Как найти параметры четырёхполюсника: A, B, C, D

Дано: Т-образный четырёхполюсник, продольные ветви $Z_1 = 10$ Ом и $Z_3 = j15$ Ом, поперечная ветвь $Z_2 = -j20$ Ом. Найти: коэффициенты A-формы и проверить условие взаимности.

Коэффициенты снимают прямо со схемы: $A$ и $C$ считают в режиме холостого хода на выходе, $B$ и $D$ - в режиме короткого замыкания. Ответ: $A = 1 + j0{,}5$, $B = 2{,}5 + j15$ Ом, $C = j0{,}05$ См, $D = 0{,}25$, условие $AD - BC = 1$ выполняется точно. Калькулятор сверху пересчитает все четыре коэффициента под свои сопротивления ветвей и покажет, как входное сопротивление переходит от режима короткого замыкания к режиму холостого хода.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $A$, $B$, $C$, $D$ и значение выражения $AD - BC$.

Шаг 1. Записываем уравнения A-формы. Четырёхполюсник в этой форме связывает вход с выходом: входные напряжение и ток выражаются через выходные.

$$\begin{aligned} \dot U_1 &= A \dot U_2 + B \dot I_2, \\ \dot I_1 &= C \dot U_2 + D \dot I_2. \end{aligned}$$

Ток $\dot I_2$ здесь направлен из четырёхполюсника в нагрузку, поэтому перед $B$ и $D$ стоят плюсы. Все величины комплексные, расчёт ведётся символическим методом, и арифметика с $j$ дальше будет обычной комплексной арифметикой.

Шаг 2. Холостой ход на выходе даёт $A$ и $C$. Разрываем выходные зажимы: $\dot I_2 = 0$, ветвь $Z_3$ обесточена, ток идёт только через $Z_1$ и $Z_2$. Выходное напряжение равно напряжению на поперечной ветви, то есть схема превращается в обычный делитель.

$$A = \left.\frac{\dot U_1}{\dot U_2}\right|_{\dot I_2 = 0} = \frac{Z_1 + Z_2}{Z_2} = 1 + \frac{Z_1}{Z_2} = 1 + \frac{10}{-j20} = 1 + j0{,}5.$$

Деление на мнимое число удобно делать умножением на $j$ сверху и снизу: $\dfrac{10}{-j20} = \dfrac{10j}{-j^2 \cdot 20} = \dfrac{10j}{20} = j0{,}5$. Коэффициент $C$ в том же режиме равен отношению входного тока к выходному напряжению, а весь входной ток течёт через $Z_2$:

$$C = \left.\frac{\dot I_1}{\dot U_2}\right|_{\dot I_2 = 0} = \frac{1}{Z_2} = \frac{1}{-j20} = j0{,}05 \ \text{См}.$$

Шаг 3. Короткое замыкание на выходе даёт $B$ и $D$. Теперь $\dot U_2 = 0$, и выходной ток $\dot I_2$ течёт через ветвь $Z_3$. Напряжение на поперечной ветви равно падению на $Z_3$, значит через $Z_2$ идёт ток $\dot I_2 Z_3 / Z_2$, а входной ток складывается из двух слагаемых:

$$D = \left.\frac{\dot I_1}{\dot I_2}\right|_{\dot U_2 = 0} = 1 + \frac{Z_3}{Z_2} = 1 + \frac{j15}{-j20} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25.$$

Входное напряжение в этом же режиме складывается из падения на $Z_1$ и напряжения на поперечной ветви:

$$B = \left.\frac{\dot U_1}{\dot I_2}\right|_{\dot U_2 = 0} = Z_1 + Z_3 + \frac{Z_1 Z_3}{Z_2} = 10 + j15 + \frac{10 \cdot j15}{-j20} = 10 + j15 - 7{,}5 = 2{,}5 + j15 \ \text{Ом}.$$

Шаг 4. Проверяем условие взаимности. Для пассивной схемы из резисторов, катушек и конденсаторов определитель матрицы A-параметров обязан равняться единице.

$$\begin{aligned} AD &= (1 + j0{,}5) \cdot 0{,}25 = 0{,}25 + j0{,}125, \\ BC &= (2{,}5 + j15) \cdot j0{,}05 = -0{,}75 + j0{,}125, \\ AD - BC &= 0{,}25 + j0{,}125 + 0{,}75 - j0{,}125 = 1. \end{aligned}$$

Ответ: $A = 1 + j0{,}5$, $B = 2{,}5 + j15$ Ом, $C = j0{,}05$ См, $D = 0{,}25$; $AD - BC = 1$, четырёхполюсник взаимный и несимметричный, поскольку $A \neq D$.

Формулы A-параметров и что означает каждый коэффициент

Определение коэффициента - это отношение двух величин в одном из двух крайних режимов, поэтому все четыре формулы читаются одинаково: закрой выход или разомкни его и раздели одну величину на другую. Размерности у коэффициентов разные, и это хорошая страховка от ошибки в выкладках.

В П-схеме поперечные ветви стоят по краям, продольная - посередине, и формулы меняются местами почти зеркально: то, что в Т-схеме было сопротивлением передачи, в П-схеме становится проводимостью. Подставлять числа в чужие формулы нельзя, сначала нужно опознать схему. Переключатель в калькуляторе сверху показывает обе: при одних и тех же ветвях коэффициенты выходят совершенно разными.

Физический смысл такой. Коэффициент $A$ показывает, во сколько раз входное напряжение больше выходного на холостом ходу, $D$ - то же самое для токов при закороченном выходе. Коэффициент $B$ имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением передачи, $C$ - проводимость передачи. Если схема симметрична (её можно перевернуть, и зажимы не различить), то $A = D$, и расчёт заметно упрощается. Наша схема несимметрична: продольные ветви разные.

Главное достоинство A-формы - каскадное соединение. Когда четырёхполюсники включены друг за другом, матрицы их A-параметров просто перемножаются, а порядок сомножителей совпадает с порядком звеньев. Именно поэтому через A-параметры удобно описывать линии связи и цепочки фильтров; эта же логика лежит в основе расчёта волнового сопротивления линии передачи.

Параметры через опыты холостого хода и короткого замыкания

Если схема внутри неизвестна (чёрный ящик, готовый фильтр, кусок кабеля), коэффициенты определяют измерениями. Достаточно трёх независимых опытов: четыре комплексных коэффициента связаны одним уравнением $AD - BC = 1$, поэтому независимых величин остаётся три. Для нашей схемы расчётные значения такие.

Первые два значения легко проверить по схеме: при разомкнутом выходе со входа видно $Z_1 + Z_2 = 10 - j20$ Ом, при закороченном - $Z_1$ последовательно с параллельным соединением $Z_2$ и $Z_3$, что тоже даёт $10 + j60$ Ом. Такая сверка занимает минуту и сразу ловит ошибку в коэффициентах.

Обратный ход - от измерений к коэффициентам. Подставив $A = C Z_{1\text{хх}}$ и $D = C Z_{2\text{хх}}$ в условие взаимности, получаем сначала $C$, а потом всё остальное:

$$C = \frac{1}{\sqrt{Z_{2\text{хх}}\left(Z_{1\text{хх}} - Z_{1\text{кз}}\right)}}, \quad A = C Z_{1\text{хх}}, \quad D = C Z_{2\text{хх}}, \quad B = D Z_{1\text{кз}}.$$

Для наших чисел под корнем стоит $(-j5)(10 - j20 - 10 - j60) = (-j5)(-j80) = -400$, корень равен $\pm j20$, и коэффициент $C$ получается равным $j0{,}05$ См - ровно то, что дал расчёт по схеме. Второй знак корня даёт весь набор с обратными знаками: $A = -1 - j0{,}5$, $D = -0{,}25$. Это не ошибка измерений, а смена полярности выходных зажимов; выбирают знак, при котором у пассивной схемы вещественные части входных сопротивлений неотрицательны.

Ещё одна проверка опытных данных: из четырёх сопротивлений независимы только три, и они связаны равенством $Z_{1\text{хх}} Z_{2\text{кз}} = Z_{1\text{кз}} Z_{2\text{хх}}$. В нашем случае обе части равны $300 - j50$ Ом. Если в лабораторной работе это равенство не сходится, виноваты измерения, а не формулы. Сами комплексные сопротивления при этом снимают обычным способом - по показаниям приборов и сдвигу фаз между током и напряжением.

Проверка ответа и переход к другим формам

Самая надёжная проверка коэффициентов - посчитать входное сопротивление под нагрузкой двумя способами. Через A-параметры:

$$Z_{\text{вх}} = \frac{A Z_{\text{н}} + B}{C Z_{\text{н}} + D} = \frac{(1 + j0{,}5) \cdot 40 + 2{,}5 + j15}{j0{,}05 \cdot 40 + 0{,}25} = \frac{42{,}5 + j35}{0{,}25 + j2} = 19{,}85 - j18{,}77 \ \text{Ом}.$$

Прямо по схеме при нагрузке $Z_{\text{н}} = 40$ Ом получаем $Z_1 + Z_2 \parallel (Z_3 + Z_{\text{н}})$, и это те же $19{,}85 - j18{,}77$ Ом. Свернуть смешанное соединение помогает обычная техника из задачи про общее сопротивление цепи. График в калькуляторе строит как раз эту зависимость: при нулевой нагрузке кривая начинается со значения опыта короткого замыкания, а при большом сопротивлении выходит на горизонталь холостого хода.

Другие формы записи получаются из A-параметров без новых измерений - это просто пересчёт.

Равенство $Z_{12} = Z_{21}$ - это то же условие взаимности, записанное в другой форме. Для Т-схемы взаимное сопротивление численно совпадает с поперечной ветвью: $Z_{12} = Z_2 = -j20$ Ом, и это ещё один быстрый способ убедиться, что коэффициенты найдены верно. Все комплексные величины здесь записаны в алгебраической форме, но при желании их переводят в показательную по правилам метода комплексных амплитуд.

Частые ошибки

• Неверное направление выходного тока. В A-форме ток $\dot I_2$ вытекает из четырёхполюсника в нагрузку. Если в задании принято обратное направление, знаки у $B$ и $D$ меняются, и условие взаимности перестаёт сходиться.
• Формулы Т-схемы подставляют в П-схему. У них совпадают только буквы. Для П-схемы $B = Z_2$, а не $Z_1 + Z_3 + Z_1 Z_3 / Z_2$; перед подстановкой нужно опознать схему замещения.
• Деление на мнимое число «как на обычное». $10 / (-j20)$ равно $+j0{,}5$, а не $-j0{,}5$: при переносе $j$ из знаменателя появляется множитель $j^2 = -1$. Из-за этой ошибки знак реактивной части уезжает у всех четырёх коэффициентов сразу.
• Проверка взаимности по модулям. Равенство $|A||D| - |B||C| = 1$ в общем случае неверно. Перемножать надо комплексные числа целиком, и только тогда мнимые части взаимно уничтожаются.
• Два опыта вместо трёх. Двух измерений хватает лишь симметричному четырёхполюснику, у которого $A = D$. Несимметричному нужны три независимых опыта, иначе система недоопределена.
• Потерянные размерности. $B$ измеряется в омах, $C$ - в сименсах, $A$ и $D$ безразмерны. Если $C$ получился в омах, перепутаны строки уравнений A-формы.

FAQ

Сколько опытов нужно, чтобы найти все четыре коэффициента? Три: холостой ход и короткое замыкание со стороны входа плюс один опыт со стороны выхода. Четвёртая величина восстанавливается из условия $AD - BC = 1$. Для симметричного четырёхполюсника достаточно двух опытов.

Что означает условие $AD - BC = 1$? Это признак взаимности: определитель матрицы A-параметров равен единице у любой пассивной цепи из резисторов, катушек и конденсаторов. У невзаимных четырёхполюсников с управляемыми источниками (транзисторный каскад, гиратор) определитель отличается от единицы, и проверка перестаёт работать.

Чем A-форма отличается от Z- и Y-форм? A-форма связывает вход с выходом и потому удобна для каскадов: матрицы звеньев перемножаются. Z- и Y-формы связывают токи и напряжения обеих сторон между собой и удобнее при параллельном или последовательном соединении четырёхполюсников.

Как понять, что четырёхполюсник симметричный? Достаточно сравнить $A$ и $D$: при $A = D$ схему можно перевернуть, не заметив разницы. Тогда имеет смысл характеристическое сопротивление $Z_{\text{с}} = \sqrt{B/C}$, которым пользуются при согласовании линий. В нашем примере $A = 1 + j0{,}5$, а $D = 0{,}25$, так что четырёхполюсник несимметричен.

Коротко

1. Записать уравнения A-формы: $\dot U_1 = A\dot U_2 + B\dot I_2$, $\dot I_1 = C\dot U_2 + D\dot I_2$.
2. Разомкнуть выход и найти $A = 1 + Z_1/Z_2$ и $C = 1/Z_2$; закоротить выход и найти $D = 1 + Z_3/Z_2$ и $B = Z_1 + Z_3 + Z_1 Z_3/Z_2$.
3. Подставить числа: для $Z_1 = 10$ Ом, $Z_2 = -j20$ Ом, $Z_3 = j15$ Ом получается $A = 1 + j0{,}5$, $B = 2{,}5 + j15$ Ом, $C = j0{,}05$ См, $D = 0{,}25$.
4. Проверить взаимность: $AD - BC = 1$, и дополнительно сверить $Z_{1\text{хх}} = A/C = 10 - j20$ Ом с расчётом по схеме.
5. При неизвестной схеме снять три опыта и пересчитать: $C = 1/\sqrt{Z_{2\text{хх}}(Z_{1\text{хх}} - Z_{1\text{кз}})}$, далее $A$, $D$ и $B$.