Как применить законы Кирхгофа: расчёт токов цепи

Дано: ветвь с источником $E_1 = 12$ В и сопротивлением $R_1 = 3$ Ом, ветвь с источником $E_2 = 10$ В и сопротивлением $R_2 = 4$ Ом, обе подключены к общей ветви $R_3 = 2$ Ом между узлами $a$ и $b$. Найти: токи всех трёх ветвей, проверить ответ балансом мощностей.

Законы Кирхгофа превращают схему в систему линейных уравнений: сколько в цепи неизвестных токов, столько нужно и уравнений. Ветвей здесь три, узла два, поэтому одно уравнение даёт первый закон и два - второй. Ответ: $I_1 = 2$ А, $I_2 = 1$ А, $I_3 = 3$ А, баланс мощностей сходится на 34 Вт. Калькулятор сверху решает ту же систему при любых ЭДС и сопротивлениях и сразу показывает, сошёлся ли баланс.

Решение по шагам

Шаг 1. Разметить схему и посчитать неизвестные. В цепи два узла - $a$ и $b$, в которых сходятся все три ветви. Ветвей тоже пересчитываем: первая с $E_1$ и $R_1$, вторая с $E_2$ и $R_2$, третья с $R_3$. Значит, неизвестных токов три: $I_1$, $I_2$, $I_3$. Направления выбираем произвольно - пусть $I_1$ и $I_2$ втекают в узел $a$, а $I_3$ вытекает из него в общую ветвь. Если угадали неверно, ток просто получится со знаком минус, пересчитывать ничего не придётся.

Шаг 2. Уравнение по первому закону. Узлов два, независимых узловых уравнений на единицу меньше: $q - 1 = 1$. Берём узел $a$ и записываем, что сумма втекающих токов равна сумме вытекающих:

$$I_1 + I_2 = I_3$$

Второй узел $b$ даст ровно то же самое равенство с переставленными сторонами, поэтому его не пишем - оно не добавит новой информации.

Шаг 3. Уравнение по второму закону для первого контура. Независимых контуров ровно $p - q + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$. Первый контур обводим по ветви с $E_1$ и по общей ветви $R_3$. Обход ведём по часовой стрелке, по направлению $I_1$; ЭДС берём со знаком плюс, потому что внутри источника обход идёт от минуса к плюсу:

$$E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3 \quad \Rightarrow \quad 3 I_1 + 2 I_3 = 12$$

Шаг 4. Уравнение для второго контура. Так же обводим контур с $E_2$, $R_2$ и той же общей ветвью $R_3$:

$$E_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3 \quad \Rightarrow \quad 4 I_2 + 2 I_3 = 10$$

Три уравнения на три неизвестных - система замкнулась, можно решать.

Шаг 5. Решить систему. Выражаем токи ветвей с источниками через $I_3$ и подставляем в узловое уравнение:

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{12 - 2 I_3}{3} = 4 - \tfrac{2}{3} I_3, \\ I_2 &= \frac{10 - 2 I_3}{4} = 2{,}5 - 0{,}5 I_3, \\ I_3 &= I_1 + I_2 = 6{,}5 - \tfrac{7}{6} I_3. \end{aligned}$$

Отсюда $\tfrac{13}{6} I_3 = 6{,}5$, то есть $I_3 = 3$ А. Обратной подстановкой получаем $I_1 = 4 - 2 = 2$ А и $I_2 = 2{,}5 - 1{,}5 = 1$ А. Все три значения положительные - направления на схеме угаданы верно.

Шаг 6. Проверить баланс мощностей. Источники отдают $P_{\text{ист}} = E_1 I_1 + E_2 I_2 = 12 \cdot 2 + 10 \cdot 1 = 34$ Вт. Сопротивления потребляют $P_{\text{потр}} = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 9 \cdot 2 = 34$ Вт.

Ответ: $I_1 = 2$ А, $I_2 = 1$ А, $I_3 = 3$ А; баланс мощностей 34 Вт = 34 Вт.

Сколько уравнений нужно и откуда берётся это число

Главная ошибка на старте - писать уравнения наугад и получить либо недостаток, либо зависимые строки, которые ничего не дают. Число уравнений определяется топологией схемы и считается заранее. Пусть в цепи $q$ узлов и $p$ ветвей. Тогда по первому закону берут $q - 1$ уравнение, по второму - $p - q + 1$. В сумме получается ровно $p$ уравнений, то есть по одному на каждый неизвестный ток ветви.

Для нашей цепи $q = 2$ и $p = 3$, поэтому один узел и два контура. Для схемы посложнее, скажем на четыре узла и шесть ветвей, выйдет три узловых уравнения и три контурных. Узлы выбирают любые, кроме одного: последний узел всегда даёт комбинацию предыдущих.

С контурами правило другое: каждый следующий контур обязан содержать хотя бы одну ветвь, которая ещё не входила в ранее выбранные. Удобный ориентир - брать «элементарные ячейки» схемы, то есть контуры, внутри которых нет других ветвей. Если в цепи есть идеальный источник тока, ветвь с ним из контуров исключают, и число контурных уравнений уменьшается на единицу: ток такой ветви уже известен. Общая теория с разбором самого понятия разветвлённой цепи есть в статье про правила Кирхгофа, здесь же важна только механика подсчёта.

Знаки: как расставить и не потерять

Знаки - самое узкое место всего метода, и правило здесь предельно формальное. Сначала на схеме стрелками задают произвольные направления токов ветвей, потом для каждого контура выбирают направление обхода, обычно по часовой стрелке для всех контуров сразу, чтобы не путаться.

В левой части уравнения собирают ЭДС. Слагаемое $E_k$ входит со знаком плюс, если при обходе мы проходим источник от минуса к плюсу, то есть направление обхода совпадает с направлением ЭДС. Если источник включён навстречу обходу, его ставят с минусом.

В правой части собирают падения напряжения. Слагаемое $I_k R_k$ входит с плюсом, когда стрелка тока совпадает с направлением обхода, и с минусом, когда направлена против. Обрати внимание: знак определяется стрелкой на схеме, а не тем, каким получится ток после решения. Поэтому произвольный выбор направлений ничего не портит.

Если общая ветвь входит в два контура, в одном уравнении она может оказаться с плюсом, а в другом с минусом - это нормально и как раз связывает уравнения между собой. В нашей задаче обе стрелки обхода проходят $R_3$ в направлении $I_3$, поэтому слагаемое $2 I_3$ вошло в оба уравнения с плюсом.

Проверка ответа: баланс мощностей и знак тока

Баланс мощностей - это закон сохранения энергии для всей цепи: суммарная мощность источников равна суммарной мощности, выделяющейся на сопротивлениях. Формально

$$\sum_k E_k I_k = \sum_k I_k^2 R_k$$

Проверка сильна тем, что ловит почти любую арифметическую ошибку: перепутанный знак или неверно решённая система разводят левую и правую части на заметную величину. Расхождение до 1-2 процентов допустимо и объясняется округлением токов, больше - признак ошибки.

Отдельно смотрят на знак произведения $E_k I_k$. Если он отрицательный, источник работает не генератором, а потребителем: его заряжают. Такое бывает при встречном включении или когда одна ЭДС заметно меньше другой. В балансе этот источник переходит на сторону потребителей, и равенство всё равно сходится - калькулятор сверху показывает такую перестановку наглядно, если сдвинуть $E_2$ вниз.

Тот же ответ другим методом

Полученные токи полезно перепроверить независимым способом. Для схемы с двумя узлами быстрее всего идёт метод двух узлов: сначала считают напряжение между узлами, а потом токи ветвей по закону Ома.

$$U_{ab} = \frac{E_1 / R_1 + E_2 / R_2}{1 / R_1 + 1 / R_2 + 1 / R_3} = \frac{4 + 2{,}5}{\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}} = \frac{6{,}5}{\tfrac{13}{12}} = 6 \text{ В}$$

Дальше $I_1 = (E_1 - U_{ab}) / R_1 = (12 - 6) / 3 = 2$ А, $I_2 = (10 - 6) / 4 = 1$ А, $I_3 = U_{ab} / R_3 = 6 / 2 = 3$ А. Совпало полностью, и именно эту формулу использует калькулятор сверху: она эквивалентна системе Кирхгофа, просто решённой заранее в общем виде. Подробности - в разборе метода двух узлов.

Когда узлов больше двух, вместо прямой системы обычно берут метод контурных токов или метод узловых потенциалов: они дают меньше уравнений при том же ответе. Но законы Кирхгофа остаются фундаментом - оба метода выводятся именно из них. Если же цепь вообще без источников в ветвях и нужно лишь свернуть резисторы, задача решается проще: смотри разбор про общее сопротивление цепи.

Частые ошибки

• Написали уравнения для обоих узлов и получили зависимую систему: узловых уравнений всегда на одно меньше, чем узлов.
• Выбрали контуры, повторяющие друг друга по ветвям. Каждый новый контур обязан добавлять хотя бы одну ещё не задействованную ветвь, иначе уравнение окажется линейной комбинацией прежних.
• Поставили знак $I_k R_k$ по будущему знаку тока, а не по стрелке на схеме. Знак определяется только направлением обхода относительно нарисованной стрелки.
• Перепутали знак ЭДС при встречном включении источника: если обход идёт внутри источника от плюса к минусу, слагаемое отрицательное.
• Отбросили минус у найденного тока и переписали ответ как положительный. Минус несёт информацию: реальное направление противоположно выбранному, а модуль верен.
• Посчитали баланс мощностей как $E_k^2 / R_k$ или забыли возвести ток в квадрат в правой части. На сопротивлении выделяется именно $I^2 R$.
• Не учли внутреннее сопротивление источника: если в условии дано $r$, его прибавляют к сопротивлению своей ветви.

FAQ

Сколько уравнений надо для схемы с тремя узлами и пятью ветвями? Неизвестных токов пять, значит нужно пять уравнений: $q - 1 = 2$ по первому закону и $p - q + 1 = 3$ по второму. Узлы берут любые два из трёх, контуры - три элементарные ячейки схемы.

Что делать, если ток получился отрицательным? Ничего не пересчитывать. Модуль тока верный, а знак минус означает, что реальное направление обратно выбранному на схеме. В баланс мощностей такой ток входит со своим знаком, и если отрицательным оказалось произведение $E I$, источник работает потребителем.

Можно ли выбрать направления токов «правильно» с первого раза? Для простых схем направление угадывается по тому, какая ЭДС больше, но делать это необязательно. Метод устроен так, что любой произвольный выбор приводит к верному ответу, поэтому время на угадывание тратить не стоит.

Обязательно ли обходить все контуры в одну сторону? Нет, но так удобнее: при едином направлении обхода знаки расставляются механически, и ошибиться труднее. Ответ от выбора направления обхода не зависит - меняется только знак обеих частей уравнения сразу.

Куда девать ветвь с источником тока? Ток такой ветви известен и неизвестным не является. Ветвь исключают из выбираемых контуров, а её ток подставляют прямо в узловые уравнения; число контурных уравнений при этом уменьшается на единицу.

Коротко

1. Посчитай узлы $q$ и ветви $p$: уравнений по первому закону будет $q - 1$, по второму $p - q + 1$, всего $p$ - по одному на каждый ток.
2. Расставь произвольные стрелки токов и выбери направление обхода контуров, лучше одинаковое для всех.
3. Запиши узловые уравнения: сумма втекающих токов равна сумме вытекающих.
4. Запиши контурные: слева сумма ЭДС со знаком по обходу, справа сумма $I_k R_k$ со знаком по стрелке тока.
5. Реши систему и проверь баланс мощностей. Для условия $E_1 = 12$ В, $R_1 = 3$ Ом, $E_2 = 10$ В, $R_2 = 4$ Ом, $R_3 = 2$ Ом ответ: $I_1 = 2$ А, $I_2 = 1$ А, $I_3 = 3$ А при балансе 34 Вт.