Как преобразовать треугольник в звезду: расчёт моста

Дано: мостовая схема постоянного тока с узлами a, b, c, d. Источник $U = 44$ В подключён между узлами a и d. Верхние плечи: $R_1 = 20$ Ом на участке a-b и $R_2 = 50$ Ом на участке a-c. Нижние плечи: $R_3 = 14$ Ом на участке b-d и $R_4 = 15$ Ом на участке c-d. В диагонали моста между b и c стоит $R_5 = 30$ Ом. Найти: эквивалентную звезду для треугольника a-b-c, общее сопротивление цепи и токи всех ветвей.

Мост не уравновешен: произведения противолежащих плеч не совпадают, $R_1 R_4 = 300$, а $R_2 R_3 = 700$. Значит, через диагональ идёт ток, и формулы последовательного и параллельного соединения к такой схеме не применяются напрямую. Треугольник a-b-c заменяют эквивалентной звездой, после чего цепь становится обычной смешанной. Ответ: лучи звезды 10, 6 и 15 Ом, общее сопротивление 22 Ом, ток источника 2 А, ток в диагонали 0,16 А. Калькулятор сверху повторяет тот же расчёт для любых сопротивлений.

Решение по шагам

Шаг 1. Выделить треугольник и записать его стороны. Узлы a, b и c попарно соединены резисторами, поэтому они образуют треугольник. Его стороны удобно переобозначить по вершинам, чтобы не путаться в нумерации плеч моста.

Шаг 2. Найти сумму сторон. Она одна на все три формулы и служит общим знаменателем:

$$\Sigma R = R_{ab} + R_{bc} + R_{ca} = 20 + 30 + 50 = 100\ \text{Ом}.$$

Шаг 3. Посчитать лучи звезды. Каждый луч выходит из своей вершины и равен произведению двух сторон, сходящихся в этой вершине, делённому на сумму всех трёх:

$$\begin{aligned} R_a &= \frac{R_{ab} R_{ca}}{\Sigma R} = \frac{20 \cdot 50}{100} = 10\ \text{Ом}, \\ R_b &= \frac{R_{ab} R_{bc}}{\Sigma R} = \frac{20 \cdot 30}{100} = 6\ \text{Ом}, \\ R_c &= \frac{R_{bc} R_{ca}}{\Sigma R} = \frac{30 \cdot 50}{100} = 15\ \text{Ом}. \end{aligned}$$

Общая точка звезды - новый узел, которого в исходной схеме не было; обозначим его O. Внешние узлы a, b и c остались на месте, и всё, что к ним подключено снаружи, не трогают.

Шаг 4. Свернуть преобразованную схему. Теперь от источника идёт луч $R_a$, дальше цепь разветвляется на две ветви, которые сходятся в узле d:

$$\begin{aligned} R_{Ob d} &= R_b + R_3 = 6 + 14 = 20\ \text{Ом}, \\ R_{Oc d} &= R_c + R_4 = 15 + 15 = 30\ \text{Ом}, \\ R_{\text{пар}} &= \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = 12\ \text{Ом}. \end{aligned}$$

Остаётся последовательная цепочка из луча и параллельного блока:

$$R_{\text{экв}} = R_a + R_{\text{пар}} = 10 + 12 = 22\ \text{Ом}.$$

Сама техника свёртки здесь обычная, шаг за шагом она разобрана в задаче про общее сопротивление цепи.

Шаг 5. Найти токи. Полный ток даёт закон Ома для всей цепи, а напряжение на параллельном блоке - произведение этого тока на сопротивление блока:

$$I = \frac{U}{R_{\text{экв}}} = \frac{44}{22} = 2\ \text{А}, \qquad U_{\text{пар}} = 2 \cdot 12 = 24\ \text{В}.$$

Отсюда токи ветвей: $I_{bd} = 24/20 = 1{,}2$ А и $I_{cd} = 24/30 = 0{,}8$ А. Сумма равна 2 А, то есть первый закон Кирхгофа выполняется.

Шаг 6. Вернуться к исходной схеме. Токи $R_3$ и $R_4$ уже найдены: преобразование не меняет режим внешних ветвей, поэтому через нижние плечи текут те же 1,2 и 0,8 А. Чтобы получить токи верхних плеч и диагонали, считают потенциалы, приняв $\varphi_d = 0$:

$$\begin{aligned} \varphi_O &= U - I R_a = 44 - 2 \cdot 10 = 24\ \text{В}, \\ \varphi_b &= \varphi_O - I_{bd} R_b = 24 - 1{,}2 \cdot 6 = 16{,}8\ \text{В}, \\ \varphi_c &= \varphi_O - I_{cd} R_c = 24 - 0{,}8 \cdot 15 = 12\ \text{В}. \end{aligned}$$

Дальше по закону Ома для участка: $I_1 = (44 - 16{,}8)/20 = 1{,}36$ А, $I_2 = (44 - 12)/50 = 0{,}64$ А, а в диагонали $I_5 = (16{,}8 - 12)/30 = 0{,}16$ А. Ток течёт от b к c, потому что потенциал b выше.

Ответ: лучи звезды $R_a = 10$ Ом, $R_b = 6$ Ом, $R_c = 15$ Ом; $R_{\text{экв}} = 22$ Ом; $I = 2$ А; токи плеч 1,36 А, 0,64 А, 1,2 А, 0,8 А; ток диагонали 0,16 А.

Формула и откуда она берётся

Формулы получают из требования эквивалентности: сопротивление между любой парой внешних выводов должно быть одинаковым у треугольника и у звезды. Для пары a-b у звезды это $R_a + R_b$, а у треугольника - сторона $R_{ab}$ параллельно с двумя другими сторонами, соединёнными последовательно. Получаются три уравнения такого вида, и решение системы даёт три формулы лучей.

Читается результат по простому правилу: в числителе - произведение двух сторон, примыкающих к вершине, в знаменателе - сумма всех трёх сторон. Луч $R_a$ выходит из вершины a, а к ней примыкают стороны $R_{ab}$ и $R_{ca}$, поэтому именно они стоят в числителе. Сторона $R_{bc}$ вершины a не касается и попадает только в знаменатель.

Отсюда полезное следствие для самопроверки: каждый луч всегда меньше любой из двух примыкающих сторон, ведь знаменатель больше каждого сомножителя. Если получился луч крупнее стороны, где-то перепутан сомножитель или пропущено слагаемое в сумме. В частном случае одинаковых сторон $R$ все лучи равны $R/3$ - это тоже быстрый контроль.

Важно помнить, что эквивалентность внешняя. Токи и напряжения снаружи трёх выводов остаются прежними, а внутри участка их уже нет: узла O в реальной схеме не существует, и напряжение на луче $R_b$ - вспомогательная величина, а не показание вольтметра. Именно поэтому ток диагонали приходится искать возвратом к исходной схеме, как в шаге 6.

Обратное преобразование: звезда в треугольник

Обратный переход нужен, когда в схеме нет ни одного удобного треугольника, зато есть трёхлучевой узел, мешающий свёртке. Формулы симметричны прямым: сторона равна сумме двух лучей плюс их произведение, делённое на третий луч.

$$\begin{aligned} R_{ab} &= R_a + R_b + \frac{R_a R_b}{R_c} = 10 + 6 + \frac{60}{15} = 20\ \text{Ом}, \\ R_{bc} &= R_b + R_c + \frac{R_b R_c}{R_a} = 6 + 15 + \frac{90}{10} = 30\ \text{Ом}, \\ R_{ca} &= R_c + R_a + \frac{R_c R_a}{R_b} = 15 + 10 + \frac{150}{6} = 50\ \text{Ом}. \end{aligned}$$

Вышли ровно исходные 20, 30 и 50 Ом, и это лучшая проверка прямого преобразования: если обратный переход не вернул исходные стороны, ошибка в арифметике. Обратите внимание на зеркальное правило: в дроби стоит противолежащий луч, тот, который к данной стороне не примыкает.

Ещё одно следствие видно сразу: сторона треугольника всегда больше суммы двух лучей, из которых она собрана. Сумма сторон здесь 100 Ом против 31 Ом у суммы лучей - звезда заметно «легче», хотя ведёт себя снаружи так же.

Проверка ответа и выбор треугольника

Самая надёжная проверка - баланс мощностей: источник отдаёт $P = UI = 44 \cdot 2 = 88$ Вт, а резисторы рассеивают $1{,}36^2 \cdot 20 + 0{,}64^2 \cdot 50 + 0{,}16^2 \cdot 30 + 1{,}2^2 \cdot 14 + 0{,}8^2 \cdot 15 = 88$ Вт. Сходится до ватта, значит, токи найдены верно; подробнее этот приём разобран в задаче про баланс мощностей.

Треугольник в мостовой схеме можно выбрать четырьмя способами: верхний a-b-c, нижний b-c-d и два боковых. Ответ от выбора не зависит, меняется только объём арифметики. Берут тот треугольник, после замены которого остаются простые последовательно-параллельные участки, - обычно это треугольник, две вершины которого лежат на концах диагонали.

Преобразование - не единственный путь. Ту же цепь считают методом контурных токов или напрямую системой уравнений по правилам Кирхгофа. Преобразование выигрывает, когда нужно только эквивалентное сопротивление и один-два тока: система из пяти уравнений для этого избыточна.

Частые ошибки

• В числитель берут произвольную пару сторон. Правило жёсткое: сомножители - только те две стороны, что сходятся в вершине данного луча. Перепутанный сомножитель даёт правдоподобное, но неверное число.
• В знаменателе оказывается не сумма, а произведение или сумма только двух сторон. Знаменатель один и тот же для всех трёх лучей - посчитайте его один раз и подставляйте.
• Токи внутренних ветвей снимают со звезды. Диагональ $R_5$ после замены исчезает, тока в ней у новой схемы нет. Его находят только возвратом к исходной схеме через потенциалы узлов.
• Преобразуют мост, который уравновешен. Если $R_1 R_4 = R_2 R_3$, потенциалы b и c равны, ток диагонали нулевой, и её просто выбрасывают - преобразование не нужно.
• Меняют внешние подключения. Резисторы $R_3$ и $R_4$ висят на узлах b и c и после замены остаются там же. Подключать их к узлу O нельзя: это уже другая схема.
• Теряют размерность при делении. Произведение сторон даёт квадратные омы, деление на сумму возвращает омы. Если в ответе остались сотни, скорее всего забыт знаменатель.

FAQ

Когда вообще нужно преобразование треугольник-звезда? Когда схема не сворачивается последовательными и параллельными формулами: есть мост, кольцо или трёхлучевой узел. Признак простой - вы не можете указать ни одной пары резисторов, соединённых чисто последовательно или чисто параллельно.

Можно ли преобразовывать не резисторы, а комплексные сопротивления? Да, формулы те же, только вместо $R$ подставляют комплексные $Z$, а арифметика ведётся в комплексных числах. Для цепей переменного тока это стандартный приём, в том числе при расчёте трёхфазной цепи, соединённой звездой.

Совпадает ли это преобразование с соединением обмоток звездой и треугольником? Терминология общая, физика разная. В трёхфазных цепях речь о схеме соединения фаз источника или нагрузки, здесь - о математической замене участка эквивалентным. Формулы лучей применимы к трёхфазной симметричной нагрузке как частный случай: $Z_Y = Z_\Delta / 3$.

Что делать, если одна из сторон треугольника равна нулю? Нулевая сторона означает, что две вершины закорочены и это фактически один узел. Треугольник вырождается, преобразовывать нечего: схема упрощается объединением узлов, после чего сворачивается обычным порядком.

Коротко

1. Найдите сумму сторон треугольника: $\Sigma R = 20 + 30 + 50 = 100$ Ом. Это общий знаменатель всех трёх формул.
2. Посчитайте лучи: числитель каждого - произведение двух сторон, примыкающих к его вершине. Получаются $R_a = 10$ Ом, $R_b = 6$ Ом, $R_c = 15$ Ом.
3. Достройте схему: лучи сходятся в новом узле O, внешние подключения узлов a, b и c не меняются.
4. Сверните цепь обычными формулами: ветви 20 и 30 Ом дают 12 Ом, плюс луч $R_a$ - итого $R_{\text{экв}} = 22$ Ом и $I = 2$ А.
5. Вернитесь к исходной схеме через потенциалы узлов и найдите ток диагонали $I_5 = 0{,}16$ А, а затем проверьте ответ балансом мощностей: 88 Вт отданных равны 88 Вт рассеянным.