Как рассчитать ток короткого замыкания в сети 0,4 кВ

Дано: цеховая подстанция с трансформатором ТМ-400/10 по схеме соединения обмоток Д/Ун-11, табличные сопротивления $R_{\text{т}} = 5{,}5$ мОм, $X_{\text{т}} = 17{,}1$ мОм, $Z_{\text{т}}^{(1)} = 65$ мОм; к щиту идёт алюминиевый кабель 4х120 мм2 длиной 60 м с удельными $r_0 = 0{,}26$ мОм/м и $x_0 = 0{,}06$ мОм/м; переходные сопротивления контактов щита $R_{\text{к}} = 15$ мОм, напряжение сети 400/230 В. Найти: токи трёхфазного и однофазного замыкания на шинах щита и проверить автомат с отключающей способностью 6 кА.

В сетях до 1 кВ ток замыкания считают методом именованных единиц в миллиомах: активные и индуктивные сопротивления всех элементов от трансформатора до точки повреждения складывают по отдельности, а напряжение делят на модуль суммы. Ответ: $I_{\text{к}}^{(3)} = 5{,}55$ кА и $I_{\text{к}}^{(1)} = 3{,}36$ кА, аппарат с ПКС 6 кА проходит, а с ПКС 4,5 кА не проходит. Калькулятор сверху повторяет тот же расчёт для другого трансформатора, сечения и длины линии.

Решение по шагам

Шаг 1. Сопротивления трансформатора. Их не выводят, а берут из таблицы ГОСТ 28249-93 по мощности и схеме соединения обмоток. Для Д/Ун-11 при 10 кВ:

Последний столбец - самостоятельная величина $Z_{\text{т}}^{(1)}$: сопротивление трансформатора току однофазного замыкания. Оно понадобится в шаге 5, в трёхфазном расчёте не участвует.

Шаг 2. Сопротивления кабеля. Удельные сопротивления жилы умножают на длину линии.

$$R_{\text{каб}} = r_0 L = 0{,}26 \cdot 60 = 15{,}6\ \text{мОм}, \qquad X_{\text{каб}} = x_0 L = 0{,}06 \cdot 60 = 3{,}6\ \text{мОм}.$$

Шаг 3. Суммарное сопротивление цепи КЗ. Активные складывают с активными, индуктивные с индуктивными, и только потом берут модуль; переходные сопротивления контактов относят к активной части.

$$\begin{aligned} R_\Sigma &= R_{\text{т}} + R_{\text{каб}} + R_{\text{к}} = 5{,}5 + 15{,}6 + 15 = 36{,}1\ \text{мОм},\\ X_\Sigma &= X_{\text{т}} + X_{\text{каб}} = 17{,}1 + 3{,}6 = 20{,}7\ \text{мОм},\\ Z_\Sigma &= \sqrt{R_\Sigma^2 + X_\Sigma^2} = \sqrt{36{,}1^2 + 20{,}7^2} = 41{,}6\ \text{мОм}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Ток трёхфазного замыкания. В числителе стоит номинальное линейное напряжение ступени 400 В, а не 380 В на зажимах нагрузки.

$$I_{\text{к}}^{(3)} = \frac{U_{\text{ном}}}{\sqrt{3}\, Z_\Sigma} = \frac{400}{1{,}732 \cdot 41{,}6 \cdot 10^{-3}} = 5550\ \text{А} = 5{,}55\ \text{кА}.$$

Шаг 5. Ток однофазного замыкания через петлю фаза-ноль. Обратный путь тока идёт по нулевой жиле, поэтому её сопротивление входит в расчёт наравне с фазной.

$$\begin{aligned} R_{\text{п}} &= R_{\text{ф}} + R_{0} + R_{\text{к}} = 15{,}6 + 15{,}6 + 15 = 46{,}2\ \text{мОм},\\ X_{\text{п}} &= X_{\text{ф}} + X_{0} = 3{,}6 + 3{,}6 = 7{,}2\ \text{мОм},\\ Z_{\text{п}} &= \sqrt{46{,}2^2 + 7{,}2^2} = 46{,}8\ \text{мОм},\\ I_{\text{к}}^{(1)} &= \frac{U_{\text{ф}}}{Z_{\text{т}}^{(1)}/3 + Z_{\text{п}}} = \frac{230}{(21{,}7 + 46{,}8) \cdot 10^{-3}} = 3361\ \text{А} = 3{,}36\ \text{кА}. \end{aligned}$$

Шаг 6. Проверка аппарата. Отключающая способность должна перекрывать больший из токов, то есть трёхфазный: $6000 \ge 5550$ - условие выполнено, а ряд 4500 А не проходит. Отношение токов $3361 / 5550 = 0{,}61$ типично для сетей 0,4 кВ.

Ответ: $I_{\text{к}}^{(3)} = 5{,}55$ кА, $I_{\text{к}}^{(1)} = 3{,}36$ кА, нужен автомат с ПКС не ниже 6 кА. Подбор номинала и характеристики того же аппарата разобран отдельно в задаче про расчёт автоматического выключателя.

Формула и откуда она берётся

Формула трёхфазного тока - закон Ома для цепи, приведённой к одной фазе. При симметричном замыкании нулевая точка неподвижна, каждая фаза нагружена на своё сопротивление, и через фазное напряжение $U_{\text{ном}}/\sqrt{3}$ ток равен $U_{\text{ном}} / (\sqrt{3} Z_\Sigma)$. Симметричные составляющие здесь не нужны: режим симметричен по определению.

Сложение через корень из суммы квадратов - следствие того, что активное и индуктивное сопротивления сдвинуты на 90 градусов. Модули полных сопротивлений отдельных элементов складывать нельзя, так же как в любой цепи переменного тока: сначала суммируют проекции, потом берут длину вектора. Механика такая же, как при поиске общего сопротивления цепи, только слагаемых больше.

Сопротивление питающей сети 10 кВ обычно не вводят: после приведения к стороне 0,4 кВ оно даёт единицы миллиом при десятках у трансформатора и кабеля и теряется в погрешности таблиц. Учитывать его начинают при мощном трансформаторе и короткой линии.

Вклад элементов меняется по длине линии: на шинах подстанции ток держит один трансформатор, а уже через шестьдесят метров кабель даёт 15,6 мОм против его 5,5 мОм и становится главным ограничителем. Отсюда крутое падение обеих кривых на графике калькулятора.

Петля фаза-ноль: почему однофазный ток меньше

У однофазного замыкания две причины быть слабее трёхфазного. Первая геометрическая: ток идёт по фазной жиле до места повреждения и возвращается по нулевой, поэтому сопротивление проводников удваивается. Вторая в трансформаторе: току нулевой последовательности он сопротивляется по-другому, и у распространённой схемы Д/Ун-11 это сопротивление в разы больше.

Деление $Z_{\text{т}}^{(1)}$ на три не подгонка, а след разложения на симметричные составляющие: ток однофазного замыкания равен утроенному току нулевой последовательности, и тройка переезжает в знаменатель. Строгая запись разобрана в статье про метод симметричных составляющих, а формула шага 5 - её свёрнутая форма.

Сопротивление петли можно не считать, а измерить: прибор контроля петли фаза-ноль показывает $Z_{\text{п}}$ сразу вместе с трансформатором, и ток находится делением 230 В на показание. Расхождение с расчётом в 10-15 процентов нормально: таблицы дают сопротивления горячей жилы, а измеряют холодную.

Нужна эта величина ради проверки защиты: автомат обязан отключить однофазное замыкание за нормированное время, а для этого ток должен превысить верхнюю границу отсечки, у C25 это 250 А. На щите с 3,36 кА запас огромный, но в конце длинной линии малого сечения он исчезает, и приходится увеличивать сечение провода.

Ударный ток и термическая стойкость кабеля

Действующее значение периодической составляющей описывает установившийся процесс, но в первый полупериод к нему добавляется апериодическая составляющая. Её затухание задаёт постоянная времени $T_{\text{а}} = X_\Sigma / (\omega R_\Sigma) = 20{,}7 / (314 \cdot 36{,}1) = 0{,}0018$ с, а ударный коэффициент равен $k_{\text{уд}} = 1 + e^{-0{,}01 / T_{\text{а}}} = 1{,}004$.

$$i_{\text{уд}} = \sqrt{2}\, k_{\text{уд}} I_{\text{к}}^{(3)} = 1{,}414 \cdot 1{,}004 \cdot 5550 = 7880\ \text{А}.$$

Коэффициент почти равен единице - особенность сетей 0,4 кВ: активное сопротивление здесь сравнимо с индуктивным, и апериодическая составляющая гаснет за пару миллисекунд. В сетях 110 кВ картина обратная, там $k_{\text{уд}}$ доходит до 1,8.

Тем же током проверяют кабель на термическую стойкость. Минимальное сечение по нагреву при отключении за $t = 0{,}2$ с равно $S_{\min} = I_{\text{к}}^{(3)} \sqrt{t} / C$, где $C$ - термический коэффициент: 75 для алюминиевых жил с ПВХ-изоляцией и 120 для медных. Подстановка даёт $5550 \cdot 0{,}447 / 75 = 33$ мм2 против фактических 120 мм2, то есть запас четырёхкратный.

Если данные заданы иначе

Вместо табличных сопротивлений часто дают паспортные величины трансформатора: напряжение короткого замыкания $u_{\text{к}}$ в процентах и потери $P_{\text{к}}$ в киловаттах. Тогда $Z_{\text{т}} = u_{\text{к}} U_{\text{ном}}^2 / (100 S_{\text{ном}})$ и $R_{\text{т}} = P_{\text{к}} U_{\text{ном}}^2 / S_{\text{ном}}^2$, а индуктивное находят как катет; сами паспортные данные разобраны в задаче про расчёт мощности трансформатора.

В сетях выше 1 кВ переходят к методу относительных единиц: сопротивления приводят к базисной мощности 100 МВА. Для 0,4 кВ такой пересчёт избыточен, миллиомы нагляднее.

Если задана мощность короткого замыкания системы $S_{\text{к}}$ на шинах 10 кВ, её сопротивление приводят к низкой стороне как $X_{\text{с}} = U_{\text{ном}}^2 / S_{\text{к}}$: при 200 МВА это 0,8 мОм, около двух процентов суммы, и поправку почти всегда опускают.

Частые ошибки

• Складывать полные сопротивления элементов арифметически. Сумма $Z_{\text{т}} + Z_{\text{каб}} = 18{,}0 + 16{,}0 = 34{,}0$ мОм вместо честных 41,6 мОм занижает сопротивление на восемнадцать процентов, а ток завышает до 6,79 кА: складывать нужно раздельно активные и индуктивные части и только потом брать модуль.
• Подставлять 380 В. Расчётным считают номинальное напряжение ступени, то есть 400 В линейного и 230 В фазного; замена занижает оба тока на пять процентов.
• Забывать про индуктивное сопротивление кабеля. У сечений от 95 мм2 величина $x_0$ сравнима с $r_0$, и расчёт по одному активному сопротивлению завышает ток.
• Путать максимальный и минимальный ток замыкания. Переходные сопротивления контактов снижают ток: без 15 мОм в нашей задаче вышло бы 7,81 кА, и понадобился бы аппарат с ПКС 10 кА. Для проверки на отключающую способность берут наибольший возможный ток, для проверки чувствительности защиты - наименьший.
• Не делить сопротивление трансформатора на три. С полным $Z_{\text{т}}^{(1)} = 65$ мОм в знаменателе однофазный ток упал бы до 2,06 кА - занижение в 1,6 раза.
• Считать сопротивление петли равным сопротивлению одной жилы. И прибор, и формула учитывают путь туда и обратно: при равных сечениях фазы и нуля петля вдвое сопротивлённее одной жилы.

FAQ

Чем ток однофазного КЗ отличается от тока в петле фаза-ноль? Ничем: это одна и та же величина, названная по способу расчёта. Термин «петля фаза-ноль» подчёркивает, что ток замыкается через нулевой или защитный проводник, и что сопротивление этого пути можно измерить прибором.

Обязательно ли считать оба тока? Да, они отвечают на разные вопросы. Трёхфазный наибольший, по нему проверяют отключающую способность аппаратов и стойкость шин и кабелей. Однофазный наименьший, по нему проверяют, сработает ли защита вообще.

Почему при том же кабеле ток на щите один, а в конце линии другой? Сопротивление растёт пропорционально длине, а ток обратно пропорционален ему: каждые сто метров алюминия 120 мм2 добавляют 26 мОм и срезают ток в разы. Кривая этого падения и построена в калькуляторе сверху.

Что делать, если расчётный ток превысил ПКС автомата? Взять аппарат следующей ступени отключающей способности либо поставить выше по схеме токоограничивающее устройство: предохранитель или автомат, гасящий дугу за первые миллисекунды.

Коротко

1. Собирают схему замещения: сопротивления трансформатора берут из таблицы ГОСТ 28249-93, кабеля - как $r_0 L$ и $x_0 L$, контактам щита отводят 15-25 мОм.
2. Складывают отдельно активные и индуктивные сопротивления, модуль находят как $Z_\Sigma = \sqrt{R_\Sigma^2 + X_\Sigma^2}$; в примере это 36,1 и 20,7 мОм при полном 41,6 мОм.
3. Трёхфазный ток равен $U_{\text{ном}} / (\sqrt{3} Z_\Sigma)$, для примера 5,55 кА при напряжении ступени 400 В.
4. Однофазный считают по петле фаза-ноль: $I_{\text{к}}^{(1)} = U_{\text{ф}} / (Z_{\text{т}}^{(1)}/3 + Z_{\text{п}})$, где петля включает фазную и нулевую жилы; получилось 3,36 кА.
5. По трёхфазному току проверяют отключающую способность и стойкость, по однофазному - чувствительность защиты; в задаче прошёл автомат с ПКС 6 кА, ударный ток составил 7,88 кА, а минимальное сечение по нагреву 33 мм2.