Как рассчитать переходный процесс в RC-цепи: пример

Дано: RC-цепь с источником постоянного напряжения $E = 100$ В, резистором $R = 2$ кОм и конденсатором $C = 10$ мкФ; до коммутации конденсатор заряжен до $u_C(0_-) = 20$ В, в момент $t = 0$ ключ замыкается. Найти: $u_C(t)$, ток $i(t)$, постоянную времени и время установления.

Задача решается классическим методом в три действия: начальное значение берут из законов коммутации, принуждённую составляющую считают по установившемуся режиму, а свободная всегда оказывается экспонентой с постоянной времени $\tau = RC$. Ответ: $\tau = 20$ мс, $u_C(t) = 100 - 80e^{-t/0{,}02}$ В, $i(t) = 40e^{-t/0{,}02}$ мА, процесс заканчивается через $t_{\text{уст}} = 3\tau = 60$ мс. Калькулятор сверху строит эту же кривую и разбирает её на составляющие.

Решение по шагам

Дано: $E = 100$ В, $R = 2$ кОм $= 2 \cdot 10^3$ Ом, $C = 10$ мкФ $= 10 \cdot 10^{-6}$ Ф, $u_C(0_-) = 20$ В. Найти: $\tau$, $u_C(t)$, $i(t)$, $t_{\text{уст}}$.

Шаг 1. Начальное условие. Напряжение на ёмкости скачком измениться не может, поэтому сразу после замыкания ключа оно остаётся прежним:

$$u_C(0_+) = u_C(0_-) = 20\ \text{В}.$$

Это единственное, что нужно взять из докоммутационной схемы. Формулировки обоих законов коммутации и случаи, когда начальное условие приходится искать расчётом докоммутационного режима, разобраны в статье про законы коммутации - здесь значение дано прямо в условии.

Шаг 2. Принуждённая составляющая. Смотрим на схему через бесконечно большое время после коммутации. Постоянный ток через конденсатор не течёт, значит, на резисторе нет падения напряжения и всё напряжение источника приложено к ёмкости:

$$u_{C\,\text{пр}} = E = 100\ \text{В}.$$

Шаг 3. Постоянная времени. В постоянную времени подставляют не любое сопротивление схемы, а эквивалентное относительно зажимов реактивного элемента при закороченном источнике ЭДС. В нашей одноконтурной цепи это просто $R$:

$$\tau = R_{\text{экв}} C = 2 \cdot 10^3 \cdot 10 \cdot 10^{-6} = 0{,}02\ \text{с} = 20\ \text{мс}.$$

Шаг 4. Свободная составляющая. Она ищется как решение однородного уравнения и всегда имеет вид убывающей экспоненты. Постоянную интегрирования находим по начальному условию: при $t = 0$ сумма составляющих должна дать $u_C(0_+)$.

$$A = u_C(0_+) - u_{C\,\text{пр}} = 20 - 100 = -80\ \text{В}, \qquad u_{C\,\text{св}}(t) = -80\,e^{-t/0{,}02}.$$

Знак минус здесь физический, а не опечатка: конденсатор дозаряжается снизу вверх, поэтому свободная составляющая стартует отрицательной и подтягивает кривую к установившемуся уровню.

Шаг 5. Полное решение. Складываем обе составляющие:

$$u_C(t) = u_{C\,\text{пр}} + u_{C\,\text{св}}(t) = 100 - 80\,e^{-t/0{,}02}\ \text{В}, \quad t \geqslant 0.$$

Шаг 6. Ток. Ток в такой цепи один и определяется скоростью изменения заряда:

$$i(t) = C\,\frac{du_C}{dt} = 10 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{80}{0{,}02}\,e^{-t/0{,}02} = 0{,}04\,e^{-t/0{,}02}\ \text{А} = 40\,e^{-t/0{,}02}\ \text{мА}.$$

Быстрая проверка по второму закону Кирхгофа в момент коммутации: $i(0_+) = \dfrac{E - u_C(0_+)}{R} = \dfrac{100 - 20}{2000} = 0{,}04$ А. Сходится.

Шаг 7. Время установления. Переходный процесс формально длится бесконечно, поэтому за его конец принимают момент, когда свободная составляющая падает до 5 % от начальной величины:

$$t_{\text{уст}} = \tau \ln \frac{1}{0{,}05} = \tau \ln 20 \approx 3\tau = 60\ \text{мс}.$$

Контрольные точки кривой удобно свести в таблицу и сверить с графиком калькулятора:

Ответ: $\tau = 20$ мс, $u_C(t) = 100 - 80e^{-t/0{,}02}$ В, $i(t) = 40e^{-t/0{,}02}$ мА, через $3\tau = 60$ мс напряжение достигает 96 В и процесс считают завершённым.

Формула и откуда она берётся

Второй закон Кирхгофа для контура после коммутации даёт $Ri + u_C = E$, а ток через конденсатор равен $i = C\,du_C/dt$. Подстановка превращает схему в линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

$$RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E.$$

Общее решение такого уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного - в электротехнике их называют принуждённой и свободной составляющими. Принуждённая описывает режим, в который цепь придёт и останется: при постоянном источнике это просто постоянное число, при синусоидальном её ищут методом комплексных амплитуд.

Свободная составляющая живёт за счёт запаса энергии в реактивном элементе и от источника не зависит. Её вид задаёт характеристическое уравнение $RCp + 1 = 0$, откуда единственный корень $p = -1/(RC) = -1/\tau$. Корень отрицательный и вещественный, поэтому решение однородного уравнения - затухающая экспонента, а цепь первого порядка колебаний дать не может в принципе.

Отсюда и универсальная запись для любой цепи первого порядка, где $x$ - напряжение на ёмкости или ток в индуктивности:

$$x(t) = x_{\text{пр}} + \bigl(x(0_+) - x_{\text{пр}}\bigr)e^{-t/\tau}.$$

Три числа в этой формуле и есть весь расчёт. Почему за характерный масштаб берут именно произведение $RC$ и откуда берутся знаменитые 63 % и 37 %, подробно разобрано в статье про постоянную времени RC-цепи.

Тот же расчёт для RL-цепи

Алгоритм не меняется, меняются только переменная состояния и формула постоянной времени. Переменной становится ток в катушке: именно он не может измениться скачком. Пусть $E = 100$ В, $R = 50$ Ом, $L = 200$ мГн, а до коммутации через катушку шёл ток $i_L(0_-) = 0{,}4$ А.

Постоянная времени здесь равна отношению, а не произведению: $\tau = L/R = 0{,}2/50 = 0{,}004$ с $= 4$ мс. Принуждённый ток находим по закону Ома для установившегося режима, в котором катушка ведёт себя как кусок провода: $i_{\text{пр}} = E/R = 2$ А. Свободная составляющая стартует со значения $0{,}4 - 2 = -1{,}6$ А, и полный ответ выглядит так:

$$i_L(t) = 2 - 1{,}6\,e^{-t/0{,}004}\ \text{А}.$$

Напряжение на катушке считают через производную тока или сразу по второму закону Кирхгофа: $u_L(0_+) = E - R\,i_L(0_+) = 100 - 50 \cdot 0{,}4 = 80$ В. Переключи чипы калькулятора на RL-цепь - он пересчитает все эти числа и построит ту же пару составляющих. Отдельный случай размыкания, где напряжение на катушке подскакивает выше ЭДС источника, разобран в статье про ток при размыкании цепи с индуктивностью.

Как проверить ответ и когда классический метод неудобен

У готового выражения есть три бесплатные проверки. Подставь $t = 0$: должно получиться начальное значение из первого шага (у нас $100 - 80 = 20$ В). Устреми $t$ к бесконечности: экспонента обнуляется и остаётся принуждённая составляющая (100 В). Наконец, посмотри на точку $t = \tau$: величина обязана пройти 63 % пути от начального значения к установившемуся, то есть $20 + 0{,}632 \cdot 80 = 70{,}6$ В - ровно то, что стоит в таблице.

Классический метод хорош, пока цепь одноконтурная и содержит один накопитель. Как только контуров становится несколько, приходится решать систему уравнений и искать постоянные интегрирования по производным - проще перейти к изображениям и считать операторным методом. Полезно заранее уметь сворачивать схему к эквивалентному сопротивлению - этому посвящён разбор задачи про общее сопротивление цепи, потому что именно $R_{\text{экв}}$ подставляется в постоянную времени.

Частые ошибки

• Берут в постоянную времени полное сопротивление контура вместо эквивалентного. Если параллельно конденсатору висит ещё один резистор, в $\tau$ идёт сопротивление, видимое с зажимов ёмкости при закороченной ЭДС, а не сумма всех резисторов подряд.
• Путают формулы: пишут $\tau = L \cdot R$ или $\tau = R/C$. Проверяй размерностью: ом на фарад дают секунду, генри на ом - тоже секунду, а произведение генри на ом секунды не даёт.
• Теряют начальное условие и считают его нулевым. При $u_C(0_-) = 20$ В свободная составляющая равна $-80$ В, а не $-100$ В; ток в первый момент получается 40 мА вместо 50 мА.
• Не переводят кОм и мкФ в основные единицы. Перемножив 2 и 10 без степеней, получают 20 секунд вместо 20 миллисекунд - ошибка в тысячу раз.
• Пишут принуждённую составляющую тока в RC-цепи не равной нулю. В установившемся режиме при постоянном источнике ток через конденсатор равен нулю, поэтому ток целиком состоит из свободной составляющей.
• Считают $t_{\text{уст}}$ по формуле $5\tau$ там, где в методичке задана трубка 5 %. Пять постоянных времени соответствуют трубке около 0,7 %, три - пяти процентам; уточняй критерий.

FAQ

Чему равно время переходного процесса: трём постоянным времени или пяти? Зависит от принятой точности. Трубка 5 % даёт $t_{\text{уст}} = \tau \ln 20 \approx 3\tau$, трубка 1 % - $\tau \ln 100 \approx 4{,}6\tau$, а привычные $5\tau$ соответствуют остатку около 0,7 %. В вузовских методичках по ТОЭ чаще всего фигурируют три постоянные времени, в схемотехнике - пять.

Как быть, если в цепи два конденсатора? Если их можно свернуть в одну эквивалентную ёмкость, цепь остаётся первого порядка и метод работает без изменений. Если нет, порядок уравнения растёт, появляются два корня характеристического уравнения и две экспоненты в свободной составляющей.

Может ли ток в момент коммутации измениться скачком? В RC-цепи может и почти всегда меняется: законы коммутации запрещают скачок напряжения на ёмкости и тока в индуктивности, а остальные величины скачут свободно. В нашем примере ток мгновенно вырос с нуля до 40 мА.

Что делать, если источник не постоянный, а синусоидальный? Схема расчёта та же, но принуждённая составляющая становится синусоидой той же частоты, и её находят через комплексные амплитуды. Свободная составляющая по-прежнему будет экспонентой с той же постоянной времени, а постоянная интегрирования ищется из начального условия.

Коротко

1. Найди начальное значение по законам коммутации: напряжение на ёмкости и ток в индуктивности скачком не меняются, $u_C(0_+) = u_C(0_-) = 20$ В.
2. Посчитай принуждённую составляющую по установившемуся режиму: $u_{C\,\text{пр}} = E = 100$ В.
3. Найди постоянную времени через эквивалентное сопротивление: $\tau = R_{\text{экв}}C = 20$ мс (для RL-цепи $\tau = L/R$).
4. Собери ответ по формуле $x(t) = x_{\text{пр}} + (x(0_+) - x_{\text{пр}})e^{-t/\tau}$: получается $u_C(t) = 100 - 80e^{-t/0{,}02}$ В и $i(t) = 40e^{-t/0{,}02}$ мА.
5. Оцени длительность процесса: $t_{\text{уст}} = \tau\ln 20 \approx 3\tau = 60$ мс, к этому моменту напряжение равно 96 В.