Как найти напряжение на участке цепи: пример расчёта

Дано: идеальный источник $U = 36$ В; последовательно включён $R_1 = 4$ Ом, за ним участок AB из параллельных $R_2 = 6$ Ом и $R_3 = 3$ Ом, после участка стоит $R_4 = 6$ Ом. Найти: напряжение на каждом участке цепи.

Напряжение на участке ищут по закону Ома для участка цепи $U = IR$: схему сворачивают до одного сопротивления, находят ток, а потом умножают этот ток на сопротивление нужного участка. Ответ: $U_1 = 12$ В, $U_{AB} = 6$ В, $U_4 = 18$ В при токе $I = 3$ А. Калькулятор сверху повторяет расчёт для любых сопротивлений и строит потенциальную диаграмму, где напряжение участка видно как высота ступеньки.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Разметить участки. Резистор $R_1$ стоит на входе, дальше цепь расходится на две ветви - $R_2$ и $R_3$, а за узлом, где ветви снова сходятся, включён $R_4$. Значит, в цепи три последовательных участка: $R_1$, участок AB и $R_4$. Через все три течёт один и тот же ток, потому что между ними нет ответвлений, и именно это позволит найти напряжения одним умножением.

Шаг 2. Свернуть параллельный участок. Два резистора между одной парой узлов заменяются одним по формуле «произведение на сумму»:

$$R_{AB} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\ \text{Ом}.$$

Результат меньше меньшего из сопротивлений - это первый признак того, что свёртка сделана верно.

Шаг 3. Найти общее сопротивление и ток. Три последовательных участка складываются, а ток берётся из закона Ома для всей внешней цепи:

$$R_{\text{экв}} = R_1 + R_{AB} + R_4 = 4 + 2 + 6 = 12\ \text{Ом}, \qquad I = \frac{U}{R_{\text{экв}}} = \frac{36}{12} = 3\ \text{А}.$$

Шаг 4. Найти напряжение на каждом участке. Ток известен и одинаков для всех трёх участков, поэтому напряжение на каждом получается прямым умножением:

$$\begin{aligned} U_1 &= I R_1 = 3 \cdot 4 = 12\ \text{В},\\ U_{AB} &= I R_{AB} = 3 \cdot 2 = 6\ \text{В},\\ U_4 &= I R_4 = 3 \cdot 6 = 18\ \text{В}. \end{aligned}$$

Шаг 5. Проверить по второму закону Кирхгофа. Обход контура даёт сумму падений напряжения, равную напряжению источника:

$$U_1 + U_{AB} + U_4 = 12 + 6 + 18 = 36\ \text{В} = U.$$

Сумма сошлась до вольта, значит арифметика в шагах 2-4 верна. Если бы вышло больше или меньше 36 В, ошибка сидела бы либо в свёртке параллельного участка, либо в токе.

Ответ: $U_1 = 12$ В, $U_{AB} = 6$ В, $U_4 = 18$ В; ток в неразветвлённой части $I = 3$ А.

Формула и откуда она берётся

Напряжение на участке - это разность потенциалов между его крайними точками, то есть работа, которую электрическое поле совершает над единицей заряда при переносе его от одного конца участка к другому. Для участка без источника эта разность связана с током линейно:

$$U = IR.$$

Здесь $I$ - ток через участок в амперах, $R$ - его сопротивление в омах, $U$ - напряжение в вольтах. В задачах эту величину часто называют падением напряжения, и это не другая формула, а то же самое, только с акцентом: потенциал вдоль тока падает, и на резисторе он «теряет» ровно $IR$ вольт.

Отсюда виден порядок действий, который не зависит от схемы. Напряжение участка нельзя посчитать, пока неизвестен ток через него, а ток обычно приходится искать через полное сопротивление цепи. Поэтому расчёт всегда идёт в две стадии: сначала свёртка схемы и ток, потом обратный ход к отдельным участкам. Как сворачивается схема посложнее, с вложенными ветвями, разобрано в задаче про общее сопротивление цепи.

Отдельно стоит держать в голове, что в нашей задаче источник идеальный: все 36 В достаются внешней цепи. У реальной батареи есть внутреннее сопротивление, часть ЭДС гасится внутри неё, и напряжение на клеммах оказывается меньше ЭДС. Этот случай считается по закону Ома для полной цепи и разобран отдельно в статье про закон Ома для полной цепи с ЭДС.

Правило делителя: напряжение без вычисления тока

Есть более короткий путь, если ток сам по себе не нужен. Раз ток на всех последовательных участках один, напряжения относятся друг к другу как сопротивления, а каждое из них составляет от источника ту же долю, что и его сопротивление от общего:

$$U_k = U\,\frac{R_k}{R_{\text{экв}}}.$$

Подставим числа задачи и получим тот же ответ в одно действие на участок:

$$U_1 = 36 \cdot \frac{4}{12} = 12\ \text{В}, \qquad U_{AB} = 36 \cdot \frac{2}{12} = 6\ \text{В}, \qquad U_4 = 36 \cdot \frac{6}{12} = 18\ \text{В}.$$

Такая схема и называется делителем напряжения. Практический вывод из формулы простой: больше сопротивление - больше напряжение на нём. У нас $R_4$ втрое больше $R_{AB}$, и напряжение на нём тоже втрое больше. Проверка «на глаз» по этому соотношению ловит ошибку быстрее, чем повторный пересчёт. Больше примеров на делитель собрано в разборе задач на последовательное соединение резисторов.

Что происходит внутри параллельного участка

Участок AB мы посчитали целиком, но у него есть внутренняя жизнь. Резисторы $R_2$ и $R_3$ подключены к одной и той же паре узлов, поэтому напряжение на них одинаковое и равно найденным 6 В. Разными оказываются токи ветвей:

$$I_2 = \frac{U_{AB}}{R_2} = \frac{6}{6} = 1\ \text{А}, \qquad I_3 = \frac{U_{AB}}{R_3} = \frac{6}{3} = 2\ \text{А}.$$

По первому закону Кирхгофа их сумма обязана вернуть общий ток: $1 + 2 = 3$ А. Так и вышло. Обрати внимание на симметрию: в последовательной части одинаков ток и делится напряжение, в параллельной одинаково напряжение и делится ток. Путаница между этими двумя правилами и есть главный источник ошибок в таких задачах.

Если участок нужно было бы найти не по краям резистора, а между двумя произвольными точками схемы, метод не меняется: определяют, какие элементы попали между этими точками, и складывают падения напряжения на них с учётом направления обхода. В линиях электропередачи ту же величину считают как потерю на проводе, и там она зависит ещё и от длины и сечения жилы - это разобрано в задаче про потери напряжения.

В цепи переменного тока к активному сопротивлению добавляется реактивное, и напряжения складываются векторно - см. индуктивное сопротивление.

Частые ошибки

• Ток берут не тот. В формулу $U_k = I R_k$ подставляют общий ток там, где через участок течёт только часть его. Для ветви $R_2$ нужен её собственный ток 1 А, а не 3 А: иначе вместо 6 В получится 18 В.
• Параллельные сопротивления складывают. Вместо 2 Ом для участка AB получают 9 Ом, общее сопротивление вырастает до 19 Ом, и дальше врут все три напряжения.
• Формулу «произведение на сумму» тянут на три ветви. Она работает только для двух параллельных резисторов; для трёх и более складывают проводимости $1/R$.
• Забывают проверить сумму. Второй закон Кирхгофа даёт бесплатную проверку: сумма напряжений на последовательных участках обязана равняться напряжению источника, и расхождение сразу указывает на ошибку.
• Путают напряжение и ЭДС. Для идеального источника они совпадают, для реального напряжение на клеммах меньше ЭДС на величину падения внутри источника.
• Роняют размерность. Сопротивление в килоомах вместе с током в амперах даёт киловольты вместо вольт, поэтому всё переводят в омы, амперы и вольты до подстановки.

FAQ

Чем напряжение на участке отличается от падения напряжения? Ничем: это одна величина, названная с разных сторон. «Напряжение на резисторе» подчёркивает разность потенциалов между его выводами, «падение напряжения» - что потенциал вдоль направления тока уменьшается именно на эту величину.

Как найти напряжение, если известен только ток в одной ветви? Умножь этот ток на сопротивление своей ветви - получишь напряжение на всём параллельном участке, поскольку у ветвей оно общее. Дальше через это напряжение находятся токи остальных ветвей и общий ток.

Почему на большем сопротивлении напряжение больше? Потому что при последовательном соединении ток общий, и в произведении $IR$ меняется только $R$. Напряжения относятся как сопротивления, поэтому вдвое больший резистор забирает вдвое больше вольт.

Что показывает потенциальная диаграмма в калькуляторе? По горизонтали отложено накопленное сопротивление от начала цепи, по вертикали - потенциал точки. Линия падает от 36 В до нуля, а её наклон равен току; высота ступеньки над каждой полосой и есть напряжение на этом участке.

Коротко

1. Разметь схему: определи, какие участки соединены последовательно, а какие параллельно.
2. Сверни параллельные участки в эквивалентные сопротивления: $R_{AB} = R_2 R_3 / (R_2 + R_3) = 2$ Ом.
3. Сложи последовательные участки и найди ток: $R_{\text{экв}} = 12$ Ом, $I = 36 / 12 = 3$ А.
4. Умножь ток на сопротивление каждого участка: $U_1 = 12$ В, $U_{AB} = 6$ В, $U_4 = 18$ В.
5. Проверь по второму закону Кирхгофа: $12 + 6 + 18 = 36$ В, что совпадает с напряжением источника.