Как найти реактивную мощность: пример расчёта

Дано: однофазная сеть $U = 220$ В, частота $f = 50$ Гц; нагрузка потребляет активную мощность $P = 4{,}4$ кВт при коэффициенте мощности $\cos\varphi_1 = 0{,}8$. Найти: реактивную и полную мощность, ток в линии и ёмкость конденсатора, поднимающего коэффициент мощности до $0{,}95$.

Реактивная мощность находится через угол сдвига фаз одной формулой $Q = P\operatorname{tg}\varphi$, остальное вытягивается из треугольника мощностей. Ответ: $Q = 3{,}3$ квар, $S = 5{,}5$ кВ·А, $I = 25$ А, конденсатор на $1{,}85$ квар ёмкостью $122$ мкФ. Калькулятор сверху пересчитает те же величины под любые свои числа, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $Q$, $S$, $I$, мощность и ёмкость компенсирующего конденсатора.

Шаг 1. Угол сдвига фаз и его тангенс. Коэффициент мощности - это косинус угла между током и напряжением, поэтому сам угол берётся обратной функцией:

$$\varphi_1 = \arccos 0{,}8 = 36{,}87^\circ.$$

Градусы нужны только для чертежа: в расчёт идёт тангенс, а его получают прямо из косинуса, минуя углы:

$$\operatorname{tg}\varphi_1 = \frac{\sin\varphi_1}{\cos\varphi_1} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\varphi_1}}{\cos\varphi_1} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75.$$

Шаг 2. Реактивная мощность. Активная мощность и реактивная - это два катета одного прямоугольного треугольника, а угол между гипотенузой и горизонтальным катетом равен $\varphi$. Отсюда реактивная мощность равна активной, умноженной на тангенс:

$$Q = P \operatorname{tg}\varphi_1 = 4{,}4 \cdot 0{,}75 = 3{,}3\ \text{квар}.$$

Единица измерения - вар (вольт-ампер реактивный), а не ватт: писать «3,3 кВт» здесь грубая ошибка, потому что эта мощность не совершает работы.

Шаг 3. Полная мощность и ток в линии. Полная мощность - гипотенуза треугольника, она же произведение действующих значений:

$$S = \frac{P}{\cos\varphi_1} = \frac{4{,}4}{0{,}8} = 5{,}5\ \text{кВ}\cdot\text{А}, \qquad I = \frac{S}{U} = \frac{5500}{220} = 25\ \text{А}.$$

Проверяем теоремой Пифагора: $\sqrt{4{,}4^2 + 3{,}3^2} = \sqrt{19{,}36 + 10{,}89} = \sqrt{30{,}25} = 5{,}5$ кВ·А. Сошлось, значит первые два шага сделаны верно.

Шаг 4. Мощность конденсаторной батареи. Конденсатор не меняет активную мощность - он укорачивает вертикальный катет с $Q$ до нового значения $Q_2 = P\operatorname{tg}\varphi_2$. Разность катетов и есть искомая мощность батареи:

$$Q_{\text{к}} = P\left(\operatorname{tg}\varphi_1 - \operatorname{tg}\varphi_2\right) = 4{,}4 \cdot (0{,}75 - 0{,}329) = 1{,}85\ \text{квар},$$

где $\operatorname{tg}\varphi_2 = \operatorname{tg}(\arccos 0{,}95) = 0{,}329$.

Шаг 5. Ёмкость конденсатора. Реактивная мощность конденсатора, включённого на напряжение $U$, равна $Q_{\text{к}} = U^2 \omega C$, где $\omega = 2\pi f$. Выражаем ёмкость и подставляем вары, а не киловары:

$$C = \frac{Q_{\text{к}}}{2\pi f U^2} = \frac{1854}{2\pi \cdot 50 \cdot 220^2} = 1{,}22 \cdot 10^{-4}\ \text{Ф} = 122\ \text{мкФ}.$$

Ответ. $Q = 3{,}3$ квар, $S = 5{,}5$ кВ·А, $I = 25$ А; для повышения коэффициента мощности до $0{,}95$ нужна батарея $Q_{\text{к}} = 1{,}85$ квар ёмкостью $C \approx 122$ мкФ. После компенсации полная мощность снижается до $4{,}63$ кВ·А, а ток в линии - до $21{,}1$ А.

Формула реактивной мощности и откуда она берётся

Разберём, почему в формуле стоит именно синус угла. В цепи переменного тока напряжение и ток меняются по синусоиде и сдвинуты на угол $\varphi$. Мгновенная мощность - это их произведение, и после тригонометрических преобразований она распадается на две части:

$$p(t) = UI\cos\varphi - UI\cos(2\omega t - \varphi).$$

Первое слагаемое постоянно во времени - это и есть активная мощность $P = UI\cos\varphi$, та самая, что греет, светит и вращает вал. Второе слагаемое колеблется с удвоенной частотой, и за период его среднее равно нулю: энергия перекачивается в магнитное поле катушки и обратно в сеть, не превращаясь в работу. Амплитуду этих качаний и назвали реактивной мощностью:

$$Q = UI\sin\varphi.$$

Все три мощности связаны треугольником: катеты $P$ и $Q$, гипотенуза $S = UI$, а коэффициент мощности $\cos\varphi = P/S$ показывает долю полезной части. Подробный вывод самого треугольника из сопротивлений $R$, $X$ и $Z$ разобран в статье про треугольник мощностей, а физический смысл каждой из трёх мощностей - в разборе активной, реактивной и полной мощности.

Знак $Q$ несёт информацию о характере нагрузки. У индуктивной нагрузки - двигателя, дросселя, сварочного трансформатора - ток отстаёт от напряжения, $\varphi > 0$ и $Q > 0$. У ёмкостной ток опережает напряжение, угол отрицателен и реактивная мощность выходит со знаком минус. Именно поэтому конденсатор и компенсирует катушку: их реактивные мощности вычитаются.

Три способа найти Q, если дано не то

Условие редко даёт ровно $P$ и $\cos\varphi$, но все варианты сводятся к одному треугольнику. Переключатель в калькуляторе сверху перебирает как раз эти три набора исходных данных.

Известны $U$, $I$ и угол. Тогда реактивная мощность берётся напрямую по определению:

$$Q = UI\sin\varphi = 220 \cdot 25 \cdot 0{,}6 = 3300\ \text{вар}.$$

Известны полная и активная мощности. Реактивная достраивается по теореме Пифагора как второй катет:

$$Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{5{,}5^2 - 4{,}4^2} = \sqrt{10{,}89} = 3{,}3\ \text{квар}.$$

Известны сопротивления цепи. Умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока, получаем стороны треугольника мощностей. В нашей задаче $Z = U/I = 8{,}8$ Ом, $R = P/I^2 = 7{,}04$ Ом, $X = Q/I^2 = 5{,}28$ Ом, и обратный ход даёт то же самое:

$$Q = I^2 X = 625 \cdot 5{,}28 = 3300\ \text{вар}.$$

В смешанной цепи с катушкой и конденсатором реактивные мощности вычитаются: $Q = Q_L - Q_C = I^2(X_L - X_C)$. Если угол сдвига фаз в задаче не дан, а требуется его найти по параметрам элементов, удобно сначала построить векторную диаграмму цепи - она даёт и угол, и напряжения на элементах, а мощности считаются уже по нему.

Компенсация: что меняется в цепи

Компенсация не уменьшает потребление полезной энергии - счётчик активной энергии показывает те же 4,4 кВт. Меняется другое: реактивная составляющая теперь качается между конденсатором и катушкой внутри цеха, а не гоняется по проводам от подстанции.

Числа из нашей задачи показывают выигрыш прямо. Полная мощность падает с 5,5 до 4,63 кВ·А, ток в линии - с 25 до 21,1 А, то есть на 15,8 %. Потери в проводах пропорциональны квадрату тока, поэтому они снижаются сразу на 29 %. По той же причине компенсация позволяет взять кабель меньшего сечения и трансформатор меньшего номинала - подбор номинала по полной мощности разобран в задаче про расчёт мощности трансформатора.

Ток самого конденсатора при этом невелик: $I_C = Q_{\text{к}}/U = 1854/220 = 8{,}4$ А, а его сопротивление $X_C = U^2/Q_{\text{к}} = 26{,}1$ Ом. Батарея включается параллельно нагрузке, а не последовательно - последовательное включение изменило бы напряжение на самой нагрузке.

До единицы коэффициент мощности не поднимают намеренно. Во-первых, при $\cos\varphi = 1$ выигрыш по сравнению с 0,95 уже копеечный: полная мощность уменьшится всего на 5 %. Во-вторых, нагрузка меняется в течение смены, и фиксированная батарея при её спаде даст перекомпенсацию - ток начнёт опережать напряжение, а $\cos\varphi$ снова упадёт, только теперь с ёмкостной стороны. Нормативным ориентиром для сетей 0,4 кВ служит $\operatorname{tg}\varphi \le 0{,}4$, что соответствует $\cos\varphi \approx 0{,}93$.

В трёхфазной сети логика та же, но в формулах полной мощности появляется множитель $\sqrt{3}$ при линейных величинах, а батарею делят на три конденсатора; частный случай разобран в материале про мощность трёхфазной цепи.

Частые ошибки

• Умножают $P$ на косинус вместо тангенса. Формула реактивной мощности через активную содержит именно $\operatorname{tg}\varphi$; произведение $4{,}4 \cdot 0{,}8 = 3{,}52$ не имеет физического смысла и не сходится с теоремой Пифагора.
• Складывают мощности арифметически. Сумма $4{,}4 + 3{,}3 = 7{,}7$ вместо 5,5 - самая частая ошибка в этой задаче. Катеты складываются только геометрически, через квадраты.
• Путают единицы. Активная - в ваттах, реактивная - в варах, полная - в вольт-амперах. Ответ «3,3 кВт» за реактивную мощность преподаватель засчитает как неверный, даже если число правильное.
• Подставляют киловары в формулу ёмкости. В $C = Q_{\text{к}}/(2\pi f U^2)$ идут вары и вольты; подстановка 1,85 вместо 1854 занижает ёмкость в тысячу раз.
• Пишут в знаменателе частоту вместо угловой частоты. Нужна $\omega = 2\pi f = 314$ рад/с, а не 50 Гц: подстановка частоты завышает ёмкость в 6,28 раза.
• Считают мощность батареи как разность полных мощностей. Разность $5{,}5 - 4{,}63 = 0{,}87$ - не ответ. Вычитать нужно реактивные мощности, а не гипотенузы.

FAQ

В чём измеряется реактивная мощность? В варах (вольт-амперах реактивных) и кратных единицах - киловарах и мегаварах. Размерность формально совпадает с ваттом, но единицу называют иначе специально, чтобы в задаче было видно, о какой из трёх мощностей идёт речь.

Может ли реактивная мощность быть отрицательной? Да, если нагрузка ёмкостная. При опережающем токе угол $\varphi$ отрицателен, синус отрицателен, и $Q < 0$. Знак показывает направление обмена энергией, а не ошибку в расчёте; для индуктивной нагрузки $Q > 0$.

Как найти реактивную мощность, если известна только активная и ток? Сначала находят полную мощность $S = UI$, затем реактивную по теореме Пифагора: $Q = \sqrt{S^2 - P^2}$. Отдельно знать угол при этом не нужно - он вычисляется потом как $\arccos(P/S)$.

Зачем предприятия компенсируют реактивную мощность? Реактивный ток нагружает провода и трансформаторы, увеличивая потери и требуя большего сечения. Для потребителей выше бытового договор предусматривает надбавку к тарифу при $\operatorname{tg}\varphi$ выше норматива, поэтому батареи конденсаторов окупаются за счёт и потерь, и штрафных коэффициентов.

Коротко

1. Найти тангенс угла по коэффициенту мощности: $\operatorname{tg}\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi}/\cos\varphi$; при $\cos\varphi_1 = 0{,}8$ получается 0,75.
2. Реактивная мощность: $Q = P\operatorname{tg}\varphi = 4{,}4 \cdot 0{,}75 = 3{,}3$ квар. Эквивалентные формы записи - $UI\sin\varphi$, $\sqrt{S^2 - P^2}$ и $I^2X$.
3. Полная мощность и ток: $S = P/\cos\varphi = 5{,}5$ кВ·А, $I = S/U = 25$ А; проверка $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ обязательна.
4. Мощность батареи: $Q_{\text{к}} = P(\operatorname{tg}\varphi_1 - \operatorname{tg}\varphi_2) = 1{,}85$ квар, ёмкость $C = Q_{\text{к}}/(2\pi f U^2) = 122$ мкФ.
5. Итог компенсации: активная мощность прежняя, полная падает до 4,63 кВ·А, ток - до 21,1 А, потери в линии - примерно на 29 %.