Как найти общее сопротивление цепи: расчёт

Дано: источник $U = 30$ В; последовательно включён $R_1 = 4$ Ом, за ним параллельный участок из $R_2 = 6$ Ом и ветви $R_3 = 8$ Ом с $R_4 = 4$ Ом, после участка стоит $R_5 = 2$ Ом. Найти: общее сопротивление цепи и ток.

Схему сворачивают от самых внутренних простых участков к одному резистору: сначала складывают последовательные $R_3$ и $R_4$, затем сворачивают параллельную пару, потом складывают то, что осталось цепочкой. Ответ: $R_{\text{экв}} = 10$ Ом, ток $I = 3$ А, токи ветвей 2 А и 1 А. Калькулятор сверху повторяет эту свёртку для любых сопротивлений, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Топология такая: $R_1$ стоит на входе, дальше цепь разветвляется на две ветви - в одной только $R_2$, в другой последовательно $R_3$ и $R_4$. За узлом, где ветви снова сходятся, включён $R_5$. Найти нужно $R_{\text{экв}}$ и ток $I$, который отдаёт источник.

Шаг 1. Свернуть последовательную ветвь внутри блока. Через $R_3$ и $R_4$ течёт один и тот же ток, между ними нет ответвлений, значит, соединение последовательное и сопротивления просто складываются:

$$R_{34} = R_3 + R_4 = 8 + 4 = 12\ \text{Ом}.$$

После этого шага участок стал по-настоящему параллельным: две ветви по 6 и 12 Ом между одной и той же парой узлов.

Шаг 2. Свернуть параллельный блок. Для двух ветвей удобна формула «произведение на сумму»:

$$R_{\text{пар}} = \frac{R_2 R_{34}}{R_2 + R_{34}} = \frac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\ \text{Ом}.$$

Здесь же делают промежуточную проверку: свёрнутый параллельный блок обязан быть меньше самой маленькой из ветвей. Получилось 4 Ом при ветвях 6 и 12 Ом - условие выполнено. Если бы вышло, например, 18 Ом, ошибка искалась бы прямо на этом шаге.

Шаг 3. Сложить оставшуюся цепочку. Теперь в схеме остались три сопротивления подряд: $R_1$, свёрнутый блок и $R_5$. Все они обтекаются одним током, поэтому складываются:

$$R_{\text{экв}} = R_1 + R_{\text{пар}} + R_5 = 4 + 4 + 2 = 10\ \text{Ом}.$$

Шаг 4. Полный ток по закону Ома. Цепь свёрнута до одного резистора, и ток источника считается напрямую:

$$I = \frac{U}{R_{\text{экв}}} = \frac{30}{10} = 3\ \text{А}.$$

Проверка. Напряжение распределяется по последовательным участкам: $U_1 = I R_1 = 3 \cdot 4 = 12$ В, на блоке $U_{\text{пар}} = I R_{\text{пар}} = 3 \cdot 4 = 12$ В, на пятом резисторе $U_5 = 3 \cdot 2 = 6$ В. Сумма $12 + 12 + 6 = 30$ В совпадает с напряжением источника. Дальше $U_{\text{пар}}$ приложено сразу к обеим ветвям, и токи в них равны $I_2 = 12 / 6 = 2$ А и $I_{34} = 12 / 12 = 1$ А. Их сумма $2 + 1 = 3$ А равна полному току - первое правило Кирхгофа выполняется, свёртка сделана верно.

Ответ: общее сопротивление цепи $R_{\text{экв}} = 10$ Ом, ток источника $I = 3$ А; в ветвях 2 А и 1 А.

Формула: что складывается, а что нет

При последовательном соединении элементы стоят один за другим без ответвлений, ток в них одинаков, а сопротивления складываются:

$$R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n.$$

Разбор этого случая с делителем напряжения - в статье про последовательное соединение резисторов.

При параллельном соединении все элементы подключены к одной и той же паре узлов, напряжение на них одинаково, а складываются проводимости $G = 1/R$:

$$\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}.$$

Физический смысл прост: каждая новая ветвь - это дополнительный путь для тока, суммарная пропускная способность растёт, поэтому общее сопротивление падает. Подробнее с токами ветвей и мощностью - в разборе параллельного соединения резисторов.

Из общей формулы получаются два рабочих частных случая. Для двух ветвей она сворачивается в «произведение на сумму»: $R_{\text{пар}} = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)$. Для $n$ одинаковых резисторов по $R$ ответ ещё короче: $R_{\text{пар}} = R / n$, то есть три резистора по 30 Ом параллельно дают ровно 10 Ом.

Как определить тип соединения на схеме

Главная трудность учебных задач не в формулах, а в том, чтобы понять, что с чем соединено. Схему часто рисуют неудобно: провода пересекаются, резисторы стоят под углом, и на глаз кажется, что всё соединено вперемешку. Надёжный приём один - расставить номера узлов.

Узел - это точка, где сходятся три и более проводника. Проводник без резистора сопротивления не имеет, поэтому все точки, соединённые голым проводом, - это один и тот же узел. Помечают буквами каждый узел на схеме и рядом с каждым резистором подписывают, между какими двумя узлами он включён. Дальше правило механическое:

После свёртки любого участка схему полезно перерисовать заново: то, что было запутанным, обычно превращается в очевидную цепочку. Порядок свёртки начинают с самых внутренних простых блоков - в нашей задаче нельзя было сразу сложить $R_1$ с $R_2$, потому что между ними стоит узел разветвления, и через них текут разные токи.

Полезны и грубые оценки для контроля: общее сопротивление любой цепи меньше суммы всех сопротивлений и больше самого большого параллельного участка, взятого в отдельности. В нашем примере сумма всех пяти равна 24 Ом, а ответ 10 Ом - результат правдоподобен. Если же посчитанное $R_{\text{экв}}$ вышло больше суммы, где-то потерян шаг.

Особые случаи: одинаковые ветви и мост

Когда все резисторы одинаковы, расчёт делается устно. Два одинаковых параллельно дают половину номинала, три - треть. Этим часто пользуются составители задач: цепь из шести резисторов по 12 Ом, соединённых по три параллельно в двух группах, даёт $4 + 4 = 8$ Ом без единой дроби.

Отдельный случай - мостовая схема, где к четырём плечам добавлена перемычка по диагонали. Ни одна пара резисторов там не оказывается ни строго последовательной, ни строго параллельной, и алгоритм свёртки застревает. Сначала проверяют условие равновесия моста: $R_1 / R_2 = R_3 / R_4$. Для плеч 4, 8, 6 и 12 Ом получаем $4/8 = 6/12 = 0{,}5$ - мост уравновешен, напряжение на диагонали нулевое, ток по перемычке не идёт, и её можно просто убрать. Тогда схема распадается на две последовательные цепочки, включённые параллельно: $(4 + 6) \parallel (8 + 12) = 10 \cdot 20 / 30 \approx 6{,}67$ Ом.

Если мост не уравновешен, применяют преобразование треугольника в звезду. Для треугольника со сторонами $R_{ab}$, $R_{bc}$, $R_{ca}$ лучи эквивалентной звезды равны

$$R_a = \frac{R_{ab} R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}, \qquad R_b = \frac{R_{ab} R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}, \qquad R_c = \frac{R_{bc} R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}.$$

После замены одного треугольника звездой схема снова становится последовательно-параллельной и сворачивается обычным порядком. Альтернатива для сложных цепей - составить систему уравнений по законам Кирхгофа, найти общий ток и получить сопротивление как $R_{\text{экв}} = U / I$; этот путь разобран в статье про правила Кирхгофа.

Частые ошибки

• Складывают всё подряд. Пять сопротивлений из условия в сумме дают 24 Ом вместо 10 Ом: параллельный участок нельзя складывать, его сначала сворачивают. На графике калькулятора обе полосы показаны рядом, разница видна сразу.
• Забывают перевернуть дробь. Посчитали $1/R_{\text{пар}} = 1/4$ и записали 0,25 Ом вместо 4 Ом. Формула проводимостей всегда требует последнего шага - взять обратную величину.
• Складывают последовательный резистор с одной ветвью. $R_1$ стоит до разветвления и включён последовательно со всем блоком целиком, а не с $R_2$ или с $R_3$ по отдельности.
• Не замечают, что провод стягивает узлы. Участок, замкнутый накоротко голым проводником, из расчёта выпадает: напряжение на нём нулевое, и в свёртке он не участвует.
• Берут напряжение источника как напряжение на параллельном блоке. На блок приходится только $U_{\text{пар}} = I R_{\text{пар}}$, остальное падает на последовательных участках.
• Пропускают проверку по Кирхгофу. Сумма токов ветвей обязана равняться полному току; расхождение означает ошибку в свёртке, а не в округлении.

FAQ

Как быстро найти общее сопротивление двух параллельных резисторов? Формулой «произведение на сумму»: $R = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)$. Для 6 и 12 Ом это $72/18 = 4$ Ом. Если резисторы одинаковы, ответ равен половине номинала, и считать вообще не нужно.

Общее сопротивление всегда меньше наименьшего резистора? Только для чисто параллельного соединения. В смешанной цепи последовательные участки прибавляются к свёрнутому блоку, поэтому итог может оказаться больше любого отдельного резистора: у нас 10 Ом при самом большом номинале 8 Ом.

Как найти общее сопротивление, если известны напряжение и ток? Прямо по закону Ома: $R_{\text{экв}} = U / I$. Этим пользуются в лабораторных работах и в расчёте сложных цепей, где свёртка невозможна: сначала находят ток любым методом, потом делят напряжение на него.

Нужно ли учитывать сопротивление проводов и источника? В типовой учебной задаче нет: провода считают идеальными. Внутреннее сопротивление источника учитывают, когда оно задано в условии, добавляя его последовательно в общую цепь. Сопротивление реальных линий считают отдельно, при выборе сечения провода.

Коротко

1. Расставить узлы и определить, какие резисторы соединены последовательно, а какие параллельно; при неудобной схеме - перерисовать.
2. Свернуть самый внутренний простой участок: последовательные складывают, параллельные считают по формуле проводимостей.
3. Повторять свёртку, пока не останется одно сопротивление; после каждого шага проверять, что свёрнутый параллельный блок меньше меньшей из ветвей.
4. По найденному $R_{\text{экв}}$ считать ток $I = U / R_{\text{экв}}$, затем разматывать расчёт обратно и проверять сумму токов ветвей по первому правилу Кирхгофа.
5. В нашей задаче: $R_{34} = 12$ Ом, $R_{\text{пар}} = 4$ Ом, общее сопротивление 10 Ом, ток 3 А, токи ветвей 2 А и 1 А.