Как построить топографическую диаграмму: разбор

Дано: последовательная цепь из четырёх точек: участок a-b - резистор $R = 30$ Ом, участок b-c - катушка $X_L = 60$ Ом, участок c-d - конденсатор $X_C = 20$ Ом, напряжение источника на зажимах a-d равно $U = 100$ В. Найти: потенциалы точек a, b, c, d, построить топографическую диаграмму и снять с неё напряжение между a и c.

Диаграмма строится обходом схемы от точки с нулевым потенциалом навстречу току: потенциал каждой следующей точки получается прибавлением падения напряжения на участке. Ответ: $I = 2$ А, потенциалы точек 100 В, 80 В, 40 В и 0, напряжение $U_{ac} = 134{,}2$ В под углом $63{,}4^\circ$ к оси тока. Калькулятор сверху перестраивает диаграмму под любые параметры участков, ниже - решение по шагам и масштаб для чертежа.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\underline{\varphi}_a$, $\underline{\varphi}_b$, $\underline{\varphi}_c$, $\underline{\varphi}_d$, диаграмму и $U_{ac}$.

Шаг 1. Полное сопротивление и ток. Цепь последовательная, поэтому реактивные сопротивления входят в расчёт разностью, а ток один и тот же на всех участках:

$$X = X_L - X_C = 60 - 20 = 40\ \text{Ом}, \qquad Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \text{Ом},$$ $$I = \frac{U}{Z} = \frac{100}{50} = 2\ \text{А}.$$

Шаг 2. Падения напряжения на участках. Это будущие звенья ломаной: длина каждого отрезка диаграммы равна напряжению на своём элементе.

$$U_{ab} = I R = 2 \cdot 30 = 60\ \text{В}, \quad U_{bc} = I X_L = 2 \cdot 60 = 120\ \text{В}, \quad U_{cd} = I X_C = 2 \cdot 20 = 40\ \text{В}.$$

Шаг 3. Базовая точка и направление обхода. Потенциал отсчитывается от чего-то одного, и этот ноль выбираешь ты. Удобнее всего заземлить крайнюю точку схемы, к которой подключён источник: принимаем $\underline{\varphi}_d = 0$ и помещаем точку d в начало координат. Ток в цепи течёт в порядке a, b, c, d, а обход диаграммы ведём навстречу току - от d к a, накапливая падения напряжения.

Шаг 4. Потенциал точки c. Между c и d стоит конденсатор, его комплексное сопротивление равно $-jX_C$. Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на четверть периода, поэтому вектор направлен вниз:

$$\underline{\varphi}_c = \underline{\varphi}_d + \underline{I}\,(-jX_C) = 2 \cdot (-j20) = -j40\ \text{В}.$$

Точка c оказалась на мнимой оси на 40 единиц ниже начала координат, её потенциал по модулю равен 40 В.

Шаг 5. Потенциал точки b. Между b и c включена катушка с сопротивлением $+jX_L$, её напряжение опережает ток, и вектор идёт вверх от точки c:

$$\underline{\varphi}_b = \underline{\varphi}_c + \underline{I}\,(jX_L) = -j40 + j120 = j80\ \text{В}.$$

Отрезок длиной 120 В прошёл через начало координат и поднял точку b на 80 единиц выше нуля.

Шаг 6. Потенциал точки a. Последний участок - резистор, его напряжение совпадает с током по фазе, поэтому вектор откладывается горизонтально, вдоль вещественной оси:

$$\underline{\varphi}_a = \underline{\varphi}_b + \underline{I} R = j80 + 60 = 60 + j80\ \text{В}, \qquad |\underline{\varphi}_a| = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100\ \text{В}.$$

Модуль совпал с заданным напряжением источника 100 В - построение выполнено верно. Угол этого вектора и есть сдвиг фаз на входе: $\varphi = \operatorname{arctg}(80/60) \approx 53{,}1^\circ$, значит $\cos\varphi = 0{,}6$ и цепь имеет индуктивный характер. Как этот угол считают отдельно, разобрано в задаче про сдвиг фаз.

Шаг 7. Напряжение между a и c. Вычитаем потенциалы, а не складываем напряжения участков:

$$\underline{U}_{ac} = \underline{\varphi}_a - \underline{\varphi}_c = (60 + j80) - (-j40) = 60 + j120\ \text{В},$$ $$U_{ac} = \sqrt{60^2 + 120^2} = \sqrt{18000} \approx 134{,}2\ \text{В}, \qquad \psi = \operatorname{arctg}\frac{120}{60} \approx 63{,}4^\circ.$$

Ответ: $I = 2$ А; $\underline{\varphi}_a = 60 + j80$ В (100 В), $\underline{\varphi}_b = j80$ В (80 В), $\underline{\varphi}_c = -j40$ В (40 В), $\underline{\varphi}_d = 0$; напряжение между точками a и c равно $134{,}2$ В и опережает ток на $63{,}4^\circ$.

Масштаб и построение на бумаге

В контрольной диаграмму требуют начерченной в масштабе. Подбирают его так, чтобы самый длинный отрезок занял пять-семь сантиметров: короче - не видно углов, длиннее - не помещается на листе. У нас самый длинный отрезок $U_{bc} = 120$ В, и удобным оказывается масштаб $m_U = 20$ В/см.

Чертёж ведут в том же порядке, что и расчёт. Ставят точку d в начале координат, проводят горизонтальную ось тока и вертикальную ось мнимых величин. Вниз от d откладывают 2,0 см и отмечают точку c, от неё вверх по той же вертикали - 6,0 см до точки b, от точки b горизонтально вправо - 3,0 см до точки a.

Остаётся проверка. Отрезок d-a должен выйти ровно 5,0 см, а транспортир между ним и осью тока - показать около 53 градусов. Соединив линейкой точки c и a, получим 6,7 см, то есть те самые 134 В. Масштаб подписывают рядом с чертежом: без него диаграмма считается незаконченной.

Как читать напряжение между любыми точками

Главное свойство топографической диаграммы: напряжение между двумя точками схемы равно отрезку между соответствующими точками чертежа. В комплексной форме это разность потенциалов $\underline{U}_{mn} = \underline{\varphi}_m - \underline{\varphi}_n$, а на бумаге - расстояние, которое достаточно измерить линейкой и умножить на масштаб. Стрелку принято направлять из второй точки индекса в первую: вектор $\underline{U}_{ac}$ идёт из c в a.

Именно поэтому диаграмма экономит время на задачах вида «что покажет вольтметр между b и d». Считать ничего не нужно: точки b и d лежат на мнимой оси, расстояние между ними 4,0 см, то есть $U_{bd} = 80$ В. Тот же результат даёт вычитание потенциалов $j80 - 0$, но по чертежу он виден мгновенно.

Обратите внимание, что складывать модули напряжений участков нельзя: арифметическая сумма $U_{ab} + U_{bc} = 60 + 120 = 180$ В не имеет отношения к реальным 134,2 В между a и c. Векторы направлены под разными углами, и работает только геометрическое сложение. Как раз на этом строится большинство задач по теме: величина, которую покажет прибор, меньше суммы показаний на участках.

Ещё одно следствие: точка тем выше, чем больше в участке индуктивности, и тем ниже, чем больше ёмкости, так что характер цепи виден по форме ломаной. Калькулятор сверху показывает это движение в реальном времени: достаточно потянуть ползунок $X_C$.

Формула и откуда она берётся

Основа построения - второй закон Кирхгофа в комплексной форме. Напряжение на участке равно произведению тока на комплексное сопротивление этого участка: у резистора $\underline{Z} = R$, у катушки $\underline{Z} = jX_L$, у конденсатора $\underline{Z} = -jX_C$. Множитель $j$ и есть поворот вектора на $+90^\circ$, множитель $-j$ - поворот на $-90^\circ$, и никакой другой геометрии в диаграмме нет.

Отсюда и рецепт обхода: потенциал следующей точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на разделяющем их элементе, взятое со своим комплексным сопротивлением. Обход навстречу току даёт знак плюс, обход по току - минус. Подробный разбор комплексных операций с токами и напряжениями лежит в статье про метод комплексных амплитуд.

Сумма всех падений по замкнутому контуру равна нулю, поэтому ломаная обязана прийти из точки d ровно в точку a, отстоящую от начала координат на $U = 100$ В. Это и есть встроенная проверка: не сошёлся модуль - ошибка в одном из участков. Из тех же соображений следует, что порядок точек на диаграмме повторяет порядок точек в схеме - отсюда и название «топографическая», то есть карта цепи.

Чем топографическая диаграмма отличается от векторной

Векторная диаграмма отвечает на вопрос «каковы напряжения на элементах»: все векторы откладываются из одной точки, а их взаимное расположение показывает фазы. Топографическая отвечает на вопрос «каков потенциал каждой точки схемы»: векторы выстроены цепочкой, и каждая вершина ломаной - это конкретный узел или зажим. Пошаговое построение первой разобрано в задаче про векторную диаграмму цепи, и путать их не стоит, хотя треугольник напряжений в обеих получается один и тот же.

Практическая разница ровно одна, но существенная: с векторной диаграммы напряжение между произвольной парой точек не снимешь, а с топографической - снимешь линейкой, поэтому в задачах на мостовые схемы и измерение потенциалов требуют именно её. Теорию векторного сложения при этом можно взять из разбора построения векторной диаграммы.

Тот же приём работает и в трёхфазных цепях, где диаграмма нагляднее всего. Потенциалы концов фаз образуют три точки, нейтраль лежит в центре, а линейное напряжение - это сторона треугольника между двумя фазными точками; отсюда и знаменитый множитель $\sqrt{3}$, разобранный в материале про фазные и линейные напряжения в звезде. Если нагрузка несимметрична, нейтраль смещается, и по диаграмме сразу видно, на какой фазе напряжение выросло.

Частые ошибки

• Складывать напряжения участков арифметически. Между a и c получается 134,2 В, а не 180 В: отрезки диаграммы направлены под разными углами.
• Обходить схему по направлению тока и ставить плюс. При обходе по току падение вычитается. Проще держаться одного правила: идём навстречу току от базовой точки и прибавляем.
• Не назначить базовую точку. Потенциалы имеют смысл только относительно выбранного нуля; без отметки $\underline{\varphi}_d = 0$ на чертеже диаграмма непроверяема.
• Перепутать знак у реактивных элементов. Катушка даёт $+jX_L$ и поднимает точку вверх, конденсатор $-jX_C$ и опускает вниз. Перепутанные знаки дают верные длины, но зеркальную картинку и неверный характер цепи.
• Рисовать реальную катушку одним отрезком. У катушки с активным сопротивлением два звена: сначала горизонтальное $IR_{\text{к}}$, потом вертикальное $IX_L$, и между ними появляется промежуточная точка.
• Читать индекс напряжения задом наперёд. Вектор $\underline{U}_{ac}$ направлен из c в a; обратная стрелка меняет фазу на $180^\circ$.
• Не подписать масштаб. Диаграмма без указанного $m_U$ не проверяется преподавателем и не засчитывается.

FAQ

Какую точку принимать за нулевую? Любую, но разумнее ту, от которой удобнее считать: крайний зажим источника, общую точку схемы или нейтраль в трёхфазной цепи. На форму диаграммы выбор не влияет - она просто сдвигается целиком, а все расстояния между точками остаются прежними.

Можно ли построить диаграмму, если ток неизвестен? Да, если известны напряжения на участках: длины отрезков берутся прямо из них, а опорным направлением служит любой вектор, например напряжение на резисторе. Ток тогда находится уже по диаграмме как $I = U_{ab}/R$.

Как показать на диаграмме реальную катушку? Разбить её на два элемента и поставить между ними вспомогательную точку. Сначала откладывается активное падение вдоль оси тока, затем индуктивное вверх; напряжение на зажимах катушки читается как отрезок между крайними точками этой пары.

Чем топографическая диаграмма помогает в задаче с вольтметром? Вольтметр показывает модуль напряжения между двумя точками, то есть длину отрезка на диаграмме. Один раз построив чертёж, вы отвечаете на любой вопрос вида «что покажет прибор между m и n» без новых вычислений, тогда как напряжение на участке по формулам приходится считать заново.

Коротко

1. Найти $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = 50$ Ом и ток $I = U/Z = 2$ А.
2. Посчитать падения напряжения: $U_{ab} = 60$ В, $U_{bc} = 120$ В, $U_{cd} = 40$ В.
3. Принять $\underline{\varphi}_d = 0$, поставить точку d в начало координат и идти навстречу току: вниз на $U_{cd}$, вверх на $U_{bc}$, вправо на $U_{ab}$.
4. Получить потенциалы $\underline{\varphi}_c = -j40$ В, $\underline{\varphi}_b = j80$ В, $\underline{\varphi}_a = 60 + j80$ В и проверить, что $|\underline{\varphi}_a| = 100$ В равно напряжению источника.
5. Ответ: напряжение между a и c равно $|\underline{\varphi}_a - \underline{\varphi}_c| = 134{,}2$ В под углом $63{,}4^\circ$; на чертеже в масштабе 20 В/см это отрезок 6,7 см.