Волновое сопротивление линии передачи: формула и расчёт

Волновое сопротивление линии передачи $Z_0$ - это отношение амплитуд напряжения и тока в бегущей волне, распространяющейся по линии в одном направлении. Оно не зависит ни от длины линии, ни от того, что подключено на конце, а определяется только геометрией проводников и диэлектриком между ними. Именно $Z_0$ решает, отразится ли сигнал от нагрузки обратно к источнику или пройдёт в неё целиком. Ниже разберём формулы для двух практических геометрий - коаксиального кабеля и двухпроводной линии, - а также как несогласованная нагрузка порождает коэффициент отражения и стоячую волну. Чтобы сразу увидеть, как сечение линии и сопротивление нагрузки влияют на итоговые числа, покрути калькулятор ниже: он считает $Z_0$, коэффициент отражения и КСВ одновременно.

Что такое волновое сопротивление линии передачи

Любую длинную линию - коаксиальный кабель, двухпроводную линию, полосковую линию на плате - можно представить как цепочку из бесконечно малых элементов с погонной индуктивностью $L$ (Гн/м) и погонной ёмкостью $C$ (Ф/м). Для линии без потерь волновое сопротивление выражается через них предельно просто:

$Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}.$

Эта формула универсальна, но $L$ и $C$ для конкретной геометрии ещё нужно вычислить через уравнения Максвелла. К счастью, для двух самых распространённых типов линий результат уже выведен и записан через размеры проводников напрямую - им и посвящена статья.

Важно не путать волновое сопротивление с обычным омическим сопротивлением провода. Провод линии передачи может иметь сопротивление постоянному току в доли ома, а её волновое сопротивление при этом составит 50 или 300 Ом - это два принципиально разных понятия, характеризующих разные режимы работы линии.

Формула для коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель - центральная жила диаметром $d$ внутри трубчатого внешнего проводника с внутренним диаметром $D$, между ними диэлектрик с относительной проницаемостью $\varepsilon_r$. Волновое сопротивление такой геометрии:

$Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\ln\frac{D}{d}.$

Рассчитать для своей задачи

Формула логарифмическая: увеличение отношения $D/d$ вдвое добавляет к $Z_0$ фиксированную прибавку, а не удваивает его. Именно поэтому у большинства бытовых и радиочастотных коаксиальных кабелей $Z_0$ лежит в узком коридоре 50-75 Ом - дальше наращивать отношение диаметров невыгодно: кабель растёт в сечении, а сопротивление почти не меняется. Стандартные 50-омные кабели (например, RG-58) используют полиэтиленовый диэлектрик с $\varepsilon_r \approx 2{,}3$ и отношение диаметров около 3,5; 75-омные кабели для телевизионных антенн (RG-6) держат чуть большее отношение при том же диэлектрике.

Формула для двухпроводной линии

Двухпроводная (воздушная) линия - два параллельных провода диаметром $d$, расположенных на расстоянии $D$ между осями. Волновое сопротивление считается через гиперболический косинус:

$Z_0 = \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\operatorname{arcch}\frac{D}{d} = \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\ln\!\left(\frac{D}{d} + \sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2 - 1}\right).$

При $D/d \gg 1$ (провода расположены далеко друг от друга относительно своей толщины) выражение под логарифмом упрощается, и формула переходит в более узнаваемый приближённый вид $Z_0 \approx \dfrac{276}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\lg\dfrac{2D}{d}$, который часто встречается в справочниках по антенной технике. Двухпроводные линии на воздушном диэлектрике ($\varepsilon_r \approx 1$) при разумных геометриях легко дают $Z_0$ в диапазоне 300-600 Ом - заметно выше, чем у коаксиального кабеля, потому что провода не экранированы друг от друга металлической оболочкой.

Согласование линии и коэффициент отражения

Волновое сопротивление становится измеримой физической величиной только тогда, когда линию подключают к нагрузке. Если сопротивление нагрузки $Z_н$ равно $Z_0$, вся падающая волна поглощается нагрузкой без остатка - линия согласована. Если $Z_н \ne Z_0$, часть волны отражается назад к источнику, и это количественно описывает коэффициент отражения:

$\Gamma = \frac{Z_н - Z_0}{Z_н + Z_0}.$

При коротком замыкании нагрузки ($Z_н = 0$) получаем $\Gamma = -1$: вся волна отражается с разворотом фазы. При разомкнутой линии ($Z_н \to \infty$) получаем $\Gamma = 1$: волна отражается без разворота фазы. Оба случая - предельно рассогласованные линии, между ними лежит вся практика: чем ближе $Z_н$ к $Z_0$, тем меньше $|\Gamma|$ и тем эффективнее передаётся мощность.

Рассчитать для своей задачи

КСВ и распределение напряжения вдоль линии

Из-за наложения падающей и отражённой волн амплитуда напряжения вдоль линии перестаёт быть постоянной - вдоль неё чередуются пучности и узлы, отстоящие друг от друга на половину длины волны $\lambda/2$. Отношение максимальной амплитуды к минимальной называют коэффициентом стоячей волны:

$\text{КСВ} = \frac{U_{max}}{U_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}.$

При идеальном согласовании ($\Gamma = 0$) КСВ равен единице - амплитуда вдоль линии не меняется. При полном рассогласовании ($|\Gamma| = 1$) КСВ уходит в бесконечность - в узлах напряжение падает до нуля. На практике КСВ до 1,5 считают хорошим согласованием, а КСВ выше 3 - поводом пересмотреть линию: значительная часть мощности возвращается к источнику вместо того, чтобы дойти до нагрузки, а в узлах напряжения могут возникать локальные перегрузки по току.

Примеры расчёта

Возьмём коаксиальный кабель с $D = 7$ мм, $d = 2$ мм и полиэтиленовым диэлектриком $\varepsilon_r = 2{,}3$. Отношение диаметров $D/d = 3{,}5$, тогда:

$Z_0 = \frac{60}{\sqrt{2{,}3}}\,\ln 3{,}5 \approx 39{,}6 \cdot 1{,}25 \approx 49{,}6\ \text{Ом}.$

Это практически стандартный 50-омный кабель. Если такой кабель подключить к антенне с входным сопротивлением 75 Ом (частая учебная задача - согласование разных стандартов), коэффициент отражения составит

$\Gamma = \frac{75 - 49{,}6}{75 + 49{,}6} \approx 0{,}20,$

а КСВ - около 1,51. Для сравнения, воздушная двухпроводная линия с расстоянием между проводами 20 мм и диаметром провода 1 мм ($\varepsilon_r = 1$) даёт $Z_0 \approx 443$ Ом - на порядок больше, чем у коаксиального кабеля с сопоставимыми размерами, именно из-за отсутствия экранирующей оболочки.

Частые ошибки

• Путают $D$ и $d$ местами или подставляют диаметр вместо радиуса - итоговое $Z_0$ меняется в разы, а не на проценты.
• Забывают, что в формуле двухпроводной линии $D$ - это расстояние между осями проводов, а не зазор между их поверхностями (зазор равен $D - d$).
• Подставляют $\varepsilon_r$ диэлектрика в вакуумную формулу без деления на $\sqrt{\varepsilon_r}$ - получают завышенное $Z_0$.
• Считают коэффициент отражения от произвольного сопротивления, а не от именно волнового сопротивления линии $Z_0$ - путают $Z_0$ с сопротивлением нагрузки или с активным сопротивлением проводника постоянному току.
• Забывают модуль в формуле КСВ и получают отрицательные или неопределённые значения при $\Gamma < 0$.

FAQ

Зависит ли волновое сопротивление от длины линии? Нет. $Z_0$ - погонная характеристика геометрии и диэлектрика, она одинакова для метра кабеля и для километра того же кабеля. Длина линии влияет только на фазовый набег и время задержки сигнала, но не на $Z_0$.

Почему стандартные значения - именно 50 и 75 Ом, а не круглые числа вроде 100? Исторически 50 Ом - компромисс между минимальными потерями мощности и максимальной допустимой мощностью для коаксиального кабеля данного диаметра, а 75 Ом - геометрия с минимальным затуханием сигнала. Оба значения закрепились как отраслевые стандарты задолго до появления единой теории, а сейчас удерживаются ради совместимости оборудования.

Что произойдёт, если подключить нагрузку с реактивным (не чисто активным) сопротивлением? Коэффициент отражения станет комплексным числом, а формула КСВ останется прежней, но через модуль комплексного $\Gamma$. Узлы и пучности стоячей волны сместятся вдоль линии на величину, зависящую от фазы $\Gamma$, а не только его модуля - этот случай уже выходит за рамки чисто активной нагрузки, рассмотренной в статье.

Коротко

Волновое сопротивление линии передачи $Z_0$ определяется только геометрией проводников и диэлектриком: для коаксиального кабеля - через $\ln(D/d)$, для двухпроводной линии - через $\operatorname{arcch}(D/d)$, в обоих случаях с поправкой на $\sqrt{\varepsilon_r}$. Оно решает, отразится ли сигнал от нагрузки: несовпадение $Z_н$ и $Z_0$ порождает коэффициент отражения $\Gamma$ и стоячую волну с коэффициентом КСВ, растущим от 1 (идеальное согласование) до бесконечности (полное рассогласование).