:

$$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{U_L - U_C}{U_R} = \operatorname{arctg}\frac{X_L - X_C}{R} = \operatorname{arctg}\frac{40}{30} \approx 53{,}1^\circ.$$

Знак разности определяет характер цепи. При $X_L > X_C$ вертикальный катет смотрит вверх, угол положителен, напряжение опережает ток - цепь индуктивная, как в нашей задаче. При $X_L < X_C$ катет уходит вниз, угол отрицателен, цепь ёмкостная. При равенстве наступает резонанс напряжений: треугольник вырождается в отрезок, $\varphi = 0$, а $Z = R$. Для наших $L$ и $C$ резонанс был бы на частоте $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) \approx 28{,}9$ Гц, то есть промышленные 50 Гц её уже прошли - потому цепь и ведёт себя как индуктивная.

Если цепь параллельная: диаграмма токов

Когда элементы включены параллельно, опорным берут не ток, а напряжение: оно общее для всех ветвей. Векторы теперь строят из токов ветвей, причём повороты меняются местами. Ток через резистор совпадает с напряжением по фазе, ток катушки отстаёт от него на 90 градусов и откладывается вниз, ток конденсатора опережает и идёт вверх.

Возьмём те же 220 В и те же сопротивления, но соединим ветви параллельно: $I_R = 220/30 \approx 7{,}33$ А, $I_L = 220/60 \approx 3{,}67$ А, $I_C = 220/20 = 11$ А. Реактивная составляющая равна $I_C - I_L = 7{,}33$ А, а ток в неразветвлённой части находится той же теоремой Пифагора:

$$I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} = \sqrt{7{,}33^2 + 7{,}33^2} \approx 10{,}4\ \text{А}.$$

Катеты равны, значит угол ровно $45^\circ$, и цепь оказалась ёмкостной, хотя элементы те же самые. Это и есть главное отличие: при параллельном включении конденсатор с малым сопротивлением забирает больший ток, а при последовательном - меньшее напряжение.

Проверка ответа через мощности

Диаграмму полезно проверять не только по замыкающему вектору, но и через мощности - если они сходятся, ошибок в расчёте нет. Активная мощность выделяется только на резисторе: $P = I^2 R = 4{,}4^2 \cdot 30 = 580{,}8$ Вт. Полная мощность считается по произведению действующих значений: $S = U I = 220 \cdot 4{,}4 = 968$ В·А.

Отношение этих величин даёт коэффициент мощности: $\cos\varphi = P/S = 580{,}8/968 = 0{,}6$, что соответствует углу $53{,}1^\circ$ и совпадает с результатом построения. Стороны треугольника мощностей относятся так же, как стороны треугольника напряжений, - это третья, энергетическая форма всё той же диаграммы. Для расчёта цепей постоянного тока такой геометрии не нужно совсем: там достаточно свёртки схемы, разобранной в задаче про общее сопротивление цепи.

Частые ошибки

• Складывать напряжения арифметически. Сумма $132 + 264 + 88 = 484$ В не имеет смысла и втрое превышает реальные 220 В: векторы направлены под разными углами, складывать можно только геометрически.
• Подставлять в формулы частоту вместо угловой частоты. В $X_L = \omega L$ и $X_C = 1/(\omega C)$ стоит $\omega = 2\pi f$; подстановка 50 вместо 314 занижает $X_L$ в шесть с лишним раз.
• Забыть перевести миллигенри и микрофарады. В расчёт идут генри и фарады: 191 мГн - это 0,191 Гн, а 159 мкФ - это $159 \cdot 10^{-6}$ Ф.
• Перепутать направления поворота. Вверх откладывают напряжение на катушке, вниз - на конденсаторе. Перепутанные направления дают верный модуль, но неверный знак угла и ошибочный вывод о характере цепи.
• Считать ошибкой то, что $U_L = 264$ В больше напряжения сети 220 В. На реактивных элементах напряжение вполне может превышать сетевое, потому что часть его компенсируется противоположным вектором $U_C$.
• Чертить без масштаба и не подписывать его. Диаграмма без указанных $m_U$ и $m_I$ не проверяется преподавателем и не засчитывается, даже если пропорции соблюдены.

FAQ

С какого вектора начинать построение? С того, который общий для всех элементов. В последовательной цепи это ток, в параллельной - напряжение. Общий вектор кладут горизонтально, считая его фазу нулевой, и от него отсчитывают все повороты.

Обязательно ли строить векторы цепочкой, от конца предыдущего? Нет, это лишь удобный способ сразу получить замыкающий вектор. Можно отложить $U_R$, $U_L$ и $U_C$ из одной точки, а потом складывать по правилу параллелограмма - результат тот же, но чертёж выходит запутаннее.

Что делать, если в задаче дана не индуктивность, а сопротивление $X_L$? Тогда шаги 1 и 2 пропускаются: реактивное сопротивление уже известно, и расчёт начинается сразу с $Z$. Частота в этом случае вообще не нужна, если не требуется искать резонанс.

Чем векторная диаграмма отличается от комплексного метода? Это одно и то же, записанное по-разному: вектор на плоскости соответствует комплексному числу $\underline{U} = U_R + j(U_L - U_C)$. Диаграмма нагляднее для контрольной, а метод комплексных амплитуд удобнее для расчёта разветвлённых цепей.

Коротко

1. Найти $\omega = 2\pi f$, затем $X_L = \omega L$ и $X_C = 1/(\omega C)$; для нашей цепи это 314 рад/с, 60 Ом и 20 Ом.
2. Посчитать $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = 50$ Ом и ток $I = U/Z = 4{,}4$ А.
3. Получить длины векторов: $U_R = 132$ В, $U_L = 264$ В, $U_C = 88$ В.
4. Выбрать масштаб (40 В/см), отложить $U_R$ вдоль тока, $U_L$ вверх на 90 градусов, $U_C$ вниз и замкнуть треугольник.
5. Ответ: $U = \sqrt{132^2 + 176^2} = 220$ В сходится с условием, $\varphi = 53{,}1^\circ$, $\cos\varphi = 0{,}6$, цепь индуктивная.