Как рассчитать контур заземления: расчёт числа электродов

Дано: подстанция 0,4 кВ; грунт суглинок с измеренным удельным сопротивлением $\rho = 100$ Ом·м; вертикальные стержневые электроды длиной $l = 3$ м и диаметром $d = 16$ мм, верхний конец заглублён на $t_0 = 0{,}7$ м; шаг между стержнями $a = 6$ м, размещение по замкнутому контуру, полоса связи сечением 40x4 мм. Найти: сопротивление растеканию одиночного электрода и число стержней, при котором сопротивление всего контура не превысит 4 Ом.

Цепочка расчёта одна и та же для любого контура: расчётное удельное сопротивление грунта, сопротивление одиночного электрода, предварительное число стержней, уточнение по коэффициенту использования, полоса связи и итоговая проверка. Ответ этой задачи: одиночный стержень даёт 48,3 Ом, в контур ставим 20 стержней, итоговое сопротивление 3,03 Ом при допустимых 4 Ом. Калькулятор сверху прогоняет всю цепочку под другой грунт, другую длину стержня и другой норматив.

Решение по шагам

Шаг 1. Расчётное удельное сопротивление грунта. Измеренное значение относится к состоянию грунта в день замера, а заземлитель обязан работать и в промерзший, и в пересохший сезон. Поэтому измеренное $\rho$ умножают на коэффициент сезонности $\psi$, причём для вертикальных и горизонтальных электродов он разный: полоса лежит на 0,7 м, в самом капризном слое, а стержень уходит вглубь, где влажность стабильнее.

Задача решается для II зоны:

$$\rho_{\text{в}} = \rho\,\psi_{\text{в}} = 100 \cdot 1{,}45 = 145\ \text{Ом}\cdot\text{м}, \qquad \rho_{\text{г}} = \rho\,\psi_{\text{г}} = 100 \cdot 2{,}5 = 250\ \text{Ом}\cdot\text{м}.$$

Шаг 2. Сопротивление растеканию одиночного стержня. Электрод заглублён, поэтому берём формулу для вертикального электрода ниже уровня земли. В неё входит глубина до середины электрода:

$$t = t_0 + \frac{l}{2} = 0{,}7 + 1{,}5 = 2{,}2\ \text{м}.$$ $$R_{\text{в1}} = \frac{\rho_{\text{в}}}{2\pi l}\left(\ln\frac{2l}{d} + \frac{1}{2}\ln\frac{4t+l}{4t-l}\right).$$

Подставляем числа. Логарифмы считаем натуральные: $\ln(2 \cdot 3 / 0{,}016) = \ln 375 = 5{,}93$, а второе слагаемое даёт $0{,}5 \cdot \ln(11{,}8 / 5{,}8) = 0{,}5 \cdot 0{,}71 = 0{,}36$.

$$R_{\text{в1}} = \frac{145}{2\pi \cdot 3}\,(5{,}93 + 0{,}36) = 7{,}69 \cdot 6{,}28 = 48{,}3\ \text{Ом}.$$

Шаг 3. Предварительное число стержней. Если бы электроды не мешали друг другу, их сопротивления складывались бы как параллельные:

$$n_0 = \frac{R_{\text{в1}}}{R_{\text{доп}}} = \frac{48{,}3}{4} = 12{,}1 \approx 13\ \text{шт.}$$

Шаг 4. Уточнение по коэффициенту использования. Электроды в одном контуре растекают ток в общий объём грунта и экранируют друг друга, поэтому реальное сопротивление группы выше идеального в $1/\eta_{\text{в}}$ раз. Коэффициент берут по таблице для отношения $a/l = 6/3 = 2$ и размещения по контуру. Между строками n = 10 и n = 20 интерполируем: при n = 13 получаем $\eta_{\text{в}} = 0{,}68 - 0{,}3\,(0{,}68-0{,}63) = 0{,}665 \approx 0{,}67$.

$$n = \frac{n_0}{\eta_{\text{в}}} = \frac{12{,}1}{0{,}67} = 18{,}0 \to 19\ \text{шт.}$$

Принимаем 20 стержней: чётное число ложится по периметру симметрично, а длина контура получается ровной, $6 \cdot 20 = 120$ м.

Шаг 5. Полоса связи. Стержни варят полосой, и она сама работает горизонтальным заземлителем. Для замкнутого контура её длина равна периметру, $L = a\,n = 120$ м, ширина полосы $b = 0{,}04$ м, глубина заложения $t_0 = 0{,}7$ м:

$$R_{\text{г1}} = \frac{\rho_{\text{г}}}{2\pi L}\ln\frac{2L^2}{b\,t_0} = \frac{250}{2\pi \cdot 120}\ln\frac{2 \cdot 120^2}{0{,}04 \cdot 0{,}7} = 0{,}332 \cdot 13{,}84 = 4{,}59\ \text{Ом}.$$

Шаг 6. Сопротивление контура и проверка. При n = 20 и $a/l = 2$ таблица даёт $\eta_{\text{в}} = 0{,}63$ и $\eta_{\text{г}} = 0{,}32$. Считаем сопротивление каждой группы электродов, а потом соединяем их параллельно:

$$R_{\text{в}} = \frac{R_{\text{в1}}}{n\,\eta_{\text{в}}} = \frac{48{,}3}{20 \cdot 0{,}63} = 3{,}84\ \text{Ом}, \qquad R_{\text{г}} = \frac{R_{\text{г1}}}{\eta_{\text{г}}} = \frac{4{,}59}{0{,}32} = 14{,}34\ \text{Ом}.$$ $$R = \frac{R_{\text{в}}\,R_{\text{г}}}{R_{\text{в}} + R_{\text{г}}} = \frac{3{,}84 \cdot 14{,}34}{3{,}84 + 14{,}34} = \frac{55{,}0}{18{,}18} = 3{,}03\ \text{Ом} \le 4\ \text{Ом}.$$

Ответ: сопротивление одиночного вертикального электрода 48,3 Ом; контур из 20 стержней длиной 3 м с шагом 6 м, связанных полосой длиной 120 м, даёт 3,03 Ом при норме 4 Ом, запас около 24 процентов.

Формула сопротивления растеканию и что в ней стоит

Заземлитель не имеет собственного сопротивления в привычном смысле: почти всё сопротивление создаёт грунт в первых метрах вокруг электрода, где ток стекает с малой поверхности в бесконечный объём земли. Отсюда и название - сопротивление растеканию. Ближайший к электроду слой грунта работает как узкое горлышко: на первом метре от стержня теряется больше половины напряжения, а дальше плотность тока падает и вклад грунта стремится к нулю.

Из этого следуют все свойства формулы. Удельное сопротивление грунта входит линейно: перешли из суглинка 100 Ом·м в песок 300 Ом·м - сопротивление выросло втрое, и никакая геометрия этого не компенсирует. Длина стержня стоит в знаменателе перед скобкой, поэтому работает почти линейно: удвоение длины снижает сопротивление примерно вдвое. А диаметр сидит под логарифмом, и его увеличение с 16 до 32 мм даёт выигрыш всего около 10 процентов - гнаться за толстым электродом бессмысленно, дешевле забить длиннее.

Второе слагаемое в скобке отвечает за заглубление. Оно учитывает, что верх электрода находится не на поверхности, а на глубине $t_0$, и ток растекается симметричнее. Если электрод стоит вровень с землёй, формула вырождается в более простую, $R = \rho\,\ln(4l/d) / (2\pi l)$, и даёт результат заметно хуже. Именно поэтому траншею под контур копают на 0,7 м, а не кладут полосу по поверхности.

Коэффициент использования: почему 20 стержней, а не 13

Формальный расчёт по параллельному соединению даёт 13 стержней, реальный контур требует 20. Разница в экранировании: зоны растекания соседних электродов перекрываются, ток каждого стержня вынужден идти в уже занятый объём грунта, и группа работает хуже суммы своих частей. Величину потери описывает коэффициент использования $\eta$: чем плотнее стоят электроды и чем их больше, тем он ниже.

Ключевой параметр таблицы - отношение шага к длине электрода $a/l$. При $a/l = 1$ стержни стоят вплотную и теряется больше половины эффекта; при $a/l = 3$ экранирование почти исчезает, но контур растягивается втрое по периметру. Отсюда практическое правило: шаг берут равным одной или двум длинам электрода, а $a/l = 2$ - типичный компромисс между площадью и металлом. Не путай этот коэффициент с коэффициентом использования электроприёмников в расчёте нагрузок: обозначение похоже, смысл совсем другой.

Полоса связи страдает от экранирования сильнее стержней, её $\eta_{\text{г}}$ при 20 электродах падает до 0,32. Тем не менее выбрасывать её из расчёта нельзя: в нашей задаче она снизила сопротивление с 3,84 до 3,03 Ом, то есть на пятую часть.

Что менять, если контур не проходит

Первый и самый дешёвый рычаг - длина электродов. Стержень 5 м вместо 3 м снижает сопротивление одиночного электрода с 48,3 до 31,6 Ом, то есть примерно на треть и одновременно уходит в более влажный слой, где грунт стабильнее и коэффициент сезонности мягче. Второй рычаг - шаг: раздвинув электроды с 3 до 6 м, ты поднимаешь $\eta_{\text{в}}$ с 0,56 до 0,68 и выигрываешь пятую часть без единого лишнего стержня.

Наращивание количества работает хуже, чем кажется: удвоение числа электродов не делит сопротивление пополам, потому что $\eta$ падает вместе с ростом n. Когда контур упирается в 100 и более стержней, это признак, что нужно не количество, а другое решение - глубинные электроды на 10-15 м, вынос заземлителя в участок с лучшим грунтом или обработка приэлектродного слоя.

Стоит проверить и норматив. Четыре ома требуются для сети 380/220 В с глухозаземлённой нейтралью; для повторного заземления и для ряда установок допускается 10 или 30 Ом, и задача может закрыться пересчётом. Наконец, учитываются естественные заземлители - железобетонный фундамент, металлические оболочки кабелей, водопроводные трубы: их сопротивление включается в контур параллельно и часто снимает половину нагрузки на искусственный заземлитель. Сам же контур считается вместе с остальной частью проекта: расчётной нагрузкой, потерей напряжения и током короткого замыкания, от которого зависит время срабатывания защиты.

Частые ошибки

• Подставляют измеренное $\rho$ без коэффициента сезонности. В нашей задаче это дало бы 33,3 Ом вместо 48,3 Ом и заниженное число стержней - контур не пройдёт замер весной.
• Берут один коэффициент сезонности на стержни и на полосу. Для полосы он в полтора-два раза больше, потому что она лежит в промерзающем слое.
• Забывают коэффициент использования и ставят 13 электродов вместо 20. Формально параллельное соединение сходится, фактически стержни дадут 5,6 Ом, а контур вместе с полосой 4,2 Ом, и норма не выполнена.
• Считают глубину $t$ до верха электрода, а не до его середины. В формуле стоит именно расстояние до середины, $t = t_0 + l/2$.
• Задают длину полосы наугад. Для замкнутого контура это периметр $a\,n$, для линейного ряда - $a(n-1)$; ошибка в длине сразу уводит $R_{\text{г1}}$.
• Складывают $R_{\text{в}}$ и $R_{\text{г}}$. Стержни и полоса соединены параллельно, а не последовательно, поэтому итог всегда меньше меньшего из двух.

FAQ

Откуда берётся норма 4 Ом? Это требование к заземляющему устройству источника в сети 380/220 В с глухозаземлённой нейтралью. Норматив привязан к напряжению и типу сети, а не к мощности объекта; для повторных заземлений и отдельных установок допускаются 10 и 30 Ом.

Можно ли считать без полосы связи? Считать можно, но результат будет с запасом в худшую сторону: полоса даёт параллельную ветвь и снижает сопротивление на 15-25 процентов. В курсовой её обычно требуют учитывать, поскольку сваривать стержни всё равно нужно.

Что делать, если удельное сопротивление грунта неизвестно? Берут табличное значение для типа грунта: песок 300-500 Ом·м, супесь 300, суглинок 100, глина 60, чернозём 50 Ом·м. Для реального проекта эти цифры заменяют результатом измерения четырёхэлектродным методом.

Почему число электродов округляют только вверх? Сопротивление контура убывает с ростом n, поэтому округление вниз выводит расчёт за пределы норматива. Дополнительно берут чётное число, если стержни распределяются по замкнутому периметру.

Коротко

1. Умножь измеренное удельное сопротивление грунта на коэффициент сезонности, отдельно для стержней и для полосы: 100 Ом·м даёт 145 и 250 Ом·м.
2. Найди сопротивление растеканию одиночного вертикального электрода по формуле с двумя логарифмами, считая глубину до середины стержня: 48,3 Ом.
3. Раздели его на норматив и получи предварительное число электродов: 48,3 / 4 = 12,1, то есть 13 штук.
4. Раздели предварительное число на коэффициент использования из таблицы при своём отношении $a/l$ и округли вверх: 12,1 / 0,67 = 18,0, принимаем 20 стержней.
5. Посчитай полосу связи длиной 120 м, соедини её со стержнями параллельно и проверь итог: 3,03 Ом при норме 4 Ом, контур проходит.