Как рассчитать потери напряжения: пример с формулой

Дано: трёхфазная линия 380 В питает нагрузку $P = 30$ кВт с коэффициентом мощности $\cos\varphi = 0{,}85$; линия выполнена алюминиевым кабелем сечением $S = 25$ мм2, длина $L = 180$ м, погонное индуктивное сопротивление кабеля $x_0 = 0{,}06$ Ом/км. Найти: потерю напряжения в вольтах и процентах.

Порядок действий короткий: расчётный ток, сопротивления линии, потеря по формуле $\Delta U = \sqrt{3}\, I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)$ и сравнение с нормативом. Ответ: 17,3 В, то есть 4,55 % при допустимых 5 %, линия проходит. Сечение здесь задано условием и проверяется, а не подбирается; если его нужно выбрать с нуля, это отдельная задача про выбор сечения провода.

Решение по шагам

Шаг 1. Расчётный ток нагрузки. Для трёхфазной линии ток связан с активной мощностью через линейное напряжение и коэффициент мощности:

$$I = \frac{P}{\sqrt{3}\, U \cos\varphi} = \frac{30\,000}{1{,}732 \cdot 380 \cdot 0{,}85} = \frac{30\,000}{559{,}5} = 53{,}6\ \text{А}.$$

Сразу понадобится и синус угла сдвига фаз: $\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}85^2} = \sqrt{0{,}2775} = 0{,}527$.

Шаг 2. Сопротивления линии. Погонное активное сопротивление жилы считается через удельное сопротивление алюминия $\rho = 0{,}0295$ Ом·мм2/м:

$$r_0 = \frac{\rho \cdot 1000}{S} = \frac{0{,}0295 \cdot 1000}{25} = 1{,}18\ \text{Ом/км}.$$

Умножаем оба погонных сопротивления на длину линии в километрах ($L = 0{,}18$ км):

$$R = r_0 L = 1{,}18 \cdot 0{,}18 = 0{,}212\ \text{Ом}, \qquad X = x_0 L = 0{,}06 \cdot 0{,}18 = 0{,}0108\ \text{Ом}.$$

Шаг 3. Потеря напряжения в вольтах. Подставляем в основную формулу:

$$\Delta U = \sqrt{3}\, I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi) = 1{,}732 \cdot 53{,}6 \cdot (0{,}212 \cdot 0{,}85 + 0{,}0108 \cdot 0{,}527),$$ $$\Delta U = 92{,}8 \cdot (0{,}180 + 0{,}0057) = 92{,}8 \cdot 0{,}186 = 17{,}3\ \text{В}.$$

Шаг 4. Потеря в процентах и сравнение с нормативом. Проценты считают от номинального напряжения линии, то есть от 380 В, а не от фазных 220 В:

$$\Delta U\% = \frac{\Delta U}{U_{\text{ном}}} \cdot 100\% = \frac{17{,}3}{380} \cdot 100\% = 4{,}55\%.$$

Условие $\Delta U\% \le 5\%$ выполняется, запас 0,45 процентного пункта. Полезно сразу назвать и предельную длину: потеря растёт пропорционально длине, поэтому линия того же сечения упрётся в норматив на $180 \cdot 5 / 4{,}55 = 198$ м.

Ответ: потеря напряжения составляет 17,3 В, или 4,55 % от 380 В, что не превышает допустимых 5 %; предельная длина линии при этом сечении около 198 м.

Формула потери напряжения и что в ней стоит

Ток, идущий по линии, встречает на своём пути сопротивление, и часть напряжения источника падает на самой линии, не доходя до потребителя. Продольная составляющая этой разности и есть потеря напряжения:

$$\Delta U = \sqrt{3}\, I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi),$$

где $R$ и $X$ - активное и индуктивное сопротивление одной жилы линии, а множитель $\sqrt{3}$ переводит фазную величину в линейную. Для однофазной линии множитель другой, $k = 2$: ток проходит по двум проводам, туда и обратно, и оба вносят своё сопротивление.

Активное сопротивление берут либо из справочника по марке кабеля, либо считают через удельное сопротивление материала: $R = \rho L / S$. У меди $\rho = 0{,}0175$, у алюминия $0{,}0295$ Ом·мм2/м при 20 °C; откуда берётся эта величина и как она связана с геометрией проводника, подробно разобрано в задачах на удельное сопротивление проводника. Для проверочных расчётов иногда берут сопротивление нагретой жилы при 75 °C: $\rho$ вырастает примерно до $0{,}0313$ Ом·мм2/м у алюминия, и потеря получается на несколько процентов больше.

Индуктивное сопротивление $x_0$ зависит не от сечения, а от расстояния между проводниками. У кабеля жилы лежат вплотную, и $x_0$ составляет 0,06-0,08 Ом/км; у воздушной линии с проводами на траверсах он доходит до 0,35-0,4 Ом/км. Именно поэтому в кабельной задаче реактивной частью иногда пренебрегают, а в задаче про воздушную линию - никогда.

Норматив в учебных расчётах простой: потеря от трансформаторной подстанции до самого дальнего потребителя не должна превышать 5 % номинала. Для линий с двигателями иногда ужесточают до 4 %, для осветительных сетей берут 2,5-4 %, потому что световой поток ламп заметно проседает уже при небольшом снижении напряжения.

Метод моментов: та же задача в одну строку

В курсах электроснабжения ту же потерю считают через момент нагрузки $M = P L$ (мощность на плечо), минуя ток и сопротивления:

$$\Delta U\% = \frac{M}{C \cdot S} = \frac{P L}{C \cdot S},$$

где $P$ подставляется в киловаттах, $L$ - в метрах, $S$ - в мм2, а $C$ - табличный коэффициент, в который свёрнуты напряжение сети и материал жилы:

Проверим на наших числах: $M = 30 \cdot 180 = 5400$ кВт·м, тогда $\Delta U\% = 5400 / (46 \cdot 25) = 4{,}70\%$. Расхождение с точным расчётом всего 0,15 процентного пункта, причём в безопасную сторону: коэффициент $C$ посчитан для нагретой жилы и не учитывает реактивное сопротивление кабеля.

Сам коэффициент не магический, он выводится из той же формулы: $C = U^2 / (10^5 \rho)$. Для алюминия в сети 380 В это $144\,400 / (10^5 \cdot 0{,}0313) = 46$. Метод моментов удобен, когда нагрузок на линии несколько: моменты просто складываются, и для линии с ответвлениями считают сумму $\sum P_i L_i$, где каждое плечо измеряется от источника до своей нагрузки.

Кабель или воздушная линия: когда реактивное сопротивление решает

В разобранной задаче реактивная составляющая дала всего 0,53 В из 17,3 В - около 3 % результата. Отбросить её было бы почти безобидно. Теперь заменим кабель на воздушную линию тем же сечением 25 мм2, но с $x_0 = 0{,}35$ Ом/км:

$$\Delta U = 1{,}732 \cdot 53{,}6 \cdot (0{,}212 \cdot 0{,}85 + 0{,}063 \cdot 0{,}527) = 92{,}8 \cdot 0{,}2134 = 19{,}9\ \text{В},$$ $$\Delta U\% = \frac{19{,}9}{380} \cdot 100\% = 5{,}22\%.$$

Та же нагрузка, та же длина, то же сечение - и норматив уже нарушен. Реактивная часть выросла с 3 % до 16 % от общей потери и вытолкнула результат за предел. Вывод для контрольной: у воздушной линии индуктивное сопротивление отбрасывать нельзя, особенно при низком коэффициенте мощности, когда $\sin\varphi$ велик.

Второй способ исправить положение виден на графике калькулятора: переход на следующую ступень ряда, 35 мм2, снижает потерю в кабельной линии с 4,55 до 3,29 % - потеря обратно пропорциональна сечению, но только в активной части. Третий путь - поднять коэффициент мощности: чем ближе $\cos\varphi$ к единице, тем меньше ток при той же активной мощности. Как считают требуемую компенсацию, разобрано в задаче про реактивную мощность.

Частые ошибки

• Делить на фазное напряжение. В трёхфазной линии проценты считают от 380 В. Деление тех же 17,3 В на 220 В даёт 7,9 % и ложный вывод, что линия не проходит.
• Умножать на 2 в трёхфазной формуле. Множитель $\sqrt{3}$ уже учитывает схему; двойка нужна только однофазной линии с двумя проводами.
• Подставлять длину в оба конца. Длина линии - расстояние от источника до потребителя в одну сторону, обратный провод учтён коэффициентом $k$.
• Смешивать единицы. Погонные сопротивления даны в Ом/км, а длина в задаче обычно в метрах: 180 м - это 0,18 км, иначе результат ошибётся в тысячу раз.
• Забывать $x_0$ на воздушной линии. Для кабеля погрешность 3 %, для воздушной линии с бедным $\cos\varphi$ - до 20 %, и знак ошибки всегда в опасную сторону.
• Путать потерю и падение напряжения. Падение - модуль векторной разности напряжений начала и конца линии, потеря - арифметическая разность их модулей, то есть продольная составляющая. В сетях до 1 кВ они почти совпадают, но в отчёте называть величину нужно правильно.

FAQ

Сколько процентов потери напряжения допускается? Для распределительных сетей до 1 кВ в учебных расчётах принимают не более 5 % от номинала на участке от подстанции до самого удалённого потребителя. Для силовых линий с двигателями норму нередко ужесточают до 4 %, для освещения берут 2,5-4 %. Если в задании норматив указан явно, пользоваться нужно им, а не общим правилом.

Чем потеря напряжения отличается от отклонения напряжения? Потеря - это то, что теряется в самой линии из-за её сопротивления, величина расчётная. Отклонение - разница между фактическим напряжением у потребителя и номинальным, оно включает и режим работы питающей сети, и положение регулировочных ответвлений трансформатора. Норматив 5 % относится к потере в линии, а качество напряжения у потребителя нормируется отдельно.

Как быстро оценить потерю без калькулятора? Методом моментов: перемножить мощность в киловаттах на длину в метрах и разделить на произведение табличного коэффициента и сечения. Для алюминия в сети 380 В коэффициент 46, для меди 77. Оценка получается на несколько процентов завышенной, что для проверки достаточно.

Что делать, если линия не проходит по потере напряжения? Есть четыре рычага: увеличить сечение на ступень, сократить длину или перенести точку питания ближе к нагрузке, скомпенсировать реактивную мощность конденсаторами, а на воздушной линии дополнительно сократить расстояние между проводами. Увеличение сечения работает предсказуемее всего: активная часть потери падает обратно пропорционально сечению.

Коротко

1. Расчётный ток трёхфазной линии: $I = P / (\sqrt{3}\, U \cos\varphi)$, для однофазной без $\sqrt{3}$.
2. Сопротивления одной жилы: $R = r_0 L$ и $X = x_0 L$, где $r_0 = \rho \cdot 1000 / S$ в Ом/км, а длина переводится в километры.
3. Потеря напряжения: $\Delta U = \sqrt{3}\, I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)$, проценты - от номинального линейного напряжения.
4. Быстрая проверка методом моментов: $\Delta U\% = P L / (C S)$, где $C$ равно 46 для алюминия и 77 для меди в сети 380 В.
5. В нашей задаче 30 кВт на 180 м алюминиевым кабелем 25 мм2 дали ток 53,6 А, потерю 17,3 В и 4,55 % при допустимых 5 %; предельная длина такой линии 198 м.